發(fā)布時間：2018-03-17 11:26

  本文選題：變分理論　切入點：變分迭代法　出處：《哈爾濱工業(yè)大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：反問題和奇異攝動問題廣泛存在于科學和工程實踐中,反問題大多具有不適定性,由于奇異攝動參數(shù)的影響,奇異攝動問題的精確解會在求解區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生劇烈的變化,這使得通常的數(shù)值方法不能夠得到這些問題數(shù)值穩(wěn)定的近似解。所以,越來越多的學者開始關(guān)注這些問題穩(wěn)定的數(shù)值算法。本文主要研究反問題和奇異攝動問題的變分方法,該方法以變分理論為基礎(chǔ),其主要優(yōu)勢在于該方法能為求解實際問題提供強大的理論框架,可使病態(tài)問題表現(xiàn)為一個適定問題。主要研究內(nèi)容如下:第二章給出偏微分方程源項反問題和系數(shù)反問題的反演方法,提出利用間接法對問題進行反演�；谶@種思想,通過給定的附加條件得到與原方程等價的非線性方程,用等價方程的解對精確解進行近似。由于要考慮求解過程中誤差的積累對方程數(shù)值解的影響,本文引入變分迭代法給出等價的非線性方程的數(shù)值解,該方法的特點在于能夠通過較少的迭代步數(shù)得到很好的數(shù)值結(jié)果。在數(shù)值例子與實驗方面,舉例說明方法的實現(xiàn)過程,并對附加條件進行擾動實驗。第三章研究了奇異攝動問題的數(shù)值算法,提出三種改進的變分迭代法用于求解非線性二階奇異攝動初邊值問題。一方面,針對傳統(tǒng)變分迭代法的不足,提出了求解長區(qū)間上的Lane Emden方程的分段變分迭代法。該方法是在長區(qū)間上,將區(qū)間分段,在每個小區(qū)間上應(yīng)用變分迭代法,克服了傳統(tǒng)的變分迭代法只在小區(qū)間范圍收斂的缺陷,并為了保證方法的穩(wěn)定性,進行了收斂性分析與誤差估計;另一方面,對于攝動問題,將變分迭代法與攝動技術(shù)巧妙的結(jié)合在一起,小參數(shù)的攝動技術(shù)能夠消除攝動參數(shù)對數(shù)值求解過程的影響,而變分迭代法在很多情況下能夠得到快速收斂解。變分迭代-攝動方法結(jié)合了這兩種方法的優(yōu)勢,能夠有效的求解非線性二階攝動初值問題;此外,對于邊值問題,由于變分迭代法給出的迭代公式不能直接推導出迭代結(jié)果滿足邊值條件,已有的處理辦法是在迭代初值中加入待定常數(shù),但當非線性項很復雜時,這個待定常數(shù)很難確定,所以本文將打靶法與變分迭代法結(jié)合,很好的解決了這個問題,得到了收斂快、精度高的打靶-變分迭代法。在第四章中,針對變分原理在反問題方面的實際應(yīng)用——圖像去噪問題,提出一種基于凸與非凸函數(shù)耦合的能量泛函的變分模型,基于該變分模型利用變分原理得到對應(yīng)的偏微分方程用于圖像去噪。該方程是正倒向擴散的,非常適用于對分片常值圖像進行圖像去噪。由于非凸函數(shù)的引入,要考慮方程解的存在唯一性,本文提出用Young測度理論論證方程弱解的存在性,在一定的附加條件下,論證Young測度解的唯一性,并利用Young測度解的性質(zhì)說明模型的合理性。在數(shù)值實驗方面,本文提出用PM方法的離散格式和AOS離散格式對所得偏微分方程進行數(shù)值計算,另外,提出用圖像的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度來評價去噪效果。實驗的數(shù)值結(jié)果表明,本文提出的模型不但可以消除PM模型的斑點效應(yīng),避免TV模型的階梯效應(yīng),還可以很好的保護邊界。與這兩種經(jīng)典模型相比,新模型無論從視覺效果上還是從圖像去噪評價指標上都優(yōu)于其它模型。
[Abstract]:......
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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