本文選題：正倒向隨機微分方程　切入點：帶跳的正倒向隨機微分方程　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：1990年,Pardoux和Peng(彭實戈院士)[68]解決了一般形式的非線性倒向隨機微分方程(BSDEs)解的存在唯一性.這一重大成果奠定了倒向隨機微分方程的理論基礎(chǔ).1991年,Peng[74]給出了非線性Feynman-Kac公式,建立了 BSDEs的解和二階擬線性PDEs解之間的關(guān)系.正倒向隨機微分方程(倒向隨機微分方程)逐漸發(fā)展成為隨機分析理論中的重要分支.正倒向隨機微分方程在隨機最優(yōu)控制、金融數(shù)學(xué)、非線性期望、偏微分方程理論、風(fēng)險度量以及隨機博弈等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.通常情況下,很難找到FBSDEs的解析解的顯式表達.因此,正倒向隨機微分方程的數(shù)值解法研究對FBSDEs的理論和應(yīng)用研究有十分重要意義.本文主要研究維納過程驅(qū)動的正倒向隨機微分方程(FBSDEs)和帶跳的正倒向隨機微分方程(FBSDEJs)的數(shù)值解法及其應(yīng)用.我們從正倒向隨機微分方程理論及其解的結(jié)構(gòu)出發(fā),結(jié)合確定性數(shù)值方法理論,嚴(yán)格理論分析了求解正倒向隨機微分方程的Crank-Nicolson格式和多步數(shù)值格式;提出了求解帶跳的正倒向隨機微分方程的顯式預(yù)估矯正格式,并對其進行了嚴(yán)格的理論誤差估計;給出了 Dirichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機描述,研究提出了求解Dirichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機算法,并嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提算法的一階收斂性;基于Peng[79]的G-布朗運動定義,研究提出了 G-布朗運動的數(shù)值模擬算法,數(shù)值理論分析了該算法的穩(wěn)定性和有效性,該算法對G-布朗運動驅(qū)動的正向和倒向隨機微分方程的理論和應(yīng)用研究有重要作用.論文的主要貢獻及創(chuàng)新(1)嚴(yán)格理論證明了求解非耦合的FBSDEs的Crank-Nicolson格式的二階收斂性,填補了文章[112]對Crank-Nicolson二階格式理論分析的空缺.部分研究成果已發(fā)表在 Sci.China Math.[55].(2)嚴(yán)格理論分析了文章[111]中提出的求解FBSDEs的多步數(shù)值方法的高階收斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[99].(3)提出了求解帶跳的FBSDEs的預(yù)估矯正顯格式,嚴(yán)格理論數(shù)值分析了該格式的穩(wěn)定性和二階收斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[36].(4)提出了二階拋物型偏微分方程Dirichlet初邊界問題的倒向隨機解法,嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提解法的一階收斂性.部分研究成果已被J.Comput.Math.接受發(fā)表[98].(5)給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的α-穩(wěn)定跳的倒向隨機表示,提出了求解分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機算法,嚴(yán)格地數(shù)值理論分析了所提格式的一階收斂性.部分研究成果已完成待發(fā)表[94].(6)提出了 G-布朗運動的數(shù)值模擬算法,G-布朗運動及其相關(guān)的數(shù)值模擬,表明所提算法的穩(wěn)定性和有效性.該算法對G-布朗運動驅(qū)動的SDEs和BSDEs的科學(xué)計算有重要應(yīng)用意義.部分研究成果已發(fā)表在Front.Math.China.[100].論文的框架本論文共有六章.第一章引言簡單介紹所研究問題的背景、動機和發(fā)展情況.第二章預(yù)備知識介紹與隨機微分方程(包括帶跳的)相關(guān)的基礎(chǔ)知識,給出正倒向隨機微分方程、帶停時的正倒向隨機微分方程和帶跳的正倒向隨機微分方程的解與相應(yīng)的拋物型偏微分方程解的關(guān)系,即三類不同形式的Feynman-Kac公式,以及一些本論文用到的其他必備知識.第三章FBSDEs高階數(shù)值解法的誤差分析主要研究正倒向隨機微分方程的兩種高階數(shù)值格式:Crank-Nicolson格式和多步數(shù)值格式[111],給出格式推導(dǎo)和相應(yīng)的誤差分析.第一部分,基于Taylor展開和Ito-Taylor展開,Malliavin積分理論以及截斷誤差相消技術(shù),嚴(yán)格理論證明求解正倒向隨機微分方程的Crank-Nicolson格式的二階收斂性.第二部分,針對一種特殊形式的FBSDEs,在合理假設(shè)下我們證明多步數(shù)值格式高階收斂性,即k步格式可達k階收斂.本章內(nèi)容來自● JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Convergence of recent multistep schemes for a forward-backward stochastic differential equation,East Asian J.Appl.Math.,5(4),pp.387-404,2015.(SCI)● YANG LI,JIE YANG,AND WEIDONG ZHAO,Error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving decoupled FBSDEs,Sci.China Math.,60(5),pp.923-948,2017.(SCI)第四章FBSDEJs的預(yù)估矯正解法主要研究帶跳的正倒向隨機微分方程的預(yù)估矯正方法.首先,通過鞅理論和條件期望的性質(zhì),給出預(yù)估矯正格式的參照方程;然后引出誤差方程,再對誤差方程進行分析,得到一般穩(wěn)定性結(jié)果;最后在一定正則性條件下,得到該格式的誤差估計,并用數(shù)值實驗加以驗證.本章內(nèi)容來自● Yu Fu,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Prediction-correction schemes for decoupled forward backward stochastic differential equations with jumps,East Asian J.Appl.Math.6(3),pp.253-277,2016.(SCI)第五章FBSDEs在PDEs中的應(yīng)用基于正倒向隨機微分方程理論和PDEs理論,研究正倒向隨機微分方程在Dirichlet初邊界問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.第一部分,研究Dirichlet初邊值問題的FBSDEs數(shù)值解法.首先,給出Dirichlet初邊值問題的一個概率表示,即Dirichlet初邊值問題的解可由一帶停時的正倒向隨機微分方程的解表示.根據(jù)該表示,提出求解帶停時的FBSDEs的隱式Euler格式,并分析該格式的收斂性,最后給出數(shù)值實驗驗證方法的有效性和收斂性.第二部分,主要研究分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的FBSDEs數(shù)值解法.給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機表示,即α-穩(wěn)定跳過程驅(qū)動的FBSDEs的概率描述,根據(jù)該隨機表示,提出分?jǐn)?shù)階Laplacian問題的倒向隨機數(shù)值格式;數(shù)值理論分析了格式的穩(wěn)定性和收斂性.本章內(nèi)容來自● JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,An accurate nu-merical scheme for forward-backward stochastic differential equations in bounded domains,J.Comput.Math.,Accepted,2016.(SCI)● ClayTON WEBsTER,JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,A probabilistic scheme using Fourier-Cosine series for fractional Laplacia,n equations,Finished.第六章G-布朗運動的數(shù)值模擬主要研究G-布朗運動的數(shù)值模擬算法.根據(jù)Peng[79]的G-正態(tài)分布的定義,通過求解特定的HJB方程給出G-布朗運動的數(shù)值模擬,對G-正態(tài)分布、密度函數(shù)、G-布朗運動和G-布朗運動的二次變差過程進行了數(shù)值模擬的研究,數(shù)值模擬研究表明所提算法是穩(wěn)定的和有效的,可用于G-布朗運動驅(qū)動的SDEs和FBSDEs的理論和應(yīng)用研究.本章內(nèi)容來自● JIE YaNG AND WEIDONG ZHAO,Numerical simulations for the G-Brownian motion,Front.Math.China,11(6),pp.1625-1643,2016.(SCI)論文的主要結(jié)果第三章,主要對求解正倒向隨機微分方程的Crank-Nicolson格式和多步格式進行了收斂性分析.第一部分:Crank-Nicolson 格式考慮非耦合的FBSDEs:對 0 ≤ t ≤ s ≤ T.給出求解FBSDEs(0.1)的Crank-Nicolson格式如下:格式0.1(Crank-Nicolson格式).假設(shè)給定初值條件X0=X0和終端條件=φ.(1)當(dāng)n = N-1時,△tN-=(△t)2,通過以下方程求解XN yN-1和ZN-1:(2)當(dāng)n = N-2,...,1,0時,通過以下方程求解Xnn+1,yn和Zn:這里,△Wn,1:=Wtn+1-Wtn和fn:=f(tn,Xn,Yn,Zn),,n=0,1,...,N-1.為了符號簡單,我們記對 n = N-2,...,1,0,其中,e%結(jié)n和e 滿足 §3.1 中的(3.24)和(3.25).關(guān)于求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式0.1有如下誤差估計:定理0.1.在假設(shè)2.1-2.2下,若{Xn+1}0≤≤N-2滿足弱二階Ito-Taylor格式,b,σ ∈Cb1,3,f ∈ Cb1,2,2,2,則對 0 ≤ n ≤ N-2,有估計式其中,C0是一個依賴d,T,K,K'以及b,σ,f導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù),誤差項和i=n,...,N-2,j = 1,2,分別定義在 §3.1 中的(3.15)、(3.19)、(3.24)和(3.25).假設(shè)b,σ,f和φ滿足一定的正則性條件,通過估計不等式(0.4)右端的誤差項即可得下面的估計式(0.5).定理 0.2.假設(shè)且,α∈(0,1).若{Xn+1}0n≤N-2滿足弱二階格式,則在假設(shè)2.1-3.1下有其中,C0是一個依賴d,T,K',K,L,Xt的初值X0以及b,σ,f φ導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù).第二部分:多步格式考慮如下形式的FBSDEs:求解正倒向隨機微分方程(0.42)的多步格式如下:格式0.2(多步格式).假設(shè)終端條件yN-i和ZN-i = 0,1,…,-1已知,Xttn,x是(0.6)中SDE的解,對n=N-k,…,1,0,通過下面的方程求解Yn和Zn:對上面的多步格式,關(guān)于e_y~n在弱收斂意義有誤差估計如下:定理0.3.設(shè)(Yn,Zn),0≤n≤N,為由格式0.2得到的數(shù)值解.在假設(shè)2.4下,αi=αk,i△t,i = 0,1,…,k:,若函數(shù) f(t,X,Y)一致 Lipschitz 連續(xù)(Lipschitz 常數(shù)為 L),則對 0△t ≤|α0|L-1 有其中,C0是僅依賴T、L和k的常數(shù),誤差項的定義見§ 3.2中的(3.92).定理0.4.在一定的假設(shè)條件下,對有估計式其中,C0是一個僅依賴T,L和k的常數(shù),誤差項和的定義分別見§ 3.2 中的(3.93)和(3.119).定理0.5.在一定的假設(shè)條件下,若終端條件滿足則對0△t≤|α0|L-1有其中,C0是一個依賴T,b,σ,f和φ的常數(shù).第四章,提出帶跳的正倒向隨機微分方程的預(yù)估矯正解法,并對該解法進行理論數(shù)值分析.考慮帶跳的正倒向隨機微分方程:這里 0 ≤ t ≤ s ≤ T.為了提出預(yù)估矯正格式,先定義下面兩個隨機過程:格式 0.3.給定(0.11)中正向SDEJ的初值條件X0和BSDEJ的終端條件(YN,ZN,ΓN),對n =-1,...,0,通過下面的方程求解Yn,Zn和Γn:關(guān)于該格式,有下面的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)果.定理 0.6.設(shè)(Xt,Yt,Zt,rt),t ∈[0,T],和(Xn,Yn,Zn,Γn),n = 0,1,...,N-—1,分別為非耦合FBSDEJs(0.11)的真解和由格式0.3得到的數(shù)值解.假設(shè)f(t,Xt,Yt,Zt,rt)是一致Lipschitz連續(xù)的(Lipschitz常數(shù)是L).則對充分小的時間步長△t,有估計式對n = N-1,...,1,0成立,其中,C0是一個依賴L和c0(定義在(3.5))的常數(shù),C0也是一個依賴c0,T及L的常數(shù),截斷誤差、和,i=n,...,N.分別定義于(4.11)、(4.14)和(4.15),誤差項和、和,k = 1,2,3,j = 1,2,的定義見§4.1中的(4.21).定理0.7.在一定條件假設(shè)下,對充分小的時間步長△t,有其中,α,β,γ定義見假設(shè)4.1,C0僅依賴c0和L,C10依賴c0、T和L,且C20依賴c0,T,L K,X0和b,σ,c,f及φ的導(dǎo)數(shù)的上界.格式0.3的數(shù)值分析請詳見§4.1.3.第五章,研究正倒向隨機微分方程在求解Dirichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.第一部分:Dirichlet初邊值問題考慮Dirichlet初邊值問題:其中,T0是一個確定的常數(shù),x:=(x1,...xd)T是一個d-維列向量,符號%獎硎咎荻人闋，

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