本文選題：正倒向隨機(jī)微分方程　切入點(diǎn)：帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：1990年,Pardoux和Peng(彭實(shí)戈院士)[68]解決了一般形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程(BSDEs)解的存在唯一性.這一重大成果奠定了倒向隨機(jī)微分方程的理論基礎(chǔ).1991年,Peng[74]給出了非線性Feynman-Kac公式,建立了 BSDEs的解和二階擬線性PDEs解之間的關(guān)系.正倒向隨機(jī)微分方程(倒向隨機(jī)微分方程)逐漸發(fā)展成為隨機(jī)分析理論中的重要分支.正倒向隨機(jī)微分方程在隨機(jī)最優(yōu)控制、金融數(shù)學(xué)、非線性期望、偏微分方程理論、風(fēng)險(xiǎn)度量以及隨機(jī)博弈等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.通常情況下,很難找到FBSDEs的解析解的顯式表達(dá).因此,正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法研究對(duì)FBSDEs的理論和應(yīng)用研究有十分重要意義.本文主要研究維納過(guò)程驅(qū)動(dòng)的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEs)和帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEJs)的數(shù)值解法及其應(yīng)用.我們從正倒向隨機(jī)微分方程理論及其解的結(jié)構(gòu)出發(fā),結(jié)合確定性數(shù)值方法理論,嚴(yán)格理論分析了求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nicolson格式和多步數(shù)值格式;提出了求解帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的顯式預(yù)估矯正格式,并對(duì)其進(jìn)行了嚴(yán)格的理論誤差估計(jì);給出了 Dirichlet初邊值問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)描述,研究提出了求解Dirichlet初邊值問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)算法,并嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提算法的一階收斂性;基于Peng[79]的G-布朗運(yùn)動(dòng)定義,研究提出了 G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法,數(shù)值理論分析了該算法的穩(wěn)定性和有效性,該算法對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的正向和倒向隨機(jī)微分方程的理論和應(yīng)用研究有重要作用.論文的主要貢獻(xiàn)及創(chuàng)新(1)嚴(yán)格理論證明了求解非耦合的FBSDEs的Crank-Nicolson格式的二階收斂性,填補(bǔ)了文章[112]對(duì)Crank-Nicolson二階格式理論分析的空缺.部分研究成果已發(fā)表在 Sci.China Math.[55].(2)嚴(yán)格理論分析了文章[111]中提出的求解FBSDEs的多步數(shù)值方法的高階收斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[99].(3)提出了求解帶跳的FBSDEs的預(yù)估矯正顯格式,嚴(yán)格理論數(shù)值分析了該格式的穩(wěn)定性和二階收斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[36].(4)提出了二階拋物型偏微分方程Dirichlet初邊界問(wèn)題的倒向隨機(jī)解法,嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提解法的一階收斂性.部分研究成果已被J.Comput.Math.接受發(fā)表[98].(5)給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的α-穩(wěn)定跳的倒向隨機(jī)表示,提出了求解分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)算法,嚴(yán)格地?cái)?shù)值理論分析了所提格式的一階收斂性.部分研究成果已完成待發(fā)表[94].(6)提出了 G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法,G-布朗運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)的數(shù)值模擬,表明所提算法的穩(wěn)定性和有效性.該算法對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的SDEs和BSDEs的科學(xué)計(jì)算有重要應(yīng)用意義.部分研究成果已發(fā)表在Front.Math.China.[100].論文的框架本論文共有六章.第一章引言簡(jiǎn)單介紹所研究問(wèn)題的背景、動(dòng)機(jī)和發(fā)展情況.第二章預(yù)備知識(shí)介紹與隨機(jī)微分方程(包括帶跳的)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),給出正倒向隨機(jī)微分方程、帶停時(shí)的正倒向隨機(jī)微分方程和帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的解與相應(yīng)的拋物型偏微分方程解的關(guān)系,即三類不同形式的Feynman-Kac公式,以及一些本論文用到的其他必備知識(shí).第三章FBSDEs高階數(shù)值解法的誤差分析主要研究正倒向隨機(jī)微分方程的兩種高階數(shù)值格式:Crank-Nicolson格式和多步數(shù)值格式[111],給出格式推導(dǎo)和相應(yīng)的誤差分析.第一部分,基于Taylor展開和Ito-Taylor展開,Malliavin積分理論以及截?cái)嗾`差相消技術(shù),嚴(yán)格理論證明求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nicolson格式的二階收斂性.第二部分,針對(duì)一種特殊形式的FBSDEs,在合理假設(shè)下我們證明多步數(shù)值格式高階收斂性,即k步格式可達(dá)k階收斂.本章內(nèi)容來(lái)自● JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Convergence of recent multistep schemes for a forward-backward stochastic differential equation,East Asian J.Appl.Math.,5(4),pp.387-404,2015.(SCI)● YANG LI,JIE YANG,AND WEIDONG ZHAO,Error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving decoupled FBSDEs,Sci.China Math.,60(5),pp.923-948,2017.(SCI)第四章FBSDEJs的預(yù)估矯正解法主要研究帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的預(yù)估矯正方法.首先,通過(guò)鞅理論和條件期望的性質(zhì),給出預(yù)估矯正格式的參照方程;然后引出誤差方程,再對(duì)誤差方程進(jìn)行分析,得到一般穩(wěn)定性結(jié)果;最后在一定正則性條件下,得到該格式的誤差估計(jì),并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.本章內(nèi)容來(lái)自● Yu Fu,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Prediction-correction schemes for decoupled forward backward stochastic differential equations with jumps,East Asian J.Appl.Math.6(3),pp.253-277,2016.(SCI)第五章FBSDEs在PDEs中的應(yīng)用基于正倒向隨機(jī)微分方程理論和PDEs理論,研究正倒向隨機(jī)微分方程在Dirichlet初邊界問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.第一部分,研究Dirichlet初邊值問(wèn)題的FBSDEs數(shù)值解法.首先,給出Dirichlet初邊值問(wèn)題的一個(gè)概率表示,即Dirichlet初邊值問(wèn)題的解可由一帶停時(shí)的正倒向隨機(jī)微分方程的解表示.根據(jù)該表示,提出求解帶停時(shí)的FBSDEs的隱式Euler格式,并分析該格式的收斂性,最后給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性和收斂性.第二部分,主要研究分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的FBSDEs數(shù)值解法.給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)表示,即α-穩(wěn)定跳過(guò)程驅(qū)動(dòng)的FBSDEs的概率描述,根據(jù)該隨機(jī)表示,提出分?jǐn)?shù)階Laplacian問(wèn)題的倒向隨機(jī)數(shù)值格式;數(shù)值理論分析了格式的穩(wěn)定性和收斂性.本章內(nèi)容來(lái)自● JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,An accurate nu-merical scheme for forward-backward stochastic differential equations in bounded domains,J.Comput.Math.,Accepted,2016.(SCI)● ClayTON WEBsTER,JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,A probabilistic scheme using Fourier-Cosine series for fractional Laplacia,n equations,Finished.第六章G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬主要研究G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法.根據(jù)Peng[79]的G-正態(tài)分布的定義,通過(guò)求解特定的HJB方程給出G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬,對(duì)G-正態(tài)分布、密度函數(shù)、G-布朗運(yùn)動(dòng)和G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬的研究,數(shù)值模擬研究表明所提算法是穩(wěn)定的和有效的,可用于G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的SDEs和FBSDEs的理論和應(yīng)用研究.本章內(nèi)容來(lái)自● JIE YaNG AND WEIDONG ZHAO,Numerical simulations for the G-Brownian motion,Front.Math.China,11(6),pp.1625-1643,2016.(SCI)論文的主要結(jié)果第三章,主要對(duì)求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nicolson格式和多步格式進(jìn)行了收斂性分析.第一部分:Crank-Nicolson 格式考慮非耦合的FBSDEs:對(duì) 0 ≤ t ≤ s ≤ T.給出求解FBSDEs(0.1)的Crank-Nicolson格式如下:格式0.1(Crank-Nicolson格式).假設(shè)給定初值條件X0=X0和終端條件=φ.(1)當(dāng)n = N-1時(shí),△tN-=(△t)2,通過(guò)以下方程求解XN yN-1和ZN-1:(2)當(dāng)n = N-2,...,1,0時(shí),通過(guò)以下方程求解Xnn+1,yn和Zn:這里,△Wn,1:=Wtn+1-Wtn和fn:=f(tn,Xn,Yn,Zn),,n=0,1,...,N-1.為了符號(hào)簡(jiǎn)單,我們記對(duì) n = N-2,...,1,0,其中,e%結(jié)n和e 滿足 §3.1 中的(3.24)和(3.25).關(guān)于求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式0.1有如下誤差估計(jì):定理0.1.在假設(shè)2.1-2.2下,若{Xn+1}0≤≤N-2滿足弱二階Ito-Taylor格式,b,σ ∈Cb1,3,f ∈ Cb1,2,2,2,則對(duì) 0 ≤ n ≤ N-2,有估計(jì)式其中,C0是一個(gè)依賴d,T,K,K'以及b,σ,f導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù),誤差項(xiàng)和i=n,...,N-2,j = 1,2,分別定義在 §3.1 中的(3.15)、(3.19)、(3.24)和(3.25).假設(shè)b,σ,f和φ滿足一定的正則性條件,通過(guò)估計(jì)不等式(0.4)右端的誤差項(xiàng)即可得下面的估計(jì)式(0.5).定理 0.2.假設(shè)且,α∈(0,1).若{Xn+1}0n≤N-2滿足弱二階格式,則在假設(shè)2.1-3.1下有其中,C0是一個(gè)依賴d,T,K',K,L,Xt的初值X0以及b,σ,f φ導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù).第二部分:多步格式考慮如下形式的FBSDEs:求解正倒向隨機(jī)微分方程(0.42)的多步格式如下:格式0.2(多步格式).假設(shè)終端條件yN-i和ZN-i = 0,1,…,-1已知,Xttn,x是(0.6)中SDE的解,對(duì)n=N-k,…,1,0,通過(guò)下面的方程求解Yn和Zn:對(duì)上面的多步格式,關(guān)于e_y~n在弱收斂意義有誤差估計(jì)如下:定理0.3.設(shè)(Yn,Zn),0≤n≤N,為由格式0.2得到的數(shù)值解.在假設(shè)2.4下,αi=αk,i△t,i = 0,1,…,k:,若函數(shù) f(t,X,Y)一致 Lipschitz 連續(xù)(Lipschitz 常數(shù)為 L),則對(duì) 0△t ≤|α0|L-1 有其中,C0是僅依賴T、L和k的常數(shù),誤差項(xiàng)的定義見§ 3.2中的(3.92).定理0.4.在一定的假設(shè)條件下,對(duì)有估計(jì)式其中,C0是一個(gè)僅依賴T,L和k的常數(shù),誤差項(xiàng)和的定義分別見§ 3.2 中的(3.93)和(3.119).定理0.5.在一定的假設(shè)條件下,若終端條件滿足則對(duì)0△t≤|α0|L-1有其中,C0是一個(gè)依賴T,b,σ,f和φ的常數(shù).第四章,提出帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的預(yù)估矯正解法,并對(duì)該解法進(jìn)行理論數(shù)值分析.考慮帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程:這里 0 ≤ t ≤ s ≤ T.為了提出預(yù)估矯正格式,先定義下面兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程:格式 0.3.給定(0.11)中正向SDEJ的初值條件X0和BSDEJ的終端條件(YN,ZN,ΓN),對(duì)n =-1,...,0,通過(guò)下面的方程求解Yn,Zn和Γn:關(guān)于該格式,有下面的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)果.定理 0.6.設(shè)(Xt,Yt,Zt,rt),t ∈[0,T],和(Xn,Yn,Zn,Γn),n = 0,1,...,N-—1,分別為非耦合FBSDEJs(0.11)的真解和由格式0.3得到的數(shù)值解.假設(shè)f(t,Xt,Yt,Zt,rt)是一致Lipschitz連續(xù)的(Lipschitz常數(shù)是L).則對(duì)充分小的時(shí)間步長(zhǎng)△t,有估計(jì)式對(duì)n = N-1,...,1,0成立,其中,C0是一個(gè)依賴L和c0(定義在(3.5))的常數(shù),C0也是一個(gè)依賴c0,T及L的常數(shù),截?cái)嗾`差、和,i=n,...,N.分別定義于(4.11)、(4.14)和(4.15),誤差項(xiàng)和、和,k = 1,2,3,j = 1,2,的定義見§4.1中的(4.21).定理0.7.在一定條件假設(shè)下,對(duì)充分小的時(shí)間步長(zhǎng)△t,有其中,α,β,γ定義見假設(shè)4.1,C0僅依賴c0和L,C10依賴c0、T和L,且C20依賴c0,T,L K,X0和b,σ,c,f及φ的導(dǎo)數(shù)的上界.格式0.3的數(shù)值分析請(qǐng)?jiān)斠姟?.1.3.第五章,研究正倒向隨機(jī)微分方程在求解Dirichlet初邊值問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.第一部分:Dirichlet初邊值問(wèn)題考慮Dirichlet初邊值問(wèn)題:其中,T0是一個(gè)確定的常數(shù),x:=(x1,...xd)T是一個(gè)d-維列向量,符號(hào)%獎(jiǎng)硎咎荻人闋，

本文編號(hào)：1624846