本文關(guān)鍵詞： 三維Anti-de Sitter空間 零Cartan曲線 直紋零曲面 類光子流形 標(biāo)架曲線 漸屈線　出處：《東北師范大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要研究了指標(biāo)為2的四維半歐氏空間的子流形H31中的零Cartan曲線的微分幾何問題.首先根據(jù)零Cartan曲線本身的特點(diǎn),建立Cartan Frenet標(biāo)架,得到特殊的Cartan Frenet方程.然后定義與零Cartan曲線相關(guān)聯(lián)的直紋零曲面及副法指標(biāo)高度函數(shù),揭示了在洛侖茲群作用下的零Cartan曲線的幾何不變量和直紋零曲面的奇點(diǎn)的關(guān)系,應(yīng)用Bruce等的奇點(diǎn)分類方法實(shí)現(xiàn)直紋零曲面的奇點(diǎn)分類.此外,本文還給出了三維歐氏空間中帶有奇點(diǎn)的曲線的漸屈線定義,進(jìn)而研究了它的性質(zhì),指出該定義可作為正則曲線漸屈線定義的推廣.本文共分為四章.第一章引言,主要介紹奇點(diǎn)理論的發(fā)展概況,并簡要闡述了本文的研究內(nèi)容和基本框架.在第二章中,我們給出了指標(biāo)為2的半歐式空間R_2~4中相關(guān)的預(yù)備知識.介紹了R_2~4空間的偽內(nèi)積,偽向量積,偽正交,偽弧長參數(shù),類空,類光及類時(shí)向量,類空曲線,類光曲線(零曲線),類時(shí)曲線等基本概念,并且給出了三維Anti-de Sitter空間,指標(biāo)為2的三維de Sitter空間及三維開光錐等重要子流形的概念.特別地,我們在本章最后介紹了一個(gè)重要結(jié)論[29],該結(jié)論能夠保證零曲線具有唯一的與切向量配對的零向量.第三章主要介紹三維Anti-de Sitter空間中零Cartan曲線的Cartan Frenet標(biāo)架及Cartan Frenet方程.以此作為基本研究工具,運(yùn)用Bruce的奇點(diǎn)分類方法,給出了由三維Anti-de Sitter空間中零Cartan曲線的主法指標(biāo)線作為基線生成的直紋零曲面的奇點(diǎn)分類.具體分類結(jié)果見定理3.6.1.在第四章中,我們研究帶有奇點(diǎn)的曲線的漸屈線的性質(zhì).首先我們給出了標(biāo)架曲線的概念,并且對于標(biāo)架曲線定義了一個(gè)移動適應(yīng)標(biāo)架.利用移動適應(yīng)標(biāo)架,我們定義了一些光滑函數(shù),這些光滑函數(shù)對于研究標(biāo)架曲線所起的作用類似于正則曲線的曲率.我們稱這些函數(shù)為標(biāo)架曲率.在此基礎(chǔ)上,我們給出三維歐氏空間中標(biāo)架曲線的漸屈線的定義.具體定義形式見定理4.2.1.值得一提的是,這個(gè)關(guān)于漸屈線的新定義與當(dāng)曲線為正則曲線時(shí)漸屈線的經(jīng)典定義是一致的.
[Abstract]:In this paper, the differential geometry of zero Cartan curve in the submanifold H31 of four-dimensional semi-Euclidean space with index 2 is studied. Firstly, according to the characteristics of zero Cartan curve, the Cartan Frenet frame is established. The special Cartan Frenet equation is obtained, and then the relations between the geometric invariant of the zero Cartan curve and the singularity of the straight zero surface are revealed by defining the straight-line zero surface associated with the zero Cartan curve and the index height function of the pair method, and the relation between the geometric invariants of the zero Cartan curve and the singularity of the straight zero surface under the Lorentz group is revealed. The singularity classification method proposed by Bruce et al is used to classify the singularities of straight zero surfaces. In addition, this paper gives the definition of the curve with singular points in three dimensional Euclidean space, and then studies its properties. It is pointed out that this definition can be used as a generalization of the definition of regular curve involution line. This paper is divided into four chapters. Chapter one introduces the development of singular point theory, and briefly describes the research content and basic framework of this paper. In this paper, we give the preparatory knowledge of the semi-European space R2K4 with index 2, and introduce the pseudo-inner product, pseudo-vector product, pseudo-orthogonal, pseudo-arc length parameter, space-like space, optical-like vector and time-like vector, space-like curve of R2C4 space. The basic concepts of photo-like curve (zero curve, time-like curve, etc.) are given. The concepts of three dimensional Anti-de Sitter space, three dimensional de Sitter space with index 2 and three dimensional open cone are given. In particular, some important submanifolds, such as 3 D Anti-de Sitter space, 3 D de Sitter space and 3 D open cone, are given. At the end of this chapter, we introduce an important conclusion [29], which can guarantee that zero curve has unique zero vector matched with tangent vector. Chapter 3 mainly introduces the Cartan Frenet frame and Cartan Frenet side of zero Cartan curve in three-dimensional Anti-de Sitter space. As a basic research tool, By using Bruce's singularity classification method, the singularity classification of straight zero surface generated by the main index line of zero Cartan curve in 3D Anti-de Sitter space is given. The classification results are shown in Theorem 3.6.1. In Chapter 4th, We study the properties of curves with singularities. Firstly, we give the concept of frame curves, and define a moving adaptive frame for frame curves. By using moving adaptive frames, we define some smooth functions. These smooth functions play a similar role to the curvature of regular curves in studying frame curves. We call these functions frame curvature. In this paper, we give the definition of the progressive curve of the frame curve in three dimensional Euclidean space. The form of the definition is shown in Theorem 4.2.1. It is worth mentioning that this new definition of the curve is consistent with the classical definition of the progressive curve when the curve is a regular curve.
【學(xué)位授予單位】：東北師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O186.11

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本文編號：1535324