本文選題：廣義逆　切入點：外逆　出處：《東南大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：矩陣的廣義逆是矩陣理論研究的一個重要課題.1955年R.Penrose利用四個矩陣方程給出矩陣廣義逆的定義(現(xiàn)稱為Moore-Penrose逆),以及1958年M.P.Drazin在半群和環(huán)上給出Drazin逆的定義.自此之后,廣義逆理論得到迅速發(fā)展,并在許多學科領(lǐng)域有著重要應用.人們分別從復矩陣、Banach空間(Hilbert空間)上的有界線性算子、Banach代數(shù)(C*-代數(shù))及環(huán)和半群等方向?qū)V義逆展開研究.隨著廣義逆理論的不斷發(fā)展,又產(chǎn)生了幾類新型廣義逆,如Bott-Duffin(e,f)-逆、核逆和對偶核逆及(b,c)-逆.本文主要圍繞這些新型廣義逆,從環(huán)的角度展開研究,得到一些有意義的結(jié)果.主要內(nèi)容如下:第一部分主要研究了環(huán)上Bott-Duffin(e,f)-逆.首先利用環(huán)上可逆元素給出元素的Bott-Duffin(e,f)-逆存在的充要條件.其次在一定條件下討論了三個元素乘積的Bott-Duffin(e,f)-逆,建立了乘積paq 的Bott-Duffin(e,f)-逆與 pa 的 Bott-Duffin(e1,f1)-逆和aq的Bott-Duffin(e2,f2)-逆之間的關(guān)系.最后作為應用給出了環(huán)上2 × 2矩陣的Bott-Duffin(E,F)-逆的存在性和表達式.第二部分考慮了*-環(huán)上的核逆和對偶核逆,研究了一定條件下三個元素乘積的核逆和對偶核逆的存在性.作為應用,對兩種分塊矩陣T=(?)和M=(?),給出了當a是核可逆(或d是對偶核可逆)時和當a可逆時,矩陣T和M的核逆和對偶核逆存在的充要條件和表達式.第三部分主要在半群和環(huán)上研究(b,c)-逆.首先,在*-環(huán)上給出了(b,c)-逆的刻畫和表示,推廣了 D.Mosic有關(guān)像-核(p,q)-逆的相關(guān)結(jié)果.其次,在半群上建立了(b,c)-逆和Bott-Duffin(e,f)-逆之間的新關(guān)系,即當b,c均為正則元時元素a是(b,c.)-可逆的充要條件是它是Bo(bb-Duffin(bb-,c-c)-可逆的,這里b,c分別為b,c的內(nèi)逆.然后在一定條件下討論了三個元素乘積的(b,c.)-逆的存在性,給出paq的(b,c)-逆與a的(b',c')-逆之間的關(guān)系.最后,作為應用考慮了環(huán)上分塊下三角矩陣的(B,C)-逆的存性和表達式.特別地,給出了任意環(huán)中分塊下三角矩陣A的Mary逆的存在性和表達式,此表達式簡化了 X.Mary和P.Patricio在Dedekind有限環(huán)時的結(jié)果.第四部分在環(huán)和半群中考慮(b,c)-逆的反序律.首先,在環(huán)中給出了(b,c)-逆存在的一些充要條件,并在一定條件下利用群逆給出(b,c)-逆存在的一些表示.其次,考慮了半群上(b,c)-逆的反序律(α1α2)(b,c =α2(b,s)α1(t,c)和多種混合反序律成立的充要條件,推廣了H.H.Zhu等人關(guān)于Maty逆的相關(guān)結(jié)果.同時還考慮了一般情況下的反序律(a1a2)(b3,c3)=α2(b2,c2)α1(b1,c1)成立的條件.第五部分在環(huán)中引入了一類新型廣義逆-單邊(b,c)-逆,單邊零化(b,c)-逆.這類廣義逆可以看作是M.P.Drazin定義的(b,c)-逆和H.H.Zhu等人所定義的單邊Mary逆的推廣.研究了這類新型廣義逆的存在性,雙重交換性及廣義Cline公式.
[Abstract]:In 1955, R. Penrose gave the definition of generalized inverse of matrix (now called Moore-Penrose inverse) by using four matrix equations, and M. P. Drazin gave the definition of Drazin inverse on semigroup and ring in 1958. The generalized inverse theory has developed rapidly. And it has important applications in many disciplines. The generalized inverses are studied from the bounded linear operators on the complex matrix Banach space Hilbert space) and the rings and Semigroups, respectively. With the development of the generalized inverse theory, Several new types of generalized inverses are produced, such as Bott-Duffinne fan-inverse, nuclear inverse and dual nuclear inverse, and bbbcng-inverse. In this paper, we mainly study these new generalized inverses from the point of view of rings. Some meaningful results are obtained. The main contents are as follows: in the first part, we study the Bott-Duffinessen fan-inverse over rings. Firstly, we give the necessary and sufficient conditions for the existence of Bott-Duffininefni-inverse of elements by using reversible elements over rings. Secondly, we discuss three necessary and sufficient conditions under certain conditions. The Bott-Duffinnian fan-inverse of the product of elements, The relations between Bott-Duffinine FT-inverse of the product paq and Bott-Duffininine f1k-inverse of pa and Bott-Duffinni-e2f2f2-inverses of AQ are established. Finally, as applications, the existence and expression of Bott-DuffinEffinEOFI-inverse of 2 脳 2 matrices over rings are given. In the second part, the nuclear inverses and dual nuclear inverses are considered. The existence of kernel inverse and dual kernel inverse of product of three elements under certain conditions are studied. ) and Mavin? In this paper, we give the necessary and sufficient conditions for the existence of kernel inverse and dual nuclear inverse of matrix T and M when a is nuclear reversible (or d is invertible to dual nucleus). In this paper, we give the characterizations and representations of the ~ ~ ~ inverse, and generalize the relevant results of D. Mosic about the image-kernel ~ ~ ~. That is, the element a is invertible if and only if it is Bobb-Duffinbb-bb-nc-ca-invertible, where BJ _ c is the internal inverse of BJ _ c respectively. Then, under certain conditions, we discuss the existence of the product of three elements, bbc.-inverses. In this paper, we give the relation between paq's inverses and a's. Finally, as an application, we consider the existence and expression of paq's inverses of the lower triangular matrices in blocks. In particular, the existence and expression of the inverses are considered. In this paper, the existence and expression of Mary inverse of block lower triangular matrix A in arbitrary rings are given. This expression simplifies the results of X. Mary and P. Patricio in Dedekind finite ring. Part 4th considers the inverse order-law of Mary inverse in rings and Semigroups. In this paper, we give some necessary and sufficient conditions for the existence of bbcng-inverses in rings, and give some representations of the existence of inverses by using group inverses under certain conditions. Secondly, we consider the inverse ordering law (偽 _ 1 偽 _ 2n ~ (2) B ~ (+) ~ ()) 偽 _ (1) and the necessary and sufficient conditions for the existence of some mixed inverse order laws on Semigroups, and the necessary and sufficient conditions for the existence of some mixed inverse order laws are also given, and the necessary and sufficient conditions for the existence of the inverse inverses are given. In this paper, we generalize the relevant results of H. H. Zhu et al on Maty inverse. We also consider the condition that the inverse order law a1a2nb ~ (3) C ~ (3 +) = 偽 ~ (2) B ~ (2 +) C ~ (2)) 偽 ~ (1) B _ (1) C _ (1)) holds. In part 5th, we introduce a new kind of generalized inverse _ one-sided bbc- ~ ~ ~ (1) in the ring. This kind of generalized inverses can be regarded as a generalization of the one-sided Mary inverses defined by M. P. Drazin and H. H. Zhu et al. The existence, double commutativity and generalized Cline formulas of these new generalized inverses are studied.
【學位授予單位】：東南大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O151.21

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本文編號：1624836