本文選題：可壓流體　切入點：等熵Navier-stokes方程組　出處：《上海交通大學》2015年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：初值含真空的光滑大解的適定性和奇性理論是流體力學方程組數(shù)學理論的一個重要分支.本文主要在流體粘性系數(shù)為密度的冪律的情形下,對高維的可壓等熵Navier-Stokes方程組的Cauchy問題進行了一系列研究.由于該系統(tǒng)在真空區(qū)域高度的退化性,光滑解的構(gòu)造一直以來都是大家所關(guān)心的公開問題.本文在這個方向上做出了有一定價值的貢獻.在第一章緒論中,我們簡要介紹相關(guān)的數(shù)學模型及物理背景,回顧研究現(xiàn)狀,闡述本文考慮問題的特點,數(shù)學上的主要困難及本文的創(chuàng)新之處,并且給出了必要的預備知識.本論文主要結(jié)果如下：一.含真空的光滑解的局部存在性.基于對該系統(tǒng)在真空區(qū)域中數(shù)學結(jié)構(gòu)的分析,我們合理地給出了流體速度在真空區(qū)域上隨時間變化的演化機制.在此基礎(chǔ)上,通過充分利用該方程組中雙曲算子的對稱結(jié)構(gòu)和退化橢圓算子的弱光滑性,以及引進人工粘性,我們得到了一系列與初始密度的下界無關(guān)的先驗估計,從而成功的建立了初值含真空的高維光滑大解的局部(時間)存在性理論.在這里,我們特別指出,在真空區(qū)域上,粘性系數(shù)關(guān)于密度的不同冪次對應(yīng)了控制流體速度隨時間演化的方程組的不同數(shù)學結(jié)構(gòu).二.粘性消失極限.對于高維的可壓等熵流的含真空(在某些開集或者無窮遠處)的光滑大解,我們建立了從Navier-Stokes方程組至Euler方程組的粘性消失極限,并且在Sobolev空間Hs(s'為屬于[2,3)的任意常數(shù))中給出了相應(yīng)的收斂速率.事實上,我們可以證明可壓等熵Navier-Stokes方程組的解的生命跨度具有與粘性系數(shù)無關(guān)的一致正下界.并且,值得注意的是,我們還可以對所得的解,在H3空間中建立一個與粘性系數(shù)無關(guān)的一致能量估計,這樣就使得粘性消失極限的建立成為可能.三.解的奇性形成.基于流體速度在真空區(qū)域上隨時間變化的演化機制的分析,我們給出了兩類必然會導致正則解在有限時間內(nèi)爆破的初始條件.事實上,我們將會證明,對于某些初值,如果真空出現(xiàn)在某些局部開集上,那么我們得到的解肯定會在有限時間內(nèi)發(fā)生爆破,不論初值是多么的光滑,并且在任意意義下充分小.那么這就使得,即使在初值充分小的情形下,建立一般的整體光滑解存在的理論變得不可能.同時我們指出了,由于我們得到的光滑解滿足積分意義下的動量守恒定律,那么就不會得到滿足流體速度的L∞范數(shù)會隨著時間趨向無窮而衰減到零的整體解.四.Beale-Kato-Majda型爆破準則.對應(yīng)于前面給出的奇異性結(jié)果,我們在粘性系數(shù)線性依賴于密度的情形下給出了相應(yīng)的Beale-Kato-Majda型爆破準則.更準確地說,我們證明了△ρ/ρ和D(u)=(%絬+%絬T)/2的L∞范數(shù)控制了光滑解可能的爆破.這就意味著,如果解在初始時刻是光滑的,但是在以后的某一個時刻失去了光滑性,那么這個奇異性一定是由于解在這個臨界時間上失去了Vρ/ρ或者D(u)的L∞范數(shù)的上界引起的.
[Abstract]:Well posedness and singularity theory of smooth solution of initial vacuum is an important branch in the theory of fluid mechanics equations in mathematics. This paper mainly in the viscous coefficients for power-law density in the case, conducted a series of studies on high dimensional compressible isentropic Navier-Stokes equations of the Cauchy problem. Because of the system in the vacuum region highly degenerate, smooth solution structure has always been open issues of concern to everyone. This paper makes a valuable contribution in this direction. In the first chapter, we briefly introduce the mathematical model and the physical background related to the review of the research status, this paper consider the characteristics of the problem. In this paper, the mathematics of the main difficulties and innovation, and give the necessary prior knowledge. The main results of this thesis are as follows: 1. The local existence of smooth solutions of the vacuum based on the system. In the vacuum region mathematical structure analysis, we reasonably show the evolution mechanism of the fluid velocity varies with time in the vacuum area. On this basis, by making full use of the structure of symmetric hyperbolic operator equations and degenerate elliptic operators and weak smoothness, and the introduction of artificial viscosity, we obtained a priori estimates independent the lower bound of a series of initial density, thus successfully established local initial vacuum high dimensional smooth solution (time) existence theory. Here, we pointed out that in the vacuum region, the viscosity coefficient on the density of different power corresponding to the equations of different mathematical structures with time evolution control fluid speed. Two. The vanishing viscosity limit. For high dimensional vacuum pressure containing isentropic flow (in some open or infinity) smooth solution, we established from Navier-Stokes to E equations The Uler equations of the vanishing viscosity limit, and in the Sobolev space Hs (S') belongs to [2,3) the arbitrary constants are given in the corresponding convergence rate. In fact, we can prove that compressible isentropic Navier-Stokes equations of the life span has nothing to do with the viscous coefficient of uniform positive lower bound. Moreover, worth noting is that we can on the solution, to establish a consistent energy independent and viscous coefficient estimation in H3 space, which makes possible the establishment of viscous limit disappeared. Three. Singular solution. The formation of evolution mechanism of fluid velocity varies with time in the vacuum region based on our proposed the two class will inevitably lead to the regular solution of initial conditions of blow up in finite time. In fact, we will prove that for some initial value, if the vacuum appeared in some local open set, then we get the solution must be in Blow up in finite time, regardless of the initial value is so smooth, and in any sense. So it has a sufficiently small, even in the case of the initial value is small enough, the establishment of a general theory of the existence of global smooth solution is not possible. At the same time, we point out, because we get the smooth solution to meet the law of conservation of momentum integral in the sense, then it does not satisfy the L norm of the fluid velocity with time tends to infinity and decay to zero solutions. Four.Beale-Kato-Majda type blasting criterion. The singularity corresponds to the result given above, we depend on the density of the case are given Beale-Kato-Majda type blasting corresponding criterion in viscous coefficient linear. Precisely, we prove that the delta Rho / Rho and D (U) = (T +%% Xie Xie) L norm /2 control of the smooth solution possible blasting. This means that if the solution at the initial moment is smooth However, a certain time in the future loss of smoothness, then the singularity is due to certain solutions in this critical time lost V P / P or D (U) caused by the L norm of the upper bound.

【學位授予單位】：上海交通大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175

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本文編號：1605619