本文關鍵詞：幾類隨機生態(tài)數學模型解的定性研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

《上海交通大學》 2009年

幾類生物數學模型的動力學研究

楊瑜  

【摘要】： 本文考慮了生態(tài)學和醫(yī)學中幾個經典數學模型的改進和推廣,利用微分方程定性理論,分支理論和泛函微分方程理論,研究其動力學行為,如系統(tǒng)的持續(xù)生存性,平衡點的穩(wěn)定性,周期解的存在性和穩(wěn)定性,并探討了系統(tǒng)中參數對其動力學行為的影響,為解釋、預測和控制生態(tài)學和醫(yī)學中的一些現象提供相應的理論依據.具體地,本文做了以下工作: 一、由于傳染病傳播途徑和方式的復雜性,實際中很難準確描述接觸率和發(fā)生率以及處于疾病潛伏期的人群數量,在文獻[112]工作的基礎上,我們考慮具有更一般的非線性發(fā)生率的SIRS傳染病模型,并引進時滯來刻畫疾病潛伏期.對此模型進行全參數定性分析,給出疾病傳播的關鍵參數基本再生數的表達式,發(fā)現基本再生數小于1時,無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的,但基本再生數大于1時,其動力學行為依賴于時滯量和非線性發(fā)生率中一個參數,當這些參數取某些值時,唯一的有病平衡點在相空間內部全局漸近穩(wěn)定,而取另一些參數時,唯一的有病平衡點不穩(wěn)定,出現患病人數的周期震蕩現象,并從理論上證明了Hopf分支的存在性,推廣了文獻[112]的工作. 二、我們在文獻[57]工作的基礎上進一步研究了一類具有時滯的HIV-1感染模型的一致持續(xù)生存性和地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,并給出了該模型是一致持續(xù)生存的充要條件和地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的充分條件,進一步完善了文獻[57]中的結果. 三、不同階段的血吸蟲的發(fā)育時間對血吸蟲的傳播是非常重要的.我們把終宿主群體和釘螺群體分成兩類:易感染者和感染者.同時把不同階段的血吸蟲的發(fā)育時間引入到經典的Barbour模型中,考慮了一個更一般的數學模型,即含有四個時滯的四維模型.我們給出了該模型基本再生數的表達式,并利用模型的不變流形將其化為平面系統(tǒng).當系統(tǒng)不含時滯時,我們給出了平衡點是全局漸近穩(wěn)定的充分條件.當基本再生數大于1時,我們發(fā)現其動力學行為依賴于時滯量,當時滯超過某個臨界值時,唯一的地方病平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环�(wěn)定,產生Hopf分支. 四、首先我們討論了一類具有離散和分布時滯的捕食-食餌模型,給出了正平衡點的漸近穩(wěn)定性和該模型產生Hopf分支的條件.然后,我們在經典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型的基礎上將年齡結構引入到捕食種群中且適合Mckendrick-Foerster方程,從而使模型更符合實際.將該模型化為含時滯的系統(tǒng),我們給出了該系統(tǒng)解的正不變性、有界性并得到了其邊界平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件.我們發(fā)現當時滯逐漸增大到某個臨界值時該正平衡點將失去穩(wěn)定性,產生Hopf分支并給出了具體公式來判斷由Hopf分支產生的周期解的穩(wěn)定性和分支方向.最后,我們討論了一類更符合實際且具有更一般功能反應函數的非自治捕食-食餌模型,給出了該模型至少存在一個正周期解的充分條件.

【關鍵詞】：
【學位授予單位】：上海交通大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2009
【分類號】：O175
【目錄】：

中文摘要4-6

英文摘要6-11

第一章 緒論11-21

1.1 研究背景11-13

1.2 本文的主要研究工作13-15

1.3 預備知識15-21

第二章 具有時滯和非線性發(fā)生率的 SIRS 傳染病模型21-40

2.1 引言21-23

2.2 系統(tǒng)平衡點的存在性23-25

2.3 平衡點的穩(wěn)定性和分支25-40

2.3.1 平衡點的局部穩(wěn)定性25-28

2.3.2 平衡點的全局穩(wěn)定性28-33

2.3.3 地方病平衡點的 Hopf 分支33-40

第三章 具有時滯的 HIV-1 感染模型40-50

3.1 引言40-41

3.2 系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性41-42

3.3 主要結果42-50

第四章 具有時滯的血吸蟲病傳播模型50-69

4.1 引言50-51

4.2 模型的建立51-53

4.3 模型的動力學行為53-69

4.3.1 系統(tǒng)(4.3.5) 無時滯時的動力學行為56-57

4.3.2 感染的釘螺無潛伏期時系統(tǒng)(4.3.5) 的動力學行為57-63

4.3.3 感染的宿主無潛伏期時系統(tǒng)(4.3.5) 的動力學行為63-69

第五章 具有時滯的捕食- 食餌模型69-103

5.1 具有離散和分布時滯的捕食- 食餌模型69-76

5.1.1 模型的建立69-70

5.1.2 局部穩(wěn)定性和Hopf 分支70-74

5.1.3 數值模擬74-76

5.2 具有年齡結構的捕食- 食餌模型76-94

5.2.1 模型的建立76-77

5.2.2 平衡點的穩(wěn)定性和 Hopf 分支77-85

5.2.3 Hopf 分支的分支方向和穩(wěn)定性85-93

5.2.4 數值模擬93-94

5.3 具有時滯和功能性反應函數的捕食- 食餌模型94-103

5.3.1 模型的建立94-97

5.3.2 正周期解的存在性97-103

參考文獻103-116

攻讀博士學位期間發(fā)表和完成論文情況116-117

致謝117

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本文編號：116315