本文選題：可積方程　切入點(diǎn)：高階譜問(wèn)題　出處：《鄭州大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文的研究對(duì)象是與高階譜問(wèn)題相聯(lián)系的可積方程,研究?jī)?nèi)容分為兩大部分:利用基于Riemann Hilbert問(wèn)題的Fokas統(tǒng)一變換方法研究可積方程在半直線上的初邊值問(wèn)題,以及利用基于Riemann Hilbert問(wèn)題的Deift Zhou非線性最速下降法研究可積方程初值問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為.在本文的第二章中,我們研究耦合非線性Schr¨odinger方程的初邊值問(wèn)題.首先,利用初始和所有邊值數(shù)據(jù)分別定義譜函數(shù)(6))和(6)),并借助Fredholm積分方程構(gòu)造相關(guān)的Riemann Hilbert問(wèn)題,其中跳躍矩陣是由(6))和(6))確定的.然后,我們證明方程的解可以由Riemann Hilbert問(wèn)題的解給出,且得到的解與初值和邊值數(shù)據(jù)吻合.對(duì)于適定問(wèn)題,一部分邊值是未知的,然而對(duì)于一類特殊的邊界條件,即線性化邊界條件,我們可以利用(6))表示(6)).對(duì)于非線性化邊界條件,利用擾動(dòng)展開(kāi)法給出未知邊界值的一個(gè)有效表示.在第三章中,我們研究耦合修正Korteweg de Vries方程的初邊值問(wèn)題.與第二章不同的是,本章我們采取“打包”的思想,將方程的高階Lax對(duì)寫(xiě)成2×2分塊矩陣的形式,并利用譜問(wèn)題的特征函數(shù)的組合來(lái)構(gòu)造相關(guān)的Riemann Hilbert問(wèn)題.此外,引入Sherman Morrison公式,巧妙地推出了Riemann Hilbert問(wèn)題的跳躍矩陣和相應(yīng)的留數(shù)條件.在本文的第四章中,我們利用矩陣分塊將高階譜問(wèn)題低階化,構(gòu)造一個(gè)2×2的分塊矩陣Riemann Hilbert問(wèn)題.首先,引入矩陣函數(shù)并作原Riemann Hilbert問(wèn)題的一個(gè)等價(jià)變換,然而滿足矩陣Riemann Hilbert問(wèn)題的函數(shù)的不可解性給我們帶來(lái)了挑戰(zhàn),幸運(yùn)的是,文中利用的漸近逼近克服了這一困難.然后,利用非線性最速下降法,將Riemann Hilbert問(wèn)題經(jīng)過(guò)一系列變換后,我們得到一個(gè)拋物柱面方程.最終,借助標(biāo)準(zhǔn)拋物柱面函數(shù)的漸近性研究了耦合非線性Schr¨odinger方程在衰減初值條件下解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為.與第四章采用的方法類似,在第五章中,我們從Sasa Satsuma方程的Lax對(duì)出發(fā),構(gòu)造相應(yīng)的Riemann Hilbert問(wèn)題,并借助非線性最速下降法以及標(biāo)準(zhǔn)拋物柱面函數(shù),求出了該方程的漸近主部.與第四章不同的是,本章涉及到兩個(gè)駐相點(diǎn),相應(yīng)Riemann Hilbert問(wèn)題的跳躍曲線更復(fù)雜.
[Abstract]:The object of this paper is the integrable equation associated with higher order spectral problems. The research contents are divided into two parts: the Fokas unified transformation method based on Riemann Hilbert problem is used to study the initial-boundary value problem of integrable equations on half-line. And the Deift Zhou nonlinear steepest descent method based on Riemann Hilbert problem is used to study the long time asymptotic behavior of the solution of the initial value problem of integrable equation. In the second chapter of this paper, we study the initial-boundary value problem of the coupled nonlinear Schr odinger equation. Using the initial and all boundary value data to define the spectral function and the Hilbert problem respectively, and using the Fredholm integral equation to construct the related Riemann Hilbert problem, in which the jump matrix is determined by the two methods. Then, we prove that the solution of the equation can be obtained by the solution of the Riemann Hilbert problem. Some of the boundary values are unknown for the fitness problem, but for a class of special boundary conditions, that is, linearized boundary conditions, we can express the boundary conditions by using Yi-6o). For the nonlinear boundary conditions, An efficient representation of the unknown boundary value is given by using the perturbation expansion method. In chapter 3, we study the initial-boundary value problem of the coupled modified Korteweg de Vries equation. Different from the second chapter, we take the idea of "packing" in this chapter. The higher order Lax pairs of the equation are written in the form of 2 脳 2 block matrices, and the associated Riemann Hilbert problem is constructed by the combination of the eigenfunctions of the spectral problems. In addition, the Sherman Morrison formula is introduced. In chapter 4th of this paper, we deduce the jump matrix and the corresponding residue condition of the Riemann Hilbert problem. In Chapter 4th, we use the matrix block to order the higher order spectrum problem and construct a 2 脳 2 block matrix Riemann Hilbert problem. This paper introduces the matrix function and makes an equivalent transformation of the original Riemann Hilbert problem. However, the irsolvability of the function satisfying the matrix Riemann Hilbert problem brings us a challenge. Fortunately, the asymptotic approximation used in this paper overcomes this difficulty. By using the nonlinear steepest descent method, we obtain a parabolic cylindrical equation after a series of transformations for the Riemann Hilbert problem. By means of the asymptotic behavior of standard parabolic cylindrical functions, the long time asymptotic behavior of the coupled nonlinear Schr odinger equation under the condition of decay initial value is studied. Similar to the method used in Chapter 4th, in Chapter 5th, we proceed from the Lax pair of the Sasa Satsuma equation. The corresponding Riemann Hilbert problem is constructed, and the asymptotic principal part of the equation is obtained by means of the nonlinear steepest descent method and the standard parabolic cylindrical function. Different from Chapter 4th, this chapter deals with two stationary phase points. The jump curve of the corresponding Riemann Hilbert problem is more complicated.
【學(xué)位授予單位】：鄭州大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O175.5

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