玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(Bose-Einstein condensate)是當(dāng)玻色子原子冷卻到接近絕對(duì)零度時(shí),所呈現(xiàn)出的一種氣態(tài)的、超流性的物質(zhì)狀態(tài)。關(guān)于BEC的理論和數(shù)值方法引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,計(jì)算BEC的基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)以及動(dòng)力學(xué)特性是BEC研究的基本問題。經(jīng)典的非線性Schr?dinger方程,也被稱為Gross-Pitaevskii方程,已廣泛用于描述BECs的基態(tài)和動(dòng)力學(xué)特性。本文從BEC問題出發(fā),采用加權(quán)偏移的Grünwald-Letnikov差分法(WSGD)和積分因子方法研究了帶有三種不同勢(shì)阱的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的玻色—愛因斯坦凝聚態(tài),利用二階中心差分方法和Krylov子空間求解了自旋軌道耦合的玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(SOC BEC)。結(jié)合數(shù)值分析,驗(yàn)證了離散格式能量遞降的性質(zhì)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)展示了不同參數(shù)對(duì)整體系統(tǒng)的影響。第一章介紹了玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)的基本概念,并敘述了其發(fā)展歷史和實(shí)際應(yīng)用。第二章介紹了三種高效率的數(shù)值方法,并探討了每種數(shù)值方法的精度,效率及其穩(wěn)定性。第三章研究了帶有三種不同勢(shì)阱的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的玻色—愛因斯坦凝聚態(tài),首先使用歸一化梯度流的方法將分?jǐn)?shù)階玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)的基態(tài)問題轉(zhuǎn)化為求解分?jǐn)?shù)階Gross-Pitaevskii方程的最小能量問題。利用WSGD方法進(jìn)行空間離散,離散結(jié)果為一個(gè)常微分方程組,具有二階精度并且無(wú)條件穩(wěn)定。時(shí)間離散方面采用了積分因子方法,計(jì)算精度高、存儲(chǔ)量小、效率高。第四章探討了自旋軌道耦合的基態(tài)(SOC BEC)問題。應(yīng)用二階中心差分方法,得到了一個(gè)半離散的常微分方程組。時(shí)間離散方面,對(duì)非線性相互作用項(xiàng)進(jìn)行整合,得到線性化的微分方程。為了有效地求解指數(shù)矩陣,將Krylov子空間逼近應(yīng)用于矩陣指數(shù)算子,計(jì)算效率高,CPU存儲(chǔ)量小,穩(wěn)定性強(qiáng)。數(shù)值算例展示了SOC BEC的基態(tài)情況,并對(duì)比了不同參數(shù)對(duì)SOC BEC的基態(tài)密度的影響。
【學(xué)位單位】：沈陽(yáng)師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2019
【中圖分類】：O469
【部分圖文】：

1和（b）3時(shí)基態(tài)解和（c）1和（d）3時(shí)能量演化圖

（a）1和（b）5時(shí)第一激發(fā)態(tài)解和（c）1和（d）5時(shí)能量演化圖

二）諧波光晶格勢(shì)接下來，我們研究了具有振蕩勢(shì)的分?jǐn)?shù)階玻色愛因斯坦凝聚態(tài)，即含有(定義的諧波光晶格勢(shì)。初始數(shù)據(jù)、計(jì)算基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的初始數(shù)據(jù)、網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)與 4.1 相同。首先，我們觀察當(dāng) 2時(shí)。不同的參數(shù) 對(duì)圖像演化的影響。對(duì)于分?jǐn)?shù)P 方程，根據(jù)不同的 值，即 10,15,20,40,60,我們?cè)趫D 3(a)中繪制了基態(tài)演化圖。在諧波光晶格勢(shì)作用下，觀察到多尺度結(jié)構(gòu)。當(dāng) 較小 10時(shí)態(tài)解中只有一個(gè)高峰。隨著 的增加，兩邊出現(xiàn)了另外兩個(gè)高峰。圖 3(b)展示了固定 10時(shí)，不同 對(duì)基態(tài)解的影響。對(duì)于較弱的色散較小的 ，隨著高峰的增加并且變得明顯。參數(shù) 越小，粒子的散射越強(qiáng)，越大，展示了分?jǐn)?shù)拉普拉斯函數(shù)的非局部性。最后，圖 3(c)和(d)描述了基態(tài)解的總能量。對(duì)于不同的 和 ，可以觀能量的衰減�？梢钥闯觯芰侩S著 的減少而減少，而能量隨著 的增加而。
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