本文關(guān)鍵詞：篩法及其應(yīng)用

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【摘要】：篩法,是數(shù)論中著名的篩選素?cái)?shù)的方法。具體的,是篩出某一序列A中與素?cái)?shù)乘積函數(shù)P(z)互素的元素,其中P(z)是與篩集合B有關(guān)的截?cái)嗪瘮?shù)(可參考[16])。篩法起源可能要追溯到古希臘的Eratosthene,但是由于余項(xiàng)處理、參數(shù)選擇等問題,這種篩法在應(yīng)用上有一定的局限性；后來,挪威數(shù)學(xué)家Brun在1917年到1924年之間發(fā)明了組合篩法理論,這種篩法具有很強(qiáng)的應(yīng)用性,在很多問題上可以得到一些很好的結(jié)果；1947年,基于二次型一個(gè)優(yōu)美的優(yōu)化設(shè)計(jì),Selberg發(fā)明了Selberg篩法,相對(duì)于之前的Brun篩法,它理論上較為簡(jiǎn)明,技巧上更為靈活,估計(jì)上更加精細(xì)；目前組合篩法最好的結(jié)果是20世紀(jì)80年代的Rosser-Iwaniec篩法[18][19],它被認(rèn)為是篩法的極致,除了在余項(xiàng)處理上更為靈活外,在最好的情形下它可在上界估計(jì)主項(xiàng)中漸近的有一個(gè)常數(shù)因子的改進(jìn)(可參考[26])。篩法是數(shù)論中一個(gè)強(qiáng)有力的工具,在許多著名的數(shù)論問題中都有應(yīng)用。比如孿生素?cái)?shù)猜想,哥德巴赫猜想,不可約多項(xiàng)式表示成無窮多個(gè)素?cái)?shù)問題等等。1973年,陳景潤[7]在Bombieri [2],Renyi [24],潘承洞[21],王元[27]等人的工作基礎(chǔ)上,利用雙篩法在哥德巴赫猜想上取得重大進(jìn)展,即得到了著名的“1+2”陳氏定理：假設(shè)x為一個(gè)充分大的偶數(shù),p為一個(gè)素?cái)?shù),并定義P2為一個(gè)最多有兩個(gè)素因子的整數(shù),那么方程x=p+P2有解。且若令Px(1,2)為上述方程的解,那么有若將上述方程右邊的P2改進(jìn)到一個(gè)素?cái)?shù)p,即可證明偶數(shù)的哥德巴赫猜想。而在孿生素?cái)?shù)問題上,若令pn代表第n個(gè)素?cái)?shù),并記1940年,Erdos11]用Brun篩法最先證明△1。2009年,Goldston,Pintz和Yildirim [14]利用篩法最先證明了△=0,且在2010年,他們[15]又證明了下式現(xiàn)在我們又稱他們所用的篩法為G-P-Y篩法。2014年,張益唐[30]在孿生素?cái)?shù)猜想上取得重大進(jìn)展,他在Goldston,Pintz和Yildirim勺上述工作基礎(chǔ)上,成功證明了在上面所述的兩個(gè)著名猜想發(fā)展改進(jìn)過程中,篩法都起到了舉足輕重的關(guān)鍵作用。而在相鄰整數(shù)問的最大素因子問題上,篩法也同樣有用處。若n,n+1是自然數(shù),記P(n),P(n+1)分別為n,n+1的最大素因子,令人們猜想當(dāng)x足夠大時(shí),E(x)漸進(jìn)等于x/2,且更一般的,n和n+1的最大素因子是“相互獨(dú)立事件”。這個(gè)猜想看起來比較簡(jiǎn)單,不過卻是一個(gè)很難很深刻的問題。著名數(shù)學(xué)家Tenenbaum[25]曾說過‘'It lies in the same class of problems than the famous abc-conjecture"。這方面最早的結(jié)果來自Erdos和Pomerance[13],他們?cè)?978年得到結(jié)果：對(duì)足夠大的x,E(x)≥0.0099x,但是在他們的證明中篩法并未起主要作用。2005年,de la Breteche、Pomerance 和 Tenenbaum[4]利用篩法得到更好的估計(jì)文章最后作者說Fouvry后來指出將此篩法改變一下篩的序列可以得到更好的結(jié)果,但并未給出具體的證明過程。在本文的第二章中,我們將系統(tǒng)介紹篩法的一些基本概念：篩序列A,篩集合B及篩函數(shù)S(A；B,z)。在引進(jìn)篩函數(shù)時(shí),也將同時(shí)介紹篩法的本質(zhì)思想。在第三章中,我們將介紹幾類篩法：Eratosthene-Legendre篩法,Brun組合篩法,Selberg篩法以及Rosser-Iwaniec篩法。而在第四章,我們將給出篩法的兩個(gè)應(yīng)用。首先,為了熟悉篩法以及篩序列篩函數(shù)的選取,我們先給出“1+2”陳氏定理的一個(gè)簡(jiǎn)要證明。其次,在兩個(gè)相鄰整數(shù)的最大素因子問題上,我們將給出上面提到的Fouvry所指出的篩法的證明過程,按此篩法可以得到
【關(guān)鍵詞】：篩法 篩函數(shù) 陳氏定理 最大素因子
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O156
【目錄】：

• 中文摘要6-8
• 英文摘要8-11
• 第一章 基本概念11-17
• §1.1 序列(?)11-14
• §1.2 篩集合(?)和篩函數(shù)14-17
• 第二章 篩法17-27
• §2.1 Eratosthene-Legendre篩法17-18
• §2.2 Brun篩法18-22
• §2.3 Selberg上界篩法22-24
• §2.4 Rosser-Iwaniec篩法24-27
• 第三章 篩法的應(yīng)用27-45
• §3.1 陳景潤關(guān)于哥德巴赫猜想的“1+2”證明27-34
• §3.2 相鄰整數(shù)的最大素因子問題34-45
• §3.2.1 Erdos,de la Breteche,Pomerance,Tenenbaum等人的工作34-36
• §3.2.2 對(duì)de la Breteche,Pomerance,Tenenbaum結(jié)果的改進(jìn)36-45
• 參考文獻(xiàn)45-49
• 致謝49-51
• 攻讀學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文目錄51-52
• 學(xué)位論文評(píng)閱及答辯情況表52

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