本文關(guān)鍵詞： 門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型 最大似然估計(jì) 漸近分布 經(jīng)驗(yàn)似然 破產(chǎn)概率　出處：《吉林大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：整數(shù)值時(shí)間序列數(shù)據(jù)在日常生活中應(yīng)用廣泛.這類數(shù)據(jù)的取值都是非負(fù)整數(shù),不僅具有相依關(guān)系,通常還會(huì)呈現(xiàn)異方差性、非對(duì)稱性等特點(diǎn).因此,較傳統(tǒng)的連續(xù)取值的時(shí)間序列,研究起來(lái)更加復(fù)雜.基于稀疏算子所建立的整數(shù)值時(shí)間序列模型,雖然在一些情況下可以對(duì)數(shù)據(jù)的背景做出合理的解釋,但無(wú)法對(duì)數(shù)據(jù)的異方差性進(jìn)行建模.經(jīng)典的Poisson線性自回歸模型,成功的解決了對(duì)數(shù)據(jù)的異方差性建模的問(wèn)題.但這類模型卻不能描述數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性.對(duì)同時(shí)具有異方差性和非對(duì)稱性的計(jì)數(shù)數(shù)據(jù),若延用現(xiàn)有模型,則不能很好的反應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù)的客觀規(guī)律.破產(chǎn)理論是風(fēng)險(xiǎn)理論的核心內(nèi)容.經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型過(guò)于理想化,往往不能全面的反映各種影響因素之間的關(guān)系.事實(shí)上,保費(fèi)和理賠之間往往具有某種相依結(jié)構(gòu).但現(xiàn)有的風(fēng)險(xiǎn)模型卻忽略了這一點(diǎn).因此,有必要對(duì)保費(fèi)和理賠之間的這種相依關(guān)系進(jìn)行研究.本文研究了兩類整數(shù)值時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模及統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.主要內(nèi)容分為三個(gè)部分：第一部分,我們針對(duì)具有異方差性和非對(duì)稱性的整值計(jì)數(shù)數(shù)據(jù),提出了一類門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型,同時(shí)研究了模型的平穩(wěn)遍歷性、給出了模型參數(shù)的最大似然估計(jì)及估計(jì)量的極限性質(zhì),并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了估計(jì)的效果.并用所提出的模型擬合了一組實(shí)際數(shù)據(jù).第二部分,進(jìn)一步討論了門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷,分別基于正態(tài)逼近法和經(jīng)驗(yàn)似然方法給出了模型參數(shù)的置信域,通過(guò)數(shù)值模擬研究了兩種置信域的覆蓋精度.第三部分,我們提出了保費(fèi)和理賠具有相依結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)模型,研究了模型的數(shù)字特征、矩母函數(shù)等性質(zhì),給出了破產(chǎn)概率的正態(tài)逼近.當(dāng)理賠次數(shù)服從一個(gè)Poisson過(guò)程時(shí),我們進(jìn)一步提出了一個(gè)聚合風(fēng)險(xiǎn)模型,并利用鞅的理論給出了終極破產(chǎn)概率的上界.下面我們具體介紹本文的主要結(jié)果.1.門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型的建模.為了刻畫(huà)整數(shù)值時(shí)間序列數(shù)據(jù)的異方差性和非對(duì)稱性,我們提出一類門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型：定義1設(shè){Xt,t∈Z}為一時(shí)間序列,假設(shè)Xt基于過(guò)去的信息的條件分布如下：這里vt=log λt,I1,t=I{Xt≤r},I2,t=1-I1,t=I{Xtr},r∈N且rr*∞,r*是己知的常數(shù),Ft=σ{Xs,s≤t}是由{Xt,Xt-1,Xt-2,…}生成的σ域,θi=(di,ai,bi)T(i=1,2)為模型(1)的參數(shù),θi≠θ2.該模型稱為門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型,簡(jiǎn)記為T(mén)PLAR(1)模型.下面我們討論TPLAR(1)模型的一些基本性質(zhì).設(shè)dt=d1I1,t+d2I2,t,at= a1,I1,t+a2I2,t,bt=b1I1,t+b2I2,t,ct=dt+btlog(Xt+1),則vt的平穩(wěn)解有如下形式：我們約定,當(dāng)k=1時(shí)上式中Ⅱ0j=1at-j=1,從而保證上式始終有意義.為研究TPLAR(1)模型的性質(zhì)和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,我們對(duì)參數(shù)空間做如下假設(shè).(C1)設(shè)參數(shù)ai,bi,di滿足：(C2)設(shè)D是R6中的緊集,θ=(θ1T,θ2T)T∈D為T(mén)PLAR(1)模型的待估參數(shù),參數(shù)的真值為90.在下面的定理和推論中,我們分別給出了序列{vt,t0}和{(vt,Xt),t0}的平穩(wěn)遍歷性.定理1考慮由定義1所定義的TPLAR(1)模型.假設(shè)條件(C1)成立,那么Markov鏈{vt}是平穩(wěn)遍歷過(guò)程.推論1假設(shè)定理1中的條件成立,則Markov鏈{(vt,Xt)}是平穩(wěn)遍歷過(guò)程.設(shè)v1=log λ1和X1均已知,{Xt}tn1是基于初值X1和λ1由模型(1)生成的一個(gè)樣本.并記{vt}vn2是基于某個(gè)初值v1迭代計(jì)算出的序列(vt=log(λt)),則我們可以寫(xiě)出模型的似然函數(shù)：對(duì)數(shù)似然函數(shù)：其中得分函數(shù)：解Sn(θ)=0,即可得到參數(shù)θ的最大似然估計(jì),記為θ.對(duì)于r未知的情形,用l(r,θ)表示r未知時(shí)的對(duì)數(shù)似然函數(shù),我們可以由以下兩步來(lái)給出r和θ的估計(jì)：第1步對(duì)于每個(gè)rj∈[0,r*]∩N,用上文所述方法求9的最大似然估計(jì)θrj即：第2步把第1步所得的[r*]+1個(gè)估計(jì)結(jié)果{(rj,θrjT)T,j=0,1,…,[r*]),分別代入l(r,θ),并將使得l(r,θ)最大化的一組估計(jì)結(jié)果作為r和θ的最終估計(jì),即：為了研究最大似然估計(jì)量θ的漸近性質(zhì),引入如下記號(hào)：記lt(θ)=xt·vt(θ)-exp{vt(θ)},其中vt(θ)是由平穩(wěn)解(2)計(jì)算所得,l(θ)=∑tn=lt(θ),另記下面的定理給出了估計(jì)量的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性.定理2設(shè){Xt}vn=1是來(lái)自TPLAR(1)模型的一組樣本,假設(shè)條件(C1)-(C2)成立,則最大似然估計(jì)量θ是強(qiáng)相合的.且θ有如下的漸近分布：其中G的相合估計(jì)由下式給出：另外,我們還通過(guò)數(shù)值模擬研究了最大似然估計(jì)的效果,并用所提出的模型進(jìn)行了實(shí)證分析,效果比較好.2.門(mén)限Poisson對(duì)數(shù)線性自回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷.根據(jù)定理2可知,θ漸近服從均值向量為0,方差-協(xié)方差矩陣為G-1的正態(tài)分布N(0,G-1).從而,我們可以給出θ的正態(tài)逼近法置信區(qū)域如下：其中0δ1,χ62(δ)表示自由度為6的χ2分布的上δ-分位數(shù).G是G的相合估計(jì).下面,我們考慮TPLAR(1)模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷問(wèn)題.基于Owen (1988)所提出的經(jīng)驗(yàn)似然方法,設(shè)p=(p1,…,pn)T為權(quán)重向量,滿足令則對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)可以表示為下面的定理給出了l(θ0)的極限分布.定理3假設(shè)條件(C1)-(C2)成立,則其中χ62表示自由度為6的χ2分布.根據(jù)定理3,對(duì)0δ1,參數(shù)θ的一個(gè)水平為100(1—δ)%的經(jīng)驗(yàn)似然置信區(qū)域有如下的形式：其中χ62(δ)表示自由度為6的χ2分布的上δ-分位數(shù).我們通過(guò)數(shù)值模擬研究了正態(tài)逼近法置信域和經(jīng)驗(yàn)似然置信域的覆蓋精度.結(jié)果表明,同等置信水平下,經(jīng)驗(yàn)似然法所得的置信域有較高的覆蓋精度.3.一類具有相依結(jié)構(gòu)的破產(chǎn)概率模型在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上,我們綜合考慮隨機(jī)的保費(fèi)收入以及保費(fèi)收入與理賠額之間的相依結(jié)構(gòu),提出一個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)模型：其中Un表示某段時(shí)間內(nèi)的總盈余,u表示保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金,Xi,(i=1,2,…,n)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,隨機(jī)變量h(Xi)依賴于Xi,Ii(i=1,2,…,n)是第i個(gè)投保人發(fā)生理賠的次數(shù),n表示該時(shí)間段內(nèi)的保單總量.引入如下的記號(hào)E(Xi)=μx,E(h(Xi))=μh,E(Xih(Xi))=μxh,Var(Xi)= σ2X,Var(h(Xi))=σh2則我們可以計(jì)算出Un的數(shù)學(xué)期望和方差分別為矩母函數(shù)為根據(jù)中心極限定理,我們可以對(duì)過(guò)程(3)的總盈余進(jìn)行正態(tài)逼近：假設(shè)保單數(shù)量服從一個(gè)參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程,則過(guò)程(3)可以拓展為一個(gè)聚合風(fēng)險(xiǎn)模型：其中u(u≥0)是保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金,N(t)是參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程,其含義為保單數(shù)量∑i=1N(t)Xi是截止到t時(shí)刻的保費(fèi)收入,∑N(t)h(Xi)Ii是截止到t時(shí)刻所發(fā)生的理賠總額.從(4)可以看出,Poisson聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中的理賠額和保費(fèi)收入是具有相依結(jié)構(gòu)的,它們同時(shí)依賴于一個(gè)Poisson過(guò)程{N(t)}.設(shè)S(t)=∑i=1N(t)Xi-∑i=1N(t)h(Xi)Ii表示截止到t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的累積收益.為了保證保險(xiǎn)公司能夠正常運(yùn)轉(zhuǎn),我們總需要假設(shè)S(t)的數(shù)學(xué)期望為正數(shù),即，，我們給出如下定義：定義2設(shè)E(Xi)=μx,E(h(Xi))=μh,q=JP(Ii=1),其中Ii服從Bernoulli分布.假設(shè)μx—qμh0,我們定義安全負(fù)載因子定義3設(shè)U(t)表示[0,t]上的總盈余.定義破產(chǎn)時(shí)間為定義4設(shè)U(t)表示[0,t]上的總盈余,T是破產(chǎn)時(shí)間.定義終極破產(chǎn)概率為設(shè)F(y)為Xi-h(Xi)Ii,i=1,2,3,的累積分布函數(shù).假設(shè)Xi-h(Xi)Ii,i=1,2,3,….的二階矩存在,則我們有如下結(jié)論成立：其中g(shù)(r)=λ(∫-∞+∞e-rydF(y)-1).下面,我們給出一些引理.引理1等式g(r)=λ(∫-∞ +∞e-rydF(y)-1)=0存在唯一的正解,我們稱這個(gè)解為調(diào)節(jié)系數(shù),記作R.引理2對(duì)于盈余過(guò)程{S(t),t0},記Fs={Fts,t≥0},則{Mu(t),Fts,t≥0}是一個(gè)鞅，其中引理3在前面的記號(hào)下,T是Fs的停時(shí).定理4對(duì)于Poisson聚合風(fēng)險(xiǎn)模型fU(t),t≥0},終極破產(chǎn)概率滿足如下的不等式,其中R是調(diào)節(jié)系數(shù).定理5對(duì)于Poisson聚合風(fēng)險(xiǎn)模型{U(t),t≥0},其終極破產(chǎn)概率具有如下形式
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本文編號(hào)：1468776