【摘要】：量子場(chǎng)論中的散射振幅研究廣受國(guó)內(nèi)外理論物理學(xué)者關(guān)注,該領(lǐng)域在近年來(lái)取得了一系列突破性進(jìn)展。本論文立足于這一背景,主要關(guān)注散射振幅領(lǐng)域內(nèi)的兩個(gè)熱點(diǎn)論題,即散射振幅的Cachazo-He-Yuan 形式(以下簡(jiǎn)稱 CHY 形式)和 Bem-Carrasco-Johansson 分子(以下簡(jiǎn)稱 BCJ分子)。本論文的主要目標(biāo)是建立系統(tǒng)的、理論無(wú)關(guān)的方法解答該論題中的兩個(gè)重要問(wèn)題:1、如何通過(guò)計(jì)算CHY形式在散射方程的解上的數(shù)值而得到對(duì)應(yīng)的散射振幅或圈圖中的散射振幅圈積分因子;2、如何結(jié)合散射振幅的CHY形式構(gòu)造其對(duì)應(yīng)的BCJ分子。我們首先設(shè)計(jì)一個(gè)用于計(jì)算亞純形式在孤立極點(diǎn)上的多維留數(shù)的微分算符,這些孤立極點(diǎn)由一組多復(fù)變齊次多項(xiàng)式方程的解給出。通過(guò)對(duì)大量例子的解析或數(shù)值分析,我們假定該微分算符可被代數(shù)幾何中的局域?qū)ε级ɡ砗妄R次多項(xiàng)式的交點(diǎn)數(shù)要求唯一確定。我們將這一微分算符應(yīng)用于計(jì)算(推廣后的)CHY形式中。為了使所要計(jì)算的留數(shù)滿足上述關(guān)于微分算符的擬設(shè),我們將原本由有理函數(shù)表達(dá)的散射方程轉(zhuǎn)換成齊次多項(xiàng)式方程。下一步我們通過(guò)詳細(xì)研究多項(xiàng)式形式的散射方程的組合性質(zhì)而進(jìn)一步提升這一方法的效率。結(jié)合多項(xiàng)式散射方程的良好組合性質(zhì),我們?yōu)樯鲜鑫⒎炙惴行枰汕蠼饩钟驅(qū)ε级ɡ砗徒稽c(diǎn)數(shù)要求而得的待定參數(shù)設(shè)計(jì)了一種類似于楊圖的圖表表示,并將關(guān)注點(diǎn)集中于CHY形式中頻繁出現(xiàn)的一類多維復(fù)變積分上(我們將這一類CHY積分統(tǒng)稱為“適宜形式”)。利用待定參數(shù)的圖表表示,適宜形式所對(duì)應(yīng)的微分算符可以被解析地求解,于是所有滿足適宜形式的CHY積分都可以被解析計(jì)算。最后,我們引入“簡(jiǎn)化矩陣”并完成關(guān)于CHY形式計(jì)算問(wèn)題的討論。在這一階段,我們主要考慮樹(shù)圖階的散射方程和CHY形式。觀察可知,在求解完與多項(xiàng)式散射方程所對(duì)應(yīng)的局域?qū)ε级ɡ項(xiàng)l件后,上述微分算符中獨(dú)立待定參數(shù)的數(shù)目總是一定的,僅與CHY形式的復(fù)變量數(shù)目(即散射振幅的外線數(shù)目)有關(guān)�；谶@一結(jié)果,我們引入簡(jiǎn)化矩陣的概念,并說(shuō)明只要樹(shù)圖散射振幅的CHY形式是因子化的(這一條件在CHY形式已知的理論中總是滿足的),任意這樣的CHY形式都可以被簡(jiǎn)化矩陣化歸到某一適宜形式,最終能被直接計(jì)算�；谏蛘穹腃HY形式表示,我們將上述方法應(yīng)用到相應(yīng)的樹(shù)圖BCJ分子的構(gòu)造中。一般來(lái)說(shuō),樹(shù)圖BCJ分子可由將其所對(duì)應(yīng)的色序振幅分解到最小基上得到;在CHY形式的語(yǔ)境中,這一過(guò)程即為將色序振幅的CHY形式分解到最小基中矢量所對(duì)應(yīng)的類CHY形式的多復(fù)變積分上。利用前述微分算符,我們將這一分解過(guò)程轉(zhuǎn)化為將CHY形式對(duì)應(yīng)的微分算符分解到由最小基矢量所對(duì)應(yīng)的微分算符所構(gòu)成的基上。結(jié)合簡(jiǎn)化矩陣化簡(jiǎn)方法,微分算符的分解可以很容易地被得到。我們?cè)诒菊撐闹刑岢�、討論的方法完全是理論無(wú)關(guān)的,適用于任何理論中的CHY形式,這些方法也應(yīng)當(dāng)能夠被直接推廣到(更)高圈的CHY形式的計(jì)算處理上。
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O411

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本文編號(hào)：2745419