本文關(guān)鍵詞：擬線性橢圓方程多解的存在性

  更多相關(guān)文章： 擬線性橢圓方程 變號(hào)解 臨界點(diǎn) Morse理論

【摘要】：在物理和生物領(lǐng)域中常常可以用到擬線性橢圓方程,比如能在非牛頓流體、非線性彈性問(wèn)題、孤立波的傳播現(xiàn)象以及人口動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題上進(jìn)行研究。近些年來(lái),人們愈加關(guān)注擬線性橢圓型方程與其對(duì)應(yīng)的方程組,可是在實(shí)際使用過(guò)程中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)之前用于解決半線性橢圓問(wèn)題的工具,如Morse理論、上下解方法、極小極大方法等,并不可以直截了當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移到擬線性橢圓方程中,這就會(huì)讓這一類問(wèn)題的探究面臨巨大的困難,從而需要我們堅(jiān)持不懈的來(lái)優(yōu)化和擴(kuò)展現(xiàn)有的工具。當(dāng)前,探究橢圓型方程可解性較為適合的工具之一是Morse理論,該理論通過(guò)描述泛函在其孤立臨界點(diǎn)附近的局部拓?fù)湫再|(zhì)和整體拓?fù)湫再|(zhì)之間的關(guān)系,來(lái)獲取方程多解的存在性及其各解的多種特性。但問(wèn)題是,如果想要通過(guò)Morse理論來(lái)探究擬線性泛函臨界點(diǎn)的特性,我們可能會(huì)遇到非常多的技術(shù)性問(wèn)題,例如,具有正交分解的Hilbert空間將不能再被方程所使用,很多如Morse引理和Gromoll-Meyer定理這樣著名的理論及定理將不能再成立。這樣就讓我們不得不擴(kuò)展及延伸現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)來(lái)獲得新的應(yīng)用領(lǐng)域以及更廣闊的臨界點(diǎn)理論。 詳細(xì)內(nèi)容如下,本文章所用Morse理論來(lái)探究以下所示的擬線性橢圓方程這里其中△2u=△u為拉普拉斯算子,Ω∈RN是邊界光滑的有界區(qū)域。我們假設(shè)非線性項(xiàng)滿足次臨界增長(zhǎng)的條件,所以方程的弱解等價(jià)于相應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)。 本課題包含兩大定理。首先我們假定非線性項(xiàng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處超線性增長(zhǎng),之前的結(jié)論經(jīng)常是獲得解的存在性,而這里所能說(shuō)明得到的解還是變號(hào)的,進(jìn)而會(huì)得到,如果上述方程的非線性項(xiàng)還是奇函數(shù),那么我們還能說(shuō)明該方程有無(wú)窮多的變號(hào)解。 其次,本課題出現(xiàn)的第二個(gè)定理是假定方程在零點(diǎn)共振,能例證泛函在零點(diǎn)具有環(huán)繞的幾何結(jié)構(gòu),通過(guò)Morse理論準(zhǔn)確的運(yùn)算零點(diǎn)的臨界群,進(jìn)而可以獲得方程多解的存在性。
【關(guān)鍵詞】：擬線性橢圓方程 變號(hào)解 臨界點(diǎn) Morse理論
【學(xué)位授予單位】：北方工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.25
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-6
• 引言6-8
• 第一章 綜述8-12
• 1.1 研究背景及意義8-10
• 1.2 本文的基礎(chǔ)知識(shí)10-11
• 1.3 本文的結(jié)構(gòu)11-12
• 第二章 已有結(jié)果與本文定理12-14
• 2.1 變號(hào)解的存在性12-13
• 2.2 零點(diǎn)的臨界群13-14
• 第三章 定理1.1的證明14-26
• 3.1 無(wú)窮遠(yuǎn)處的臨界群14-17
• 3.2 證明定理1.117-19
• 3.3 定理1.2的證明19-26
• 3.3.1 定理1.2中(i)的證明19-22
• 3.3.2 定理1.2中(ii)的證明22-26
• 參考文獻(xiàn)26-28
• 申請(qǐng)學(xué)位期間的研究成果及發(fā)表的學(xué)術(shù)論文28-29
• 1 發(fā)表的論文28
• 2 參加的科研項(xiàng)目28-29
• 致謝29

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前1條

1 劉嘉荃;;THE MORSE INDEX OF A SADDLE POINT[J];Systems Science and Mathematical Sciences;1989年01期

，

本文編號(hào)：1055411