本文關(guān)鍵詞：四階拋物問題的弱Galerkin有限元法

  更多相關(guān)文章： 四階拋物方程 弱Galerkin有限元 弱函數(shù)空間 離散弱Laplace算子

【摘要】：本文主要用弱Galerkin有限元法來研究一個四階拋物方程初邊值問題的數(shù)值計算方法.考慮如下四階拋物方程的初邊值問題：ut+△2u=f,x∈Ω, 0≤t≤t,(0.1) u=au/an=0,x∈aΩ,0≤t≤t(0.2) u(·,0)=Ψ,x∈Ω. (0.3)其中△是Laplace算子,Ω是Rd(d=2,3)中有界開區(qū)域且其邊界aΩ是Lipschitz連續(xù)的.令H=L2(Ω)表示平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間,具有標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)積(·,·)和范數(shù)‖·‖.我們也用Hm=Hm(Ω)表示標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev空間且則方程(0.1)-(0.3)的變分形式為：求u∈L2(0,t;H02(Ω))使得u(0,·)=Ψ,且滿足如下方程(ut,v)+(△u,△v)=(f,v),(?)v∈H02(Ω). (0.4)本文將用弱Galerkin有限元法(簡記為WG)來求解方程(0.1)-(0.3).WG有限元法的基本思路是：構(gòu)造弱函數(shù)空間W(Ω)近似H2空間,然后定義一個弱Laplace算子△w用來近似標(biāo)準(zhǔn)的Laplace算子△,再利用變分方程(0.4)和適當(dāng)?shù)姆�(wěn)定子s(.,.)建立求解方程(0.1)-(0.3)的數(shù)值計算方法.令Th表示區(qū)域Ω的一族正則三角剖分,T是其中任意的一個三角元,其直徑為h7,令h=max{hT}.對任意給定的非負(fù)整數(shù)k≥2,用Pk(T)表示T上次數(shù)不超過k的多項式集合,用Rk(e)表示邊界e(?)αT上次數(shù)不超過k的多項式集合,那么離散弱函數(shù)空間Wk(T)表示如下Wk(T)={{v0,vb,vg}:v0∈Pk(T),vb∈Pk(e),vgg∈[Pk-1(e)]d,e(?)aT}.從而得到弱有限元空間Vh如下Vh={{v0,vb,vg:{v0,vb,vg}|T∈Wk(T),(?)T∈Th}.用Vh0表Vh的子空間,其函數(shù)值在aΩ上為0,即Vh0={v={v0,vb,vg}∈Vh,vb|e=0,vg·n|e=0,e(?)aT ∩aΩ}.對Vh中任意的uh={u0,ub,ug}和v={v0,vb,vg},引進雙線性形式如下其中·,·)αT表示在區(qū)域邊界αT上的L2內(nèi)積.離散弱Laplace算子記為△w,對(?)v∈Wk(T),定義△wv∈Pk(T)滿足如下方程(△wv,φ)T=(v0,△φ)T-vb,%濺鍘aT+vg·n,φaT,(?)φ∈Pk(T).同時記離散內(nèi)積則方程(0.1)-(0.3)的半離散弱Galerkin有限元法為：尋找一個弱函數(shù)uh∈L∞(0,t;Vh)滿足uh(0)=QhΨ使得(vh,t(t,·),v0)+(△wuh,Δwv)h+s(uh,v)=(f,v0),(?)v={v0,vb,vg}∈Vh0.(0.5)令K為時間步長,tn=nk,n=1,…,N,其中NK=t.用Un∈Vh表示u(tn)的近似.則求解方程(0.4)的向后歐拉格式的弱Galerkin法為：求Un∈Vh(n≥1),滿足U0=QhΨ使得(aUn,v0)+(△wUn,△wv)+s(Un,v)=(f(tn),v0),(?)v∈Vh0. (0.6)K在本文中我們得到以下半離散和全離散弱Galerkin格式的誤差估計.定理0.1.令uh={u0,ub,ug}為(0.5)滿足初值條件uh(0)=QhΨ的弱Galerkin有限元的解.假設(shè)方程(0.1)-(0.3)的精確解滿足u∈Hmax{k+1,4}(Ω)令eh=uh-Qhu為弱Galerkin近似解和真解“的L2投影之間的誤差,則存在常數(shù)C使得||eh||2+(?)01|||eh(·,t|||2dτ≤||eh(·,0)||2+Ch2k-2((?)01(||u||k=12+h2δμ,2||u||42ds),(0.7)且4(?)01||eh,τ||2dτ+|||eh|||2 ≤2|||eh(0,·)|||2+Ch2k-2(||u||k+12+||u(0,·)||k+12+hδk,2(||u||42+||u(0,·)||42) (0.8) +(?)(""uτ||k+12+hδk,2||uτ||42)dτ+(?)0(||u||k+12+hδk,2||u42)dτ).定理0.2.令u∈Hmax{1+k,4}(Ω)和Un分別為方程(0.1)-(03)和(0.6)滿足U0=Qhu(t0)的解ehn=Un-qhu(tn)為全離散的弱Galerkin近似解和真解u的L2投影之間的誤差,則存在常數(shù)C,使得
【關(guān)鍵詞】：四階拋物方程 弱Galerkin有限元 弱函數(shù)空間 離散弱Laplace算子
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要4-8
• Abstract8-13
• 第一章 緒論13-20
• 1.1 邊值問題的Galerkin法13-16
• 1.2 Galerkin方程解的存在唯一性和誤差估計16-20
• 第二章 求拋物方程的弱Galerkin有限元法20-26
• 2.1 拋物方程的有限元法20-22
• 2.2 拋物方程的弱Galerkin有限元法22-26
• 第三章 四階拋物問題的弱Galerkin有限元法26-39
• 3.1 引言26-27
• 3.2 弱Laplace算子和離散弱Laplace算子27-28
• 3.3 半離散和全離散弱Galerkin有限元法28-30
• 3.4 誤差分析30-37
• 3.4.1 半離散弱Galerkin有限元法的誤差分析30-35
• 3.4.2 全離散弱Galerkin有限元法的誤差分析35-37
• 3.5 數(shù)值結(jié)果37-39
• 參考文獻39-40
• 致謝40

【相似文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 劉紹球 ,李顯霖;有限元法淺說[J];系統(tǒng)工程與電子技術(shù);1981年02期

2 王月f;《水資源中有限元法》——第四屆國際水資源應(yīng)用有限元法會議會議錄介紹[J];地質(zhì)科技情報;1983年04期

3 鮑四元;;本科生《有限元法》課程教學(xué)的現(xiàn)狀與若干改革研究[J];課程教育研究;2014年03期

4 石艷華;侯錄;席俊明;;有限元法在口腔醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用[J];今日科苑;2007年08期

5 李昱君;;從語境的視角看有限元法的早期發(fā)展[J];自然辯證法通訊;2008年03期

6 魯建霞;茍惠芳;;有限元法的基本思想與發(fā)展過程[J];機械管理開發(fā);2009年02期

7 葛藤;;《有限元法》本科教學(xué)改革探討[J];科技信息;2010年13期

8 張泉樂;薛荔;;非線性問題的有限元法[J];武漢理工大學(xué)學(xué)報;2010年15期

9 王小榮;林順洪;丁劍平;陳小亮;;有限元法課程的教學(xué)改革探討[J];重慶科技學(xué)院學(xué)報(社會科學(xué)版);2011年06期

10 徐建全;陳銘年;林大同;;《有限元法》本科課程綜合改革與實踐[J];機電技術(shù);2011年06期

中國重要會議論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 唐旭海;鄭超;張建海;;基于虛結(jié)點的多邊形有限元法[A];中國力學(xué)學(xué)會學(xué)術(shù)大會'2009論文摘要集[C];2009年

2 趙俊峰;周慎杰;王炳雷;王錫平;;應(yīng)變梯度微梁的有限元法[A];力學(xué)與工程應(yīng)用（第十三卷）[C];2010年

3 Liu Bin;Xu Ran;Zhang Yihui;Fang Daining;;原子有限元法在多物理場研究中的新進展(英文)[A];中國力學(xué)大會——2013論文摘要集[C];2013年

4 丁勝勇;邵國建;;基于多邊形有限元法的混凝土細(xì)觀模擬[A];中國力學(xué)大會——2013論文摘要集[C];2013年

5 王耀;黑寶平;楊在林;;用于非均勻介質(zhì)瞬態(tài)分析的動態(tài)非均勻有限元法[A];中國力學(xué)大會——2013論文摘要集[C];2013年

6 金峰;方修君;;擴展有限元法及與其他數(shù)值方法的聯(lián)系[A];第17屆全國結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會議論文集（第Ⅰ冊）[C];2008年

7 鄧嬌;王宏志;傅向榮;鄧小環(huán);宋孟燕;葛麗娜;田歌;;單自由度時空有限元法[A];北京力學(xué)會第19屆學(xué)術(shù)年會論文集[C];2013年

8 徐春暉;李明瑞;;可離散有限元法中應(yīng)變度量的選擇[A];第五屆全國計算爆炸力學(xué)會議論文摘要[C];2012年

9 張謐;徐春輝;;由于連續(xù)體破壞問題研究的可離散有限元法[A];北京力學(xué)會第19屆學(xué)術(shù)年會論文集[C];2013年

10 張俊峰;李興國;婁國偉;;有限元法在單片電路耦合設(shè)計中的應(yīng)用[A];2007年全國微波毫米波會議論文集（下冊）[C];2007年

中國重要報紙全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 實習(xí)記者 南秀淵;有限元法研究的崢嶸歲月[N];新清華;2014年

中國博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 張雙文;時域有限元法及其截斷邊界條件的研究[D];西南交通大學(xué);2008年

2 付振東;非均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)準(zhǔn)靜態(tài)行為分析的耦合多尺度及耦合升尺度有限元法[D];大連理工大學(xué);2010年

3 林志良;比例邊界有限元法及快速多極子邊界元法的研究與應(yīng)用[D];上海交通大學(xué);2010年

4 卜令方;增強有限元法及其在巖土工程非連續(xù)變形分析中的應(yīng)用[D];浙江大學(xué);2014年

5 林峰;瞬變電磁場中時空有限元法的研究[D];沈陽工業(yè)大學(xué);2005年

6 曹鳳帥;比例邊界有限元法在勢流理論中的應(yīng)用[D];大連理工大學(xué);2009年

7 鄭恩希;非多項式最小二乘有限元法在幾種散射問題中的應(yīng)用[D];吉林大學(xué);2012年

8 王輝;基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格數(shù)值方法及雜交Trefftz有限元法[D];天津大學(xué);2007年

9 李霄琳;非均質(zhì)材料的光滑多尺度有限元法研究[D];吉林大學(xué);2015年

10 何小祥;基于有限元法的混合技術(shù)及其在復(fù)雜電大腔體電磁分析中的應(yīng)用[D];南京航空航天大學(xué);2003年

中國碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 李昱君;語境視角下的有限元法發(fā)展史[D];山西大學(xué);2008年

2 韓冬月;四階拋物問題的弱Galerkin有限元法[D];吉林大學(xué);2015年

3 樊現(xiàn)行;光滑有限元法理論及算法研究[D];山東大學(xué);2013年

4 萬德濤;二維光滑擴展有限元法研究[D];湖南大學(xué);2014年

5 李超;無網(wǎng)格—有限元法耦合理論的研究及其應(yīng)用[D];西安理工大學(xué);2008年

6 胡姝芳;非線性哈密頓系統(tǒng)的有限元法研究及比較[D];湖南師范大學(xué);2009年

7 謝海;擴展有限元法的研究[D];上海交通大學(xué);2009年

8 姚冬梅;間斷伽遼金有限元法及彈塑性固體和飽和多孔介質(zhì)中動力和波傳播問題分析[D];大連理工大學(xué);2002年

9 張剛;基于光滑有限元法消除體積鎖定和剪切鎖定問題研究[D];山東大學(xué);2012年

10 陸云;拓?fù)溆邢拊ㄔ陔姶艌鰡栴}中的應(yīng)用[D];廣西大學(xué);2006年

，

本文編號：1088223