本文選題：Navier-Stokes方程　切入點(diǎn)：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)　出處：《湘潭大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要研究了階數(shù)為α∈ (0,1)的具有Caputo導(dǎo)數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程,這類方程可以用來模擬分形介質(zhì)中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象.我們主要討論它的適定性.本文的工作主要分成五個(gè)部分:在第二章中我們首先通過把Helmholtz投影子作用到目標(biāo)方程上消去壓強(qiáng)項(xiàng),將其轉(zhuǎn)化為抽象形式的發(fā)展方程;然后根據(jù)分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程理論給出其相應(yīng)的積分方程并定義適度解;利用半群理論和不動(dòng)理論得到方程的全局適度解和局部適度解的存在唯一性;進(jìn)而得到古典解的正則性.第三章我們沿用第二章的方法得到同樣的抽象分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程,利用迭代法得到局部適度解的存在唯一性以及其Holder連續(xù)性;然后使用不動(dòng)點(diǎn)方法得到近似方程的適度解(又稱近似解)的存在唯一性,同時(shí)也得到近似解的收斂性;最后得到了Faedo-Galerkin近似的一些收斂性結(jié)果.第四章是使用能量方法來處理時(shí)間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程.本章主要分成兩個(gè)部分:第一部分利用光滑化過程構(gòu)造正則化方程,這就將無界微分算子轉(zhuǎn)化為有界算子;然后得到局部近似解(又稱正則化方程的局部解)以及其滿足的性質(zhì).第二部分強(qiáng)調(diào)對(duì)近似方案取極限的過程,從而得到一種新的全局解結(jié)果.第五章定義了一個(gè)新的適度解和兩個(gè)新的解算子,并利用調(diào)和分析的工具研究了解算子的性質(zhì).然后借助輔助空間建立了解在Sobolev空間中的兩種局部存在性結(jié)果.第六章是利用經(jīng)典的Galerkin估計(jì)和分?jǐn)?shù)階微積分理論得到方程弱解的存在性;然后得到弱解在R2中的唯一性;最后得到最優(yōu)控制的一個(gè)存在性結(jié)果。
[Abstract]:In this paper, the fractional Navier-Stokes equation with Caputo derivative is studied. This kind of equation can be used to simulate the anomalous diffusion phenomenon in fractal media. We mainly discuss its suitability. The work of this paper is divided into five parts: in chapter 2, we first apply the Helmholtz projector to the target. Elimination of the pressure term from the equation, Then according to the theory of fractional evolution equation, the corresponding integral equation is given and the appropriate solution is defined. By using the semigroup theory and the fixed theory, the existence and uniqueness of the global and local moderate solutions of the equation are obtained, and the regularity of the classical solutions is obtained. In chapter 3, we obtain the same abstract fractional evolution equation using the method in chapter two. The existence and uniqueness of the local moderate solution and its Holder continuity are obtained by iterative method, then the existence and uniqueness of the moderate solution (also called approximate solution) of the approximate equation is obtained by using the fixed point method, and the convergence of the approximate solution is also obtained. Finally, some convergence results of Faedo-Galerkin approximation are obtained. Chapter 4th deals with fractional Navier-Stokes equations with energy method. This chapter is divided into two parts: in the first part, regularization equations are constructed by smoothing process. In this way, the unbounded differential operator is transformed into a bounded operator, and then the local approximate solution (also called the local solution of the regularized equation) and its satisfying properties are obtained. The second part emphasizes the process of taking the limit for the approximate scheme. In Chapter 5th, a new moderate solution and two new solution operators are defined. The properties of solution operators are studied by means of harmonic analysis. Then two local existence results of solutions in Sobolev spaces are established by means of auxiliary space. Chapter 6th is obtained by using classical Galerkin estimators and fractional calculus theory. The existence of weak solutions to the equation; Then we obtain the uniqueness of weak solution in R2 and finally obtain an existence result of optimal control.
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1636044