本文關鍵詞：擬線性橢圓方程多解的存在性

  更多相關文章： 擬線性橢圓方程 變號解 臨界點 Morse理論

【摘要】：在物理和生物領域中常常可以用到擬線性橢圓方程,比如能在非牛頓流體、非線性彈性問題、孤立波的傳播現(xiàn)象以及人口動力學等問題上進行研究。近些年來,人們愈加關注擬線性橢圓型方程與其對應的方程組,可是在實際使用過程中,我們會發(fā)現(xiàn)之前用于解決半線性橢圓問題的工具,如Morse理論、上下解方法、極小極大方法等,并不可以直截了當?shù)霓D移到擬線性橢圓方程中,這就會讓這一類問題的探究面臨巨大的困難,從而需要我們堅持不懈的來優(yōu)化和擴展現(xiàn)有的工具。當前,探究橢圓型方程可解性較為適合的工具之一是Morse理論,該理論通過描述泛函在其孤立臨界點附近的局部拓撲性質和整體拓撲性質之間的關系,來獲取方程多解的存在性及其各解的多種特性。但問題是,如果想要通過Morse理論來探究擬線性泛函臨界點的特性,我們可能會遇到非常多的技術性問題,例如,具有正交分解的Hilbert空間將不能再被方程所使用,很多如Morse引理和Gromoll-Meyer定理這樣著名的理論及定理將不能再成立。這樣就讓我們不得不擴展及延伸現(xiàn)有的理論基礎來獲得新的應用領域以及更廣闊的臨界點理論。 詳細內容如下,本文章所用Morse理論來探究以下所示的擬線性橢圓方程這里其中△2u=△u為拉普拉斯算子,Ω∈RN是邊界光滑的有界區(qū)域。我們假設非線性項滿足次臨界增長的條件,所以方程的弱解等價于相應泛函的臨界點。 本課題包含兩大定理。首先我們假定非線性項在無窮遠處超線性增長,之前的結論經常是獲得解的存在性,而這里所能說明得到的解還是變號的,進而會得到,如果上述方程的非線性項還是奇函數(shù),那么我們還能說明該方程有無窮多的變號解。 其次,本課題出現(xiàn)的第二個定理是假定方程在零點共振,能例證泛函在零點具有環(huán)繞的幾何結構,通過Morse理論準確的運算零點的臨界群,進而可以獲得方程多解的存在性。
【關鍵詞】：擬線性橢圓方程 變號解 臨界點 Morse理論
【學位授予單位】：北方工業(yè)大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.25
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-6
• 引言6-8
• 第一章 綜述8-12
• 1.1 研究背景及意義8-10
• 1.2 本文的基礎知識10-11
• 1.3 本文的結構11-12
• 第二章 已有結果與本文定理12-14
• 2.1 變號解的存在性12-13
• 2.2 零點的臨界群13-14
• 第三章 定理1.1的證明14-26
• 3.1 無窮遠處的臨界群14-17
• 3.2 證明定理1.117-19
• 3.3 定理1.2的證明19-26
• 3.3.1 定理1.2中(i)的證明19-22
• 3.3.2 定理1.2中(ii)的證明22-26
• 參考文獻26-28
• 申請學位期間的研究成果及發(fā)表的學術論文28-29
• 1 發(fā)表的論文28
• 2 參加的科研項目28-29
• 致謝29

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 劉嘉荃;;THE MORSE INDEX OF A SADDLE POINT[J];Systems Science and Mathematical Sciences;1989年01期

，

本文編號：1055411