本文關(guān)鍵詞：幾類微分方程的振動性質(zhì)

  更多相關(guān)文章： 振動 偏微分方程 分數(shù)階微分方程 時滯 脈沖

【摘要】：偏微分方程理論可以被應(yīng)用在許多科學領(lǐng)域,例如生物學,物理學,化學,工程學,控制理論,人口增長模型和氣候模型。在過去幾年,帶有偏差變元的偏微分方程的基礎(chǔ)理論的研究得到了集中的發(fā)展。然而,對這類方程定性理論的研究尚處在初級階段。其中中立型和時滯偏微分方程是本文主要研究的兩類泛函微分方程。許多研究都是在假設(shè)變量狀態(tài)和系統(tǒng)參數(shù)是連續(xù)變化的前提下進行討論的。但是在自然界當中可以找到很多突發(fā)性的現(xiàn)象,例如地震和許多其他重大自然災(zāi)害。這種短時間擾動的現(xiàn)象,其所經(jīng)歷的時間相比于整個發(fā)展過程可以忽略不計。因此,很自然的可以假設(shè)這些擾動是瞬間的,也就是所謂的脈沖。在過去50年,常微分方程,泛函微分方程,中立型微分方程,偏微分方程和脈沖微分方程的振動理論吸引了許多學者進行研究。振動理論是微分方程定性理論研究中重要的一個分支,在現(xiàn)實生活當中有著廣泛的應(yīng)用。最近幾年,越來越多的學者把目光放在分數(shù)階微分方程振動性的研究工作上。目前,分數(shù)階微分方程的振動理論尚處在初期研究階段,只有很少幾位學者發(fā)表了幾篇相關(guān)的學術(shù)文章。因此本論文在后面章節(jié)著重討論了分數(shù)階微分方程和分數(shù)階偏微分方程的振動理論。本文第一章主要介紹了各類微分方程的背景知識,包括偏微分方程,泛函微分方程,脈沖微分方程以及分數(shù)階微積分和微分方程,列舉了關(guān)于這些研究方向的書籍。還介紹了偏微分方程和分數(shù)階微分方程振動理論的背景知識及其研究成果。第二章研究了兩類雙曲型偏微分方程的振動性質(zhì)。第一節(jié)研究了帶有線性脈沖條件的非線性中立雙曲型偏微分方程在Neumann邊界條件下解的振動性質(zhì),并且建立了方程解振動的充分條件。證明主要思路是用反證法,證明方法是對方程在空間區(qū)域上積分,然后利用Green公式和線性化條件將方程轉(zhuǎn)化為脈沖微分不等式,利用Riccati變換將二階脈沖微分不等式簡化為一階脈沖微分不等式,最后利用引理中一階脈沖微分不等式的性質(zhì)推導出矛盾,從而證明了方程解振動的充分條件。第二節(jié)研究了帶有非線性脈沖條件和多時滯量的非線性中立雙曲型偏微分方程在兩類邊界條件(Dirichlet邊界條件和Robin邊界條件)下的振動性質(zhì)。對此類方程的證明思路和證明方法和第一節(jié)類似,不同的是對于非線性脈沖條件的處理。本節(jié)對非線性脈沖添加了約束條件,利用此條件可以將非線性脈沖轉(zhuǎn)化為線性脈沖條件,從而得到線性脈沖微分不等式,此后的證明方法與第一節(jié)中的方法類似。此外,在每一節(jié)的最后還進行了舉例。第三章討論了兩類拋物型偏微分方程的振動性質(zhì)。第一節(jié)研究了帶有強迫振動項的非線性時滯脈沖拋物型偏微分方程的振動性質(zhì),分別討論了該方程在三類邊界條件下,即Dirichlet邊界條件,非線性邊界條件和Robin邊界條件下的振動特性。證明思路運用反證法,證明方法是對方程在空間區(qū)域上進行積分,利用Green公式和線性化條件將方程轉(zhuǎn)化為脈沖微分不等式。然后將脈沖微分不等式轉(zhuǎn)化為不包含脈沖的微分不等式,再進行討論。第二節(jié)討論了一類帶有連續(xù)偏差變元的非線性脈沖拋物型方程在三類邊界條件下的振動特性。證明思路運用反證法,方法是利用積分平均法和Green公式將方程轉(zhuǎn)化為還有連續(xù)偏差變元的脈沖微分不等式,再將其轉(zhuǎn)化為離散偏差變元的脈沖微分不等式進行討論。第四章主要研究了分數(shù)階微分方程的振動性質(zhì)。在第一節(jié)中,先介紹了分數(shù)階微積分的概念。在本文中所用的分數(shù)階積分和導數(shù)的定義均是Riemann-Liouville定義。同時還介紹了Riemann-Liouville定義下導數(shù)的一些基本性質(zhì)并作為引理出現(xiàn)在此節(jié)。第二節(jié)主要討論了一類帶有阻尼項的分數(shù)階常微分方程的強迫振動性質(zhì)。證明思路是反證法,方法是利用分數(shù)階微積分的性質(zhì)直接推導出矛盾。這與以往文章判定分數(shù)階微分方程解振動的方法不同,以往文章中均是將分數(shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)階常微分方程,然后對其進行討論。另外,在本節(jié)最后敘述了時滯項對方程解振動的影響。第三節(jié)中研究了一類非線性分數(shù)階偏微分方程在三類邊界條件下的強迫振動性質(zhì)。證明思路是反證法,方法是運用積分平均法和Green公式將分數(shù)階偏微分方程轉(zhuǎn)化為分數(shù)階常微分不等式,然后利用第二節(jié)中提到的分數(shù)階微積分的性質(zhì)完成證明。關(guān)于分數(shù)階偏微分方程振動理論的文章只有極少幾篇,因此本論文在此研究領(lǐng)域所做的工作是比較前沿的。第五章總結(jié)了本文所做的工作,創(chuàng)新點以及未來預期要做的研究工作。
【關(guān)鍵詞】：振動 偏微分方程 分數(shù)階微分方程 時滯 脈沖
【學位授予單位】：中國地質(zhì)大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175
【目錄】：

• 作者簡介6-9
• 摘要9-11
• ABSTRACT11-15
• Chapter 1. Introduction15-19
• §1.1. Partial differential equations15
• §1.2. Functional differential equations15-16
• §1.3. Impulsive differential equations16
• §1.4. Fractional theory16-17
• §1.5. Oscillation thory17-19
• 1.5.1. Oscillation of PDEs18
• 1.5.2. Oscillation of FDEs18-19
• Chapter 2. Oscillation of hyperbolic equations19-31
• §2.1. Linear impulsive equation19-23
• 2.1.1. Main results20-22
• 2.1.2. Example22-23
• §2.2. Nonlinear impulsive equation23-31
• 2.2.1. Dirichlet boundary25-29
• 2.2.2. Robin boundary29-30
• 2.2.3. Examples30-31
• Chapter 3. Oscillation of parabolic equations31-46
• §3.1. Forced oscillation31-40
• 3.1.1. Dirichlet boundary33-37
• 3.1.2. Nonlinear boundary37-38
• 3.1.3. Robin boundary38-39
• 3.1.4. Examples39-40
• §3.2. Continuous distributed deviating arguments40-46
• 3.2.1. Dirichlet boundary42-44
• 3.2.2. Nonlinear boundary44-45
• 3.2.3. Robin boundary45-46
• Chapter 4. Forced oscillation of fractional equations46-55
• §4.1. Preliminaries and lemmas46-47
• §4.2. Fractional differential equations47-49
• 4.2.1. Main results47-48
• 4.2.2. Example48-49
• 4.2.3. Remark49
• §4.3. Fractional partial differential equations49-55
• 4.3.1. Dirichlet boundary50-51
• 4.3.2. Neumann boundary51-52
• 4.3.3. Robin boundary52-53
• 4.3.4. Examples53-55
• Chapter 5. Summary and outlook55-57
• §5.1. Summary55
• §5.2. Outlook55-57
• Acknowledgements57-58
• References58-62

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本文編號：1090096