本文選題：非線性波動方程　切入點：爆破　出處：《南京大學》2015年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：有關非線性高維雙曲方程整體經(jīng)典解或解爆破的研究不但是偏微分方程理論的核心問題,而且也有著強烈的物理應用背景,如在流體力學,量子力學,控制論等學科中。從事該研究領域的著名專家有：J.Bourgain(1998年菲爾茲獎獲得者),Tao Terence(2004年菲爾茲獎獲得者),L.Hormander(1968年菲爾茲獎獲得者),S.Alinhac(巴黎第六大學教授),S.Klainermann(普林斯頓大學教授),Christodoulou(普林斯頓大學教授),I.Rodnianski(普林斯頓大學教授)等。對于n維空間中非線性波動方程的小初值問題：其中并且f在0點二階消失。當初始值是具有緊支集的光滑函數(shù)時,通過許多數(shù)學家的努力,到2000年左右人們已知基本解決了相關全局光滑解(n3)或產(chǎn)生爆破現(xiàn)象的(n=1,2,3)問題。從已經(jīng)解決問題的方程形式我們可以看到,非線性的擾動項只與解的導數(shù)有關,而與解的本身無關,而且該無關性是至關重要的。也就是說當系數(shù)擾動項與解本身有關時,情況非常復雜。事實上,在上個世紀后期,對于系數(shù)與解本身相關的情況,一些著名數(shù)學家就對特殊的情形給出了令人鼓舞的結果,比如說當他們滿足弱零條件或者n大于4時,全局解是存在的。為了研究更一般的非線性波方程Cauchy問題的解的整體存在性或爆破問題,S.Alinhac在2003年證明了三維非線性波動方程：的全局的存在性。他的工作是新奇深刻且有突破性的。而H.Lindblad又于2008年結合廣義相對論方程的研究方法對更一般的情形給出了全局存在性結果。除了上述的理論背景外,研究高維隱含解本身的非線性波動方程還具有相當?shù)奈锢肀尘?如來自于來自于流體動力學和廣義相對論中的擬線性波動方程(或方程組)、來自于材料科學以及變分學中的散度型的非線性波動方程等。本文中,我們將考慮非線性波動方程(0.0.1)中的gjk和f不僅與解的導數(shù)u1有關,而且與解本身u有關的一些情形。我們是從經(jīng)典解的角度來考慮問題的,所以在這篇博士論文中,我們都是假設初值是光滑具有緊支集的,然后對不同類型的問題采用不用的方法研究其經(jīng)典解的爆破性質或者全局存在性。本文的主要結果如下：在第二章中,我們著重研究一類特殊的非線性波動問題：三維壓力梯度模型。這個模型起源于3維可壓縮歐拉系統(tǒng),它可以歸結為形式是的這樣一個波方程,其中i≤3)以及x=(x1,x2.x3)。在這一章中,我們是在初值是關于常狀態(tài)的小擾動下建立的3維壓力梯度方程經(jīng)典解的爆破結果。在第三章中,我們主要考慮帶有小初值的三維非線性波動方程的解的爆破問題,這是具有更一般形式的一個典型的代表,其中關于其變量光滑且可以顯式地表示為這里cij,dij以及eijk是常數(shù),并且至少有一個(i,j)滿足dij≠0。另外,不滿足零條件。對于三維波方程(?)t2u-(1+u)△u=0或者(?)t2u-(1+(?)tu)△u=0H.Lindblad,S.Alinhac以及F.John已經(jīng)相應的給出了全局存在性或爆破結果。在這一章,我們主要證明了(?)t2u-(1+u+(?)tu)△u=0的小初值光滑解在有限時間內(nèi)爆破,并且在初值是徑向對稱時建立了存在時間Tε的顯式表達式。在第四章中,我們關注的是一般形式的二維波動方程0,其中gij(u,%絬)的形式與第三章中的相同。當零條件不滿足并且假設初值具有一個合適的非退化條件時,我們證明了在有限時間內(nèi)小初值的光滑解是爆破的。更近一步的,我們建立了存在時間的顯式表達式以及相應的爆破機制。在第五章中,我們研究了二維Chaplygin氣體的可壓縮歐拉系統(tǒng)的全局對稱解問題。對于一維或者高維多方氣體的可壓縮歐拉系統(tǒng),我們已經(jīng)知道了在有限時間內(nèi)光滑解將產(chǎn)生奇性。然而,對于三位的Chaplygin氣體,由于無旋和等熵流導致的勢方程中“零條件”起了至關重要的作用,P. Godin已經(jīng)證明了當初值是一個常狀態(tài)的光滑緊致小擾動時,帶有可變熵的三維光滑球對稱流是全局存在的。借助于滿足兩個零條件的二維擬線性波動方程的全局光滑小解的存在性,通過尋求一個合適的“靈魂權”以及一系列的分析,我們可以得到二維Chaplygin氣體小對稱解的一致加權估計。更近一步地,用連續(xù)性方法建立了光滑解的全局存在性。
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【學位授予單位】：南京大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.29

【參考文獻】

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1 李蔭藩,曹亦明;“LARGE-PARTICLE” DIFFERENCE METHOD WITH SECOND-ORDER ACCURACY IN GASDYNAMICS[J];Science in China,Ser.A;1985年10期

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本文編號：1606507