本文關(guān)鍵詞：高階保能量散逸性方法的理論與應(yīng)用研究

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【摘要】：在數(shù)學(xué)和物理中有一大類偏微分方程,如Allen-Cahn方程,擴(kuò)散方程,Cahn-Hilliard方程和Ginzburg-Landau方程等.這些偏微分方程所描述的系統(tǒng)具有能量散逸性,即微分方程所描述的系統(tǒng)能量隨著時(shí)間的增長會(huì)逐漸減少.在數(shù)值模擬中,設(shè)計(jì)保持微分方程系統(tǒng)能量散逸性的數(shù)值格式對(duì)精確地模擬微分方程所描述的系統(tǒng)的行為具有重要的意義.1984年,馮康院士及其研究小組提出了Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法.1997年,在辛幾何算法的基礎(chǔ)上,Bridges和Reich等人提出偏微分方程的多辛算法.辛和多辛算法具有長時(shí)間精確計(jì)算能力和近似保系統(tǒng)的能量守恒特性已廣泛應(yīng)用于非線性光學(xué),量子物理,等離子物理以及電磁場方程的計(jì)算.近年來,微分方程保能量散逸性的數(shù)值方法在保結(jié)構(gòu)算法研究領(lǐng)域內(nèi)備受關(guān)注,然而國內(nèi)還少有人研究.1999年Quispel和McLachlan等人提出了保持微分方程能量散逸性的二階平均向量場方法.Furihata和Matsuo提出了保持微分方程能量散逸性的離散變分導(dǎo)數(shù)方法.最近Quispel等人利用修正平均向量場方法構(gòu)造了微分方程保能量散逸性的高階平均向量場方法.對(duì)于歐式空間或者黎曼流形上的梯度系統(tǒng),能量會(huì)隨著時(shí)間的增長會(huì)單調(diào)遞減.代數(shù)穩(wěn)定的龍格-庫塔方法在適當(dāng)?shù)牟介L限制下,能量也會(huì)逐步減少.尤其是Radau IIA方法,它在剛性梯度系統(tǒng)中能夠保能量單調(diào)性和能量阻尼.離散梯度方法和平均向量場配點(diǎn)法都是保能量的,但是在極度剛性梯度系中并不能減少震蕩.在第一章中,我們討論無約束和含有約束條件下梯度系統(tǒng)的能量下降方法,其中包括隱式龍格庫塔方法和平均向量等方法.在第二章中,提出了Cahn-Hilliard方程的高階保能量散逸性方法.首先理論證明了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性,然后在空間上應(yīng)用傅里葉擬譜方法,時(shí)間上應(yīng)用高階平均向量場方法,構(gòu)造了高階保能量散逸性格式,最后利用該格式在不同初始條件下進(jìn)行數(shù)值模擬.數(shù)值結(jié)果表明,該格式能很好地模擬了Cahn-Hilliard方程解的行為且保持了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性.第三章,我們構(gòu)造了二維Allen-Cahn方程的高階保能量散逸性格式,并利用該格式對(duì)二維Allen-Cahn方程進(jìn)行了精確的數(shù)值模擬,數(shù)值結(jié)果表明二維Allen-Cahn方程能保二維Allen-Cahn方程能量散逸性這一重要物理特性.
【學(xué)位授予單位】：海南大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

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1 劉佳蘭;肖愛國;;一類兩步Runge-Kutta方法的代數(shù)穩(wěn)定性[J];高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào);2008年03期

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本文編號(hào)：1217195