發(fā)布時(shí)間：2017-12-06 07:36

  本文關(guān)鍵詞：二維流形上極小曲面的凸水平集的幾何性質(zhì)

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【摘要】：偏微分方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)很有趣的分支,特別是偏微分方程解的幾何性質(zhì)引起很多國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)愛(ài)好者的研究.正如我們所知,有關(guān)橢圓偏微分方程解的凸水平集的曲率估計(jì)就有一些有趣的結(jié)果.本文先給出一個(gè)有關(guān)高階導(dǎo)數(shù)交換方面的引理,并以此為工具,通過(guò)一個(gè)含曲率項(xiàng)的輔助函數(shù),對(duì)二維流形上一個(gè)擬線性方程的凸水平集的幾何性質(zhì)展開(kāi)研究,最終得到了邊界的曲率估計(jì).定理1.設(shè)Ω是R2上一個(gè)有界光滑區(qū)域u∈C4(Ω)∩C2(Ω)是極小曲面方程的解,設(shè)在Ω上|%絬|≠0,若u的水平集沿Vu方向是嚴(yán)格凸的,且K是水平集曲率,則在(?)Ω上能取得極大值和極小值.這個(gè)定理在Wang-Zhang的初始論文中被證得.下面是本文的重點(diǎn)內(nèi)容：定理2.設(shè)M2是二維常曲率空間形式,曲率為∈,Ω(?)M2,是一個(gè)有界光滑的連通區(qū)域.設(shè)u∈C4(Ω)∩C2(Ω)滿足方程設(shè)Ω上|%絬|≠0及u的水平集沿%絬方向是凸的,則它們是嚴(yán)格凸的.定理3.設(shè)M2是二維常曲率空間形式,曲率為∈,Ω (?) M2,是一個(gè)有界光滑區(qū)域.設(shè)u∈C4(Ω)∩C2(Ω)滿足方程設(shè)K是u的水平集的曲率. 設(shè)Ω上|%絬|≠0,我們有如下結(jié)論：(i)當(dāng)∈0時(shí),函數(shù)在邊界(?)Ω上取得極小值；(ii)當(dāng)∈=0時(shí),函數(shù)在邊界(?)Ω上取得極大值和極小值；(iii)當(dāng)∈0時(shí),函數(shù)在邊界(?)Ω上達(dá)到極大值.
【學(xué)位授予單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O186.1

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3 楊紅U，

本文編號(hào)：1257867