本文選題：薛定諤泊松方程　切入點(diǎn)：基爾霍夫型方程　出處：《湖南大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文運(yùn)用變分技巧研究了兩類具有臨界指數(shù)增長的非局部橢圓偏微分方程的正解.第一類是薛定諤泊松方程.這類方程來自于量子電動(dòng)力學(xué),半導(dǎo)體理論等領(lǐng)域,是用來描述粒子在空間和時(shí)間中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的模型.實(shí)際上,當(dāng)描述多個(gè)粒子的融合以及相互作用的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí),則引進(jìn)一個(gè)相應(yīng)的非線性擾動(dòng)項(xiàng).而當(dāng)考慮粒子運(yùn)動(dòng)過程中伴隨有電場產(chǎn)生時(shí),通常引進(jìn)一個(gè)泊松擾動(dòng)項(xiàng).當(dāng)非線性項(xiàng)具有臨界指數(shù)增長時(shí),我們得到了這類方程正基態(tài)解,與半經(jīng)典解的存在性結(jié)果.此外,我們也得到了當(dāng)普朗克常數(shù)趨向于零時(shí)半經(jīng)典解的集中性與指數(shù)衰減性.第二類是基爾霍夫方程.這類方程不僅刻畫可伸縮繩橫向振動(dòng)的長度變化,而且在非牛頓力學(xué)、宇宙物理、血漿問題和彈性理論、人口動(dòng)力學(xué)等諸多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.當(dāng)非線性項(xiàng)具有一般的臨界指數(shù)增長時(shí),我們研究了正基態(tài)解的存在性以及正約束態(tài)解的多重性.全文共分為五章,其主要內(nèi)容如下:第一章著重介紹所研究的問題的物理背景、發(fā)展現(xiàn)狀以及最新進(jìn)展,然后對(duì)本文的工作做簡要的介紹,并給出了一些所需的預(yù)備知識(shí).在第二章,利用一個(gè)抽象的臨界點(diǎn)定理以及集中緊致原理討論了具有臨界指數(shù)增長的薛定諤泊松方程正基態(tài)解的存在性.由于我們沒有給出任何緊性假設(shè)條件,我們必須細(xì)心地分析該方程的極限形式.首先我們利用集中緊致原理在一個(gè)自然壓縮下的流形中證明該極限方程至少存在一個(gè)正基態(tài)解.然后分析PalaisSmale序列的性質(zhì),建立一個(gè)局部緊性分裂定理.最后結(jié)合一個(gè)抽象的臨界點(diǎn)定理去得到原方程基態(tài)解的存在性.在第三章,在沒有假設(shè)函數(shù)t→f(t)/t3單調(diào)的條件下,我們研究了一類一般的臨界指數(shù)增長的薛定諤泊松方程半經(jīng)典解的存在性.由于線性擾動(dòng)項(xiàng)可能是強(qiáng)制的,標(biāo)準(zhǔn)的索布列夫空間已經(jīng)不適合我們這類問題的討論.我們首先利用削減方法去證明修正方程至少存在一個(gè)山路解.然后細(xì)心地分析極限方程的性質(zhì)并且建立一個(gè)新的局部緊性分裂定理.該緊性定理能夠幫助我們得到原始方程至少存在一個(gè)正約束態(tài)解的結(jié)果.利用最大值原理我們也研究了正約束解的指數(shù)衰減性.在第四章,在沒有單調(diào)性假設(shè)條件下,我們研究了一般臨界指數(shù)增長的基爾霍夫方程的正基態(tài)解的存在性.通過把能量泛函壓縮在一個(gè)抽象的Pohozaev流形中,我們利用徑向空間中的緊嵌入性質(zhì)證明極小化序列的收斂性.利用Pohozaev等式我們證明了最小能量值能用山路能量值刻畫.在第五章,我們討論了具有臨界指數(shù)增長的基爾霍夫方程半經(jīng)典解的多重性以及集中性與指數(shù)衰減性.在一些適度假設(shè)條件下,我們得到了該方程正解的個(gè)數(shù)與擾動(dòng)圖形結(jié)構(gòu)有關(guān)的結(jié)論.此外,我們也證明了該方程至少存在一個(gè)基態(tài)解.我們的主要證明思想是根據(jù)線性擾動(dòng)函數(shù)的每一個(gè)全局極小值點(diǎn),我們定義一個(gè)Nehari解流形,然后利用一個(gè)廣義重心映射對(duì)Nehari解流形進(jìn)行區(qū)分.最后在每一個(gè)子流形中,利用集中緊致原理與Ekeland變分原理去研究極小化序列的收斂性.
[Abstract]:This paper uses variational techniques to study two kinds of positive solutions of nonlocal elliptic partial differential equation with critical exponent. The first is the Schrodinger Poisson equation. This equation is derived from quantum electrodynamics, semiconductor theory and other fields, is used to describe the particle motion in space and time in the model. In fact, when the law of motion the fusion of multiple particles and describe the interaction, the introduction of a perturbation of the corresponding nonlinear term. But when considering the particle movement process with electric field, usually the introduction of a Poisson perturbation. When the nonlinear term is critical exponent, we got this kind of equation is the ground state solution, and half the classical existence results. In addition, we also obtained when the Planck constant tends to concentrate and index at zero thirty classical decay of solutions. The second category is the Kirchhoff equation. This equation is not Only describe the length change of transverse vibration of the telescopic rope, but also in non Newtonian mechanics, cosmic physics, plasma and elastic theory, population dynamics and other fields are widely used. When the nonlinear term critical exponent with general growth, we studied is the existence of ground state solutions and positive solutions of multiple constraints the full thesis is divided into five chapters, the main contents are as follows: the first chapter introduces the physical background of the problem, the development status and the latest progress, then the work of this paper is briefly introduced, and gives some preliminary knowledge required. In the second chapter, using an abstract critical point theorem and the concentration compactness principle is discussed with Schrodinger Poisson equation with critical exponent is the existence of ground state solutions. Because we have not given any compactness assumptions, we must carefully analyze the polar equation The limit form. We use the concentration compactness principle proves that the equation has at least one positive solution in a natural state under compression. Then the manifold properties of PalaisSmale sequence analysis, to establish a local compactness theorem. Finally, a division of abstract critical point theorem to obtain the existence of solutions of the original equation of state in the third chapter, without assuming the function of t to f (T) /t3 monotone conditions, we study a class of general critical exponent Schrodinger Poisson equation semi classical solution. The linear disturbance may be mandatory, standard cable Buliefu space is not suitable for our discussion of this problem we first use the method of cutting. To prove the correction equation has at least one mountain solution. And then carefully analysis of the nature of the limit equation and establish a new division of the local compactness theorem. The compactness theorem Can help us get the original existence of at least one positive solution of the constraint state. The results we also study the positive solution of a constrained exponential decay principle. In the fourth chapter, in the absence of monotonicity assumption is the ground state we study the existence of solution of Kirchhoff equation in general critical exponent through. The energy functional compression in an abstract Pohozaev manifold, we use compact embedding properties in radial space convergence of minimizing sequence. By using the Pohozaev equation we prove that the minimum energy value can be described by the mountain energy value. In the fifth chapter, we discuss the critical exponent of Kirchhoff equation with semi classical multiple solutions as well as the concentration and attenuation. In some appropriate conditions, we obtain the equation is the number of solutions and perturbation graph structure of the conclusions. In addition, We also prove the existence of at least one ground state solution. Our main idea is to point value according to every global minimal linear perturbation function, we define a Nehari solution manifold, then Nehari solution manifold can be distinguished by the use of a generalized barycentric mapping. Finally, in each sub manifold, with convergence centralized principle and Ekeland compact variational principle to study the minimal sequence.

【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175

【相似文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前10條

1 臧濤成;;具有特殊非齊次項(xiàng)泊松方程的特解法[J];大學(xué)數(shù)學(xué);2011年02期

2 呂忠全;王雨順;;泊松方程的一個(gè)多辛積分方法(英文)[J];南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2011年04期

3 呂家祥;李海玲;;對(duì)靜態(tài)場的■、猊滿足的泊松方程的討論[J];桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào);1987年Z1期

4 李其深;一種求泊松方程特解的方法[J];工科數(shù)學(xué);1994年02期

5 李本文;于洋;赫冀成;;極坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)下Fourier-Chebyshev配置點(diǎn)譜方法泊松方程求解器[J];東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2008年02期

6 楊燕;關(guān)于泊松方程的解——《電動(dòng)力學(xué)》教學(xué)札記[J];文山師范高等�？茖W(xué)校學(xué)報(bào);2002年01期

7 惠梅,王東生,李慶祥,鄧年茂,徐毓嫻;基于離散泊松方程解的相位展開方法[J];光學(xué)學(xué)報(bào);2003年10期

8 汪學(xué)海;祝家麟;林鑫;張永興;;泊松方程的邊界節(jié)點(diǎn)解法[J];重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2007年12期

9 苗雨;晏飛;王元漢;;奇異雜交邊界點(diǎn)方法求解泊松方程[J];華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);2008年06期

10 張健;;泊松方程圓內(nèi)狄利克雷問題的付氏解[J];青海師專學(xué)報(bào);2008年05期

相關(guān)會(huì)議論文 前2條

1 桑蘇玲;鄭璐石;任可亮;;用差分線法求解泊松方程[A];“力學(xué)2000”學(xué)術(shù)大會(huì)論文集[C];2000年

2 何雪松;吳崇健;;基于間接Trefftz法求解泊松方程[A];2009年船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議暨中國船舶學(xué)術(shù)界進(jìn)入ISSC30周年紀(jì)念會(huì)論文集[C];2009年

相關(guān)博士學(xué)位論文 前2條

1 劉志蘇;薛定諤泊松方程與基爾霍夫方程解的存在性研究[D];湖南大學(xué);2015年

2 張勇;薛定諤—泊松方程組的數(shù)值計(jì)算和分析及其應(yīng)用[D];清華大學(xué);2012年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前10條

1 王榮;歐拉-泊松方程組的一些研究[D];上海交通大學(xué);2015年

2 陳寅;基于泊松方程的浮雕處理技術(shù)研究[D];國防科學(xué)技術(shù)大學(xué);2010年

3 徐旭光;基于有限差分法的泊松方程算法研究與軟件實(shí)現(xiàn)[D];電子科技大學(xué);2011年

4 蔣建剛;薛定諤和泊松方程有限元法求解[D];廣東工業(yè)大學(xué);2014年

5 張凱;基于泊松方程的三維表面重建算法的研究[D];河北工業(yè)大學(xué);2014年

6 沈瓊;求解泊松方程的弱超罰對(duì)稱內(nèi)部懲罰法的多水平預(yù)處理方法[D];南京師范大學(xué);2013年

7 曹永艷;高階常微分方程、二維和三維泊松方程和雙調(diào)和方程Haar小波數(shù)值解[D];西安建筑科技大學(xué);2012年

8 李清波;基于PVM下的泊松方程并行迭代求解[D];貴州師范大學(xué);2006年

9 葉愷;基于泊松方程的低形變薄層映射生成算法[D];浙江大學(xué);2006年

10 于志安;水動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬MPS方法的改進(jìn)及應(yīng)用[D];天津大學(xué);2007年

，

本文編號(hào)：1611138