本文選題：非線性方程組　切入點(diǎn)：分式模型　出處：《南京航空航天大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：最優(yōu)化理論與方法是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科,它研究如何從某些實(shí)際問題的眾多可行方案中找出最優(yōu)解.而非線性方程組的求解是最優(yōu)化理論的重要組成部分.非線性方程組的求解在金融、貿(mào)易、管理、科學(xué)研究等國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.本論文主要是求解非線性方程組的若干優(yōu)化算法與應(yīng)用研究,提出了基于分式模型的解非線性方程組的信賴域法和新割線法,首次把求解非線性方程組的方法應(yīng)用到求張量Z-特征值問題,提出了求對稱張量Z-特征對的擬牛頓法和共軛梯度法,證明了這些算法的相關(guān)收斂性,并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析,還研究了本文提出的幾種算法在金融投資問題中的實(shí)際應(yīng)用.整篇論文共分為八章.第一章主要介紹了本文的研究背景和意義、預(yù)備知識、研究現(xiàn)狀和主要研究內(nèi)容.第二章對求解非線性方程組的幾種常用方法進(jìn)行了概述.第三和第四章是求解非線性方程組的算法研究.在第三章我們提出了基于分式模型的解非線性方程組的信賴域法,證明了算法的性質(zhì),以及全局和局部二階收斂性,并給出了該方法與信賴域牛頓法的數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明對于那些曲率劇烈變化的非線性函數(shù),分式模型逼近的效果好于一次模型.以此為基礎(chǔ),我們在第四章提出了基于分式模型的解非線性方程組的新割線法.該方法適用于那些雅可比矩陣難以計(jì)算的非線性方程組.在局部誤差界的條件下,證明了算法的全局和局部超線性收斂性,并給出了該方法與擬牛頓法的數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明新割線法對于某些問題比擬牛頓法更有效.第五和第六章是求解非線性方程組算法的應(yīng)用研究,把求解對稱非線性方程組的方法應(yīng)用到求對稱張量的Z-特征值.在第五章我們將求對稱張量的特征對問題轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組的問題,證明了其非線性方程組的雅可比矩陣為對稱矩陣,提出了求對稱張量Z-特征對的擬牛頓法,證明了算法的全局和局部超線性收斂性,并給出了數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析.數(shù)值結(jié)果表明該方法對于求對稱張量的Z-特征對在某種程度上比平移冪方法(SS-HOPM)更有效.在第六章我們將解對稱非線性方程組的修正的FR共軛梯度法的線搜索技術(shù)進(jìn)行改進(jìn),提出了求對稱張量Z-特征對的修正的FR共軛梯度法,證明了算法的全局收斂性,并給出了數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法對于求對稱張量的Z-特征對是有效的.第七章主要研究了本文提出的解非線性方程組的幾種算法在金融投資問題中的實(shí)際應(yīng)用.第八章對本文提出的算法進(jìn)行了總結(jié),并提出了一些值得進(jìn)一步研究的問題.
[Abstract]:Optimization theory and method is an applied subject. It studies how to find the optimal solution from many feasible solutions of some practical problems, and the solution of nonlinear equations is an important part of optimization theory. In many fields of the national economy, such as scientific research, this paper is mainly concerned with some optimization algorithms and applications for solving nonlinear equations. A trust region method and a new Secant method for solving nonlinear equations based on fractional model are proposed. For the first time, the method of solving nonlinear equations is applied to the solution of Zhang Liang's Z- eigenvalue problem. The quasi-Newton method and conjugate gradient method for finding symmetric Zhang Liang Z- characteristic pairs are proposed. The correlation convergence of these algorithms is proved, and the numerical calculation and analysis are carried out. The thesis is divided into eight chapters. The first chapter mainly introduces the research background and significance of this paper. In the second chapter, several common methods for solving nonlinear equations are summarized. The third and 4th chapters are the algorithms for solving nonlinear equations. In chapter 3, we propose a method based on division. Trust region method for solving nonlinear equations, The properties of the algorithm and the convergence of global and local second order are proved. The numerical results and analysis of the method are compared with those of the trust region Newton method. The experimental results show that for the nonlinear functions whose curvature varies dramatically, The approximation effect of fractional model is better than that of primary model. In Chapter 4th, we propose a new Secant method for solving nonlinear equations based on fractional model. This method is suitable for nonlinear equations with Jacobian matrix which are difficult to calculate. Under the condition of local error bound, The global and local superlinear convergence of the algorithm is proved. The experimental results show that the new Secant method is more effective than the Newton method in some problems. Chapter 5th and 6th are the application research of solving nonlinear equations. The method of solving symmetric nonlinear equations is applied to find the Z- eigenvalue of symmetric Zhang Liang. In Chapter 5th, we transform the problem of finding the characteristic pairs of symmetric Zhang Liang into the problem of solving nonlinear equations. The Jacobian matrix of its nonlinear equations is proved to be a symmetric matrix, and the quasi-Newton method for finding symmetric Zhang Liang Z- characteristic pairs is presented. The global and local superlinear convergence of the algorithm is proved. The numerical results show that this method is more effective than the translation power method in finding the Z- characteristic pair of symmetric Zhang Liang. In Chapter 6th, we will solve the symmetric nonlinear equations. A modified FR conjugate gradient method for line search is improved. In this paper, a modified FR conjugate gradient method for finding symmetric Zhang Liang Z- characteristic pairs is proposed, and the global convergence of the algorithm is proved. The experimental results show that this method is effective for finding the Z- characteristic pair of symmetric Zhang Liang. Chapter 7th mainly studies several algorithms proposed in this paper for solving nonlinear equations in finance. Chapter 8th summarizes the algorithm proposed in this paper. Some problems worthy of further study are put forward.
【學(xué)位授予單位】：南京航空航天大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.7

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本文編號：1597847