本文關(guān)鍵詞：基于LMRD碼的常維碼構(gòu)造研究

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【摘要】：網(wǎng)絡(luò)編碼中的子空間碼(Subspace codes)是一類特殊的糾錯碼,它與傳統(tǒng)糾錯碼不同的地方在于子空間碼中的每個碼字都是一個子空間,而子空間距離是用來衡量其檢錯糾錯能力的方式。當子空間碼中所有碼字的維度都相同時,就是本論文將要討論的常維碼(Constant Dimension Codes)。設(shè)常維碼的碼字維度為k,最小子空間距離為d,所有子空間都來自于基于有限域Fq的n維空間,那么這個常維碼被表示為(n, M, d; k)q碼,其中M為這個常維碼的碼字數(shù)。在四個參數(shù)n,d,k,q都確定情況下,如何得到常維碼的最大碼字數(shù)Ag(n, d; k)的上界和下界一直是人們所關(guān)注的重點,也是本論文所關(guān)注的重點。類似于用一般的代數(shù)編碼理論來研究傳統(tǒng)的糾錯碼,本文將利用代數(shù)理論來分析常維碼的上界,同時致力于尋求基于LMRD碼的常維碼高效編碼方法。在本論文中,所有子空間被放在有限向量空間和射影空間中同時分析,二者具有相通之處也各有特點,對于分析子空間碼的性質(zhì)缺一不可。子空間碼的上界問題實際上可以等價于一個組合優(yōu)化問題,本論文將利用射影空間中子空間本身所具有的性質(zhì)和不同維度子空間之間的關(guān)系,得到一種循環(huán)結(jié)構(gòu)并將這種結(jié)構(gòu)應(yīng)用于子空間碼的優(yōu)化問題,使得該優(yōu)化問題可解,進而得到相應(yīng)的子空間碼上界。最終結(jié)果雖沒有創(chuàng)造新的上界,但部分參數(shù)情況下得到的上界已是目前為止相同參數(shù)情況下能得到的最佳上界,此外,關(guān)于射影空間中子空間性質(zhì)的研究對于本論文后面的內(nèi)容非常具有意義。LMRD碼(Lifted Maximum Rank Distance codes)是一類最基本的常維碼,它以最大秩距離碼(Maximum Rank Distance codes, MRD)為基礎(chǔ),通過lifting操作能夠系統(tǒng)而完整的描述一組常維碼結(jié)構(gòu)�；贚MRD碼的移除-再擴展編碼方法能夠擴展常維碼的碼字,之前的研究已經(jīng)通過這種編碼方法得到(6,77,4；3)2碼和(7,329,4；3)2碼,二者都是目前為止同參數(shù)情況下碼字數(shù)最高的常維碼。本論文作為這種研究的延續(xù),主要從LMRD碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)著手,尋找好的移除子集,將移除子集對應(yīng)的碼字從LMRD碼中移除后所釋放的子空間能被用來重構(gòu)成新的碼字,利用新碼字之間的代數(shù)關(guān)系,本論文還給出了判斷新碼字子空間距離的方法。本論文將移除-再擴展方法推廣到一般n值的情況,并給出了更加完整的代數(shù)理論分析。此外,通過引入沖突子空間和沖突矩陣的概念,我們還提出了利用整數(shù)線性規(guī)劃來尋求移除-再擴展方法的最大碼字增益(與原LMRD碼對比),并給出了7≤n≤16時移除-再擴展方法的計算結(jié)果,其中絕大部分超過了LMRD碼上界,在n值較大的情況下更是有所突破,這證明了移除-再擴展方法是一種值得深入探討的常維碼構(gòu)造方法。論文在最后一章還給出了移除-再擴展編碼方法的進一步研究空間以及相關(guān)猜想,這將是以后的研究方向和工作重點。
【學位授予單位】：浙江大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O157.4

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