本文關(guān)鍵詞： Armendariz環(huán) 約化環(huán) 群環(huán) 四元數(shù)環(huán) 平凡擴張 單項式理想　出處：《吉林大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：無非零冪零元的環(huán)稱為約化環(huán)(或簡約環(huán)).Armendariz最先發(fā)現(xiàn)約化環(huán)R滿足下述條件:對R上的任意多項式f(x)= 0 a1 + aax十…十gmxm,b(x)= +0十十…n,當f(x)g(x)= 0時,必有aibj= 0,0 ≤ i≤m,0 ≤ j ≤ n.受此啟發(fā),Rege和Chhawchharia研究了滿足上述條件的環(huán),并稱之為Armendariz環(huán).從此以后,Armendariz環(huán)及其各種推廣得到了廣泛研究.我們將把上述條件稱為Armendariz條件.Anderson和Camillo利用Armendariz環(huán)給出了 Gauss環(huán)的刻畫,Hirano利用Armendariz環(huán)描述了 R與R[x]中左零化子之間的關(guān)系.從Armendariz環(huán)的定義可以看出,Armendariz環(huán)的子環(huán)是Armendariz環(huán).但是,Armendariz環(huán)的商環(huán)未必是Armendariz環(huán).因此,有兩個自然的問題:1.Armendariz環(huán)的哪些擴環(huán)仍是Armendariz環(huán)?2.Armendariz環(huán)的哪些商環(huán)仍是Armendariz環(huán)?本文討論群環(huán)、平凡擴張、矩陣子環(huán)、多項式代數(shù)關(guān)于單項式理想的商環(huán)的Armendariz條件.在第二章,我們討論了域上群代數(shù)與一般群環(huán)的Armendariz性質(zhì).證明了在大多數(shù)情況下,群代數(shù)是Armendariz環(huán)當且僅當它是約化環(huán).這表明,刻畫Armendariz群代數(shù)本質(zhì)上等價于解決群代數(shù)的零因子問題.所謂零因子猜測是指:域上的扭自由群代數(shù)是約化的,這是群環(huán)理論中的著名難題.對于一般群環(huán),我們的研究表明循環(huán)群的群環(huán)和四元數(shù)環(huán)是研究群環(huán)Armendariz性質(zhì)的關(guān)鍵.我們還討論了 Hamilton四元數(shù)除環(huán)上群環(huán)的Armendariz性質(zhì).設(shè)K8表示8階四元數(shù)群.定理2.2.12.設(shè)R是2-扭自由的、約化的、交換環(huán).則下述命題等價.1.RK8 是 Armendariz 環(huán);2.RK8是約化環(huán);3.x2 + y2 + z2 = 0在R中沒有非零解.定理2.2.21.設(shè)F是域,G是扭群或扭自由群.則FG是Armendariz環(huán)當且僅當或者FG是約化環(huán),或者chF = p0,G是扭Abbel群,并且G的p-分量是循環(huán)群或擬循環(huán)群.定理2.2.22.1.群G的復(fù)群代數(shù)CG是Armendariz環(huán)當且僅當G的所有特征為0群代數(shù)都是Armendariz環(huán).此時,G的扭子群T是Abel群.2.群G的所有群代數(shù)都是Armendariz環(huán)當且僅當G在所有有限域上的群代數(shù)都是Armen-dariz 環(huán).設(shè)T是群G的有限階元素之集,并設(shè)T是G的子群.令△(G,T)=RG(1-T).定理2.3.5.設(shè)R是2-扭自由的.則RK8是Armendariz環(huán)當且僅當四元數(shù)環(huán)H(R)是Armendariz環(huán).定理2.3.8.若RG是Armenndariz 環(huán),則1.T是G的子群;2.△(G,T)是 Armendariz 環(huán);3.R(G/T)是 Armendariz 環(huán).反之,若上述條件成立,并且｜T｜是無限的或者｜T｜有限且在R中可逆,則RG是Armendariz環(huán),設(shè)H是四元數(shù)除環(huán).定理2.4.5.設(shè)T是扭群,則群環(huán)HT是Armendariz環(huán)當且僅當T是初等Able 2-群.定理2.4.7.設(shè)n是正整數(shù),q ∈H,則H[x]/(xn+q)是Armendariz環(huán)當且僅當下列條件之一成立(1)q = 0;(2)q 不是實數(shù),(3)n = 1;(4)n = 2 且 q 是負實數(shù).定理2.4.9.設(shè)f(x)是實系數(shù)多項式,且degf = ≥ 1,則H[x]/(f(x))是Armendariz環(huán)當且僅當f(x)在實數(shù)域中有n個根(計重數(shù)).在第三章,我們討論廣義矩陣子環(huán)(特別是平凡擴張的子環(huán))的Armendariz性質(zhì).給出了平凡擴張的子環(huán)的構(gòu)造,討論了平凡擴張的子環(huán)是Armendariz環(huán)的充分條件和必要條件,推廣了已有的結(jié)果.定理3.1.5.設(shè)M是R-雙模.給定M的子雙模K及導(dǎo)子d:R → M/K,令則Td,K是平凡擴張R ∝ M的子環(huán)且滿足π(Td.K)=R.反之,R ∝ M的滿足π(T)=R的子環(huán)T都可這樣構(gòu)造.設(shè)Φ:A → B是環(huán)的映射(不必是同態(tài)).如果對于任意滿足b1b2 = 0的b1,b2 ∈ B都存在a1,a2 ∈AA使得Φ(a1)=)，，Φ(a2)= b2,a1a2=0,則稱Φ保零積.定理3.2.2.設(shè)有保零積的環(huán)同態(tài)Φ:A[x]→ B[x]使得Φ(A)(?)B且Φ(x)= x.若A是Armendariz環(huán),則 B 是 Armendariz環(huán).定理3.2.3.設(shè)AB是兩個環(huán)且B是Armendariz環(huán).如果映射Φ:A → B保零積,則其擴張映射Φ:A[x]→ B[x]也保零積.定理3.2.7.設(shè)T是R ∝ M的子環(huán)且π(T)=R.1.如果 T 是 Armendariz 環(huán)且 Annr(Annl(M0))= M0,則 R是 Armendariz 環(huán);2.如果T是Armendariz環(huán),π｜T保零積,則對于滿足fg=0的f,g∈R[∈ 恒有｜fMg ∈∩Mf(-g)｜ = 1.3.如果R是Armendariz環(huán),M是Armendariz雙模,并且對于滿足f分=0的f,分∈ R[x]恒有fMg ∩ Mf(-g)=0,則 T 是 Armendariz 環(huán).定理3.2.8.設(shè)T是R∝M的子環(huán)使得π(T)= R且 π｜T保零積.假設(shè)R是Armendariz 環(huán),M是 Armendariz 雙模.如果 T 是 Armendariz 環(huán),則 R ∝ M0 是 Armendariz 環(huán).設(shè)M是R雙模,σ,T是R的自同態(tài).記aσ = σ(a),a ∈R.令R ∝TσM = R×M且有乘法如下貝R ∝Tσ M是有單位元的環(huán).我們刻畫了 R ∝Tσ M是Armendariz環(huán)的充分必要條件.定理3.3.2.設(shè)R是環(huán),M是R-雙模,σ,T是R的自同態(tài).則R ∝Tσ M是4rmendariz環(huán)的充分必要條件為:1.R 是 Armendariz 環(huán);2.M 是 Armendariz(Rσ,Rτ)-雙模;定理3.3.5.設(shè)σ:→ A和τ:R → B是環(huán)的滿同態(tài),M是(A,B)-雙模且通過純量限制視為R-雙模,令則T(R,σ,T,M)是 Armendariz 環(huán)當且僅當R ∝ M 是 Armendariz 環(huán),其中R=R/(kerσ∩ker T).設(shè)α是R的自同態(tài),如果對于任意a,b ∈ R均有aα(b)= 0當且僅當ab = 0,則稱α是R的相容自同態(tài).設(shè)n ≥ 2是任意正整數(shù),令其中=[n/2],即當n為偶數(shù)時,n = 2k;當n為奇數(shù)時,= 2k+ 1.定理3.4.6.若R是約化環(huán),α1,α2,…,αn是R的相容自同態(tài).則在Un(R)的主對角元上依次作用α1α玖2,.,αn,所得到的矩陣環(huán)的子環(huán)Sn(R)是Armendariz環(huán).在第四章,我們討論了K...,xd]/I的Armendariz性質(zhì),其中K是域,I是單項式理想.設(shè)I是R的理想,如果理想商環(huán)R/I是Armendariz環(huán),則稱I是Armendariz理想,簡稱A-理想.定理4.2.10.設(shè)I,J都是R的不可約單項式理想.假設(shè)IJ,J(?)I,且不全是A-理想.那么In J是A-理想當且僅當I,J是如下情形之一:在下面的幾個定理中,花括號下方數(shù)字表示單項式的次數(shù).定理4.3.1.設(shè)k為非負整數(shù).若G(I)是下列三種情形之一,mjI是A-理想..定理4.3.2.若I的極小生成集為則I是A-理想.定理4.3.4.設(shè)c2,k,l≥0.若I的極小生成集是下列情形之一,則I是A-理想:定理4.3.5.設(shè)c1,q3.若I有如下形式的極小生成集,則I是A-理想:定理4.4.6.設(shè)I是A-理想,則T(I)內(nèi)行(列)距不超過6的兩個格點的整點凸包必含于Γ(I).
[Abstract]:The ring of non - zero nilpotent element is called the reductive ring ( or simple ring ) . The first discovery of the reductive ring R satisfies the following conditions : any polynomial f ( x ) = 0 a1 + aax X on R . X x m , b ( x ) = + 0.10 . . In the second chapter , we discuss the Armand ariz property of the rings of the group rings . The results show that the Armand ariz ring is the Armand ariz ring . Theorem 2.3 . 8 . If R is a positive integer , then 1 . T is a subgroup of G , and 2 . 鈻

本文編號：1463794