本文選題：Morse指標(biāo)　切入點(diǎn)：臨界群　出處：《山東大學(xué)》2017年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：變分學(xué)與偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域,這一領(lǐng)域不僅在數(shù)學(xué)的其他分支,如微分幾何,調(diào)和分析中具有重要的應(yīng)用,而且在物理,力學(xué),生物等學(xué)科中也得到廣泛的應(yīng)用。變分學(xué)研究帶有極值(極小值或極大值)的泛函的極值存在性問題,通過判斷泛函的臨界點(diǎn)存在性來判定泛函的極值的存在性,這些臨界點(diǎn)可以是某一坐標(biāo)點(diǎn),路徑,也可以是曲線或者曲面,所以這類問題又稱為臨界點(diǎn)理論,其中Morse理論是變分法的一項(xiàng)重要內(nèi)容,主要是為尋找臨界點(diǎn)提供相應(yīng)的方法。M.Morse最早研究大范圍變分學(xué)并提出Morse理論,J.Milnor將Morse理論進(jìn)行總結(jié)與完善,張恭慶系統(tǒng)地研究了無窮維Morse理論,同時(shí)利用這一理論解決了非線性偏微分方程的多解問題,王志強(qiáng)在無窮維Morse理論的基礎(chǔ)上提出了等變Morse理論。本文在這些人的工作基礎(chǔ)上對(duì)定義在帶有邊界的Hilbert-Riemann流形上的群不變函數(shù)的孤立臨界點(diǎn)進(jìn)行討論,得到建立在這類流形上的等變Morse理論,并利用這一理論解決了帶有Dirichlet邊界條件的擬線性橢圓型方程的多解問題。本文主要分為四章來講述所研究的內(nèi)容。第一章主要介紹了變分學(xué)的發(fā)展背景與本文的框架以及理論意義。在第二章,我們主要簡(jiǎn)單介紹無窮維Morse理論的相關(guān)概念以及變分法和擬線性偏微分方程中的一些相關(guān)定理,這些定義定理在后續(xù)的章節(jié)中具有重要的應(yīng)用。第三章與第四章是本文的重要內(nèi)容,在第三章中,我們主要詳細(xì)闡述了具有群不變的廣義邊界條件的流形上的Morse理論,我們分為四節(jié)來講述,第一節(jié)主要講述群作用的相關(guān)定義,引出了我們后續(xù)關(guān)注的對(duì)象:軌道,軌道空間,群不變空間及群不變函數(shù),群等變映射。第二節(jié)我們主要講述了帶有群作用的廣義邊界條件,即群-邊界條件,并探討了滿足這類邊界條件的流形邊界上的外法向量的合理性。第三節(jié)我們建立了具有群作用的廣義邊界條件的流形上的同調(diào)關(guān)系,即G-上同調(diào)與G-臨界群以及Morse型數(shù)和Morse指標(biāo),而這類上同調(diào)關(guān)系是建立在帶有群作用的纖維叢的基礎(chǔ)上,所以我們先講述帶有群作用的纖維叢繼而再研究這類上同調(diào)關(guān)系。最后我們給出群-邊界條件下的等變Morse關(guān)系,即本章最重要的兩個(gè)定理,等變Morse不等式與等變Morse胞腔粘合定理,對(duì)這兩個(gè)定理進(jìn)行了證明。第四章主要是闡述擬線性橢圓方程的Dirichlet問題的群等變解存在性與解的多重性問題,我們分為四部分來進(jìn)行說明。第一部分主要講述來了群等變映射組成的Sobolev空間及其性質(zhì),即Poincare不等式與Sobolev不等式;第二部分主要討論了緊李群作用下的橢圓型方程的不變性,我們選取帶有特殊正交表示的緊李群作用于Laplace方程,由Laplace方程在群作用下的不變性進(jìn)而得到群等變解是合理存在的;接著我們?cè)诘谌糠钟懻摿硕A擬線性橢圓型方程的群等變解的多重性。我們對(duì)兩類比較經(jīng)典的橢圓型方程進(jìn)行探討,第一類是超線性橢圓型方程,我們通過第三章的等變Morse不等式證明了帶有群作用的超線性Laplace方程的Dirichlet問題至少存在三個(gè)不同的群等變解。第二類我們討論的橢圓型方程是Euler-Lagrange方程,且?guī)в旋R次的Dirichlet邊界條件,根據(jù)山路引理和偶泛函的臨界點(diǎn)存在性定理,我們證明了該Euler-Lagrange方程對(duì)應(yīng)的泛函存在無界的臨界值序列,對(duì)應(yīng)有多個(gè)不同的臨界點(diǎn),從而說明此方程含有無限多個(gè)解。最后一部分我們給出了這兩類橢圓型方程具體的例子來驗(yàn)證我們?cè)诘谌糠种兴玫降慕Y(jié)論。
[Abstract]:Variational and partial differential equation is an important field of modern mathematical research, this area not only in other branches of mathematics, such as differential geometry, harmonic analysis has important applications, but also in physics, mechanics, has been widely used in the field of biological research. With the variational extremum (minimum or maximum the functional extreme value) the existence problems of existence through critical judgment to determine the existence of functional functional extremum, these critical points can be a coordinate point, path, can also be a curve or surface, so it is also known as the critical point theory, the Morse theory is one of the important the content of the variational method, is mainly to provide the corresponding.M.Morse method first on a large scale variational Morse theory is introduced to find the critical point, the J.Milnor Morse theory to summarize and improve, Zhang Gongqing made a systematic study of infinite dimensional Mors e鐞嗚,鍚屾椂鍒╃敤榪欎竴鐞嗚瑙ｅ喅浜?jiǎn)闈灳U挎，

本文編號(hào)：1567267