發(fā)布時間：2020-07-23 18:53

【摘要】：天體力學是一個傳統(tǒng)的科學分支,主要是利用數(shù)學方法研究質(zhì)點在牛頓萬有引力定律下的運動問題,在航空航天和天文學研究中有重要的應用。即使到了三百多年后的今天,天體力學中還有很多問題沒有解決。本文在前人研究的基礎(chǔ)上,進一步深入研究了天體力學中N體問題的周期軌道及其性質(zhì)等問題,主要內(nèi)容包括以下兩個部分。3體問題是天體力學中研究最深入的問題之一。在第一部分中,我們用變分方法研究了帶電荷三體問題的變分極小解的幾何性質(zhì)。自從Rabinowitz將變分法應用于哈密頓系統(tǒng)的周期解研究以來,很多數(shù)學工作者將變分法應用于周期函數(shù)空間來研究N體問題,得到很多進展。2000年,龍以明和張世清加上了τ/2反周期限制條件并確定了經(jīng)典的3體問題在該條件下的變分極小解的幾何性質(zhì)。受他們工作的啟發(fā),我們研究了帶電荷三體問題的變分極小解的幾何性質(zhì)。需要指出的是,在經(jīng)典情形下,三體問題的非共線中心構(gòu)型形狀必定是等邊三角形;而帶電荷三體問題的中心構(gòu)型可以是任意形狀的三角形,甚至可能不存在三角形的中心構(gòu)型。這給我們的證明帶來很大困難,龍和張的證明不再適用于帶電荷的情形。經(jīng)過研究我們成功地推廣了證明過程中的一個關(guān)鍵不等式,最后得到τ/2反周期的帶電荷3體問題的變分極小解必是由相應的三角形中心構(gòu)型加上圓周運動構(gòu)成的。在第二部分中,我們運用帶有邊界條件限制的變分方法來尋找N體問題中的周期軌道,證明了在我們的變分框架下,變分極小對應的周期軌道必是Broucke-Hénon軌道和Schubart軌道之一。考慮等質(zhì)量三體問題,用標準的平面直角坐標系來看,Broucke-Hénon軌道和Schubart軌道均關(guān)于x軸和y軸對稱,其中Broucke-Hénon軌道由三個軌道構(gòu)成,其中兩個軌道關(guān)于y軸互相對稱,另一條軌道關(guān)于原點中心對稱;Schubart軌道三個質(zhì)點都在x軸運動,中間質(zhì)點與左右兩個質(zhì)點來回碰撞。由于計算機科學的發(fā)展,人們用數(shù)值方法發(fā)現(xiàn)了很多特殊的N體問題的周期軌道可能存在,包括我們所關(guān)注的Broucke-Hénon軌道和Schubart軌道,它們的存在性證明成為數(shù)學家們關(guān)注的焦點之一。由于N體問題有自然的變分結(jié)構(gòu),牛頓方程的解必然對應泛函作用量的臨界點,人們發(fā)現(xiàn)很多特解能利用變分方法在某些對稱性限制或者拓撲限制下的變分問題的極小得到。A.Chenciner和R.Montgomery于2000年在《Annals of Mathematics》上給出了著名的三體問題8字形軌道的存在性證明,緊接著陳國璋證明了4體問題平行四邊形軌道的存在性,類似的方法被用于研究N體問題周期運動軌道的存在性。2004年D.Ferrario和S.Terracini合作發(fā)表在《Inventiones mathematicae》的文章用具有對稱限制的變分方法對N體問題周期解的存在性和性質(zhì)做了深入的研究。A.Venturelli于2008年用變分方法給出了Schubart軌道的存在性證明,但Broucke-Hénon軌道存在性一直沒有得到解決,從而成為大家所關(guān)注的問題。在第二部分中,我們試圖利用帶有邊界限制的變分方法來證明Broucke-Hénon軌道的存在,其中的難點在于排除邊界碰撞。通常排除碰撞的方法主要有兩種,一種是對碰撞局部擾動使得非碰撞道路擁有更小的泛函從而矛盾,另一種是利用碰撞泛函的下界估計構(gòu)造測試道路來排除。由于我們的邊界條件對于質(zhì)點順序的限制,使得我們對軌道的局部擾動也有了限制,通常的排除2體碰撞的方法在我們這里不適用。這里我們利用Jacobi坐標變換發(fā)現(xiàn)了滿足一定邊界條件的變分極小應當具有一些幾何性質(zhì),而這個結(jié)果正好能用于處理某些有順序限制情形的2體碰撞。Schubart軌道雖然存在碰撞,但也在我們的變分框架下。運用這個幾何結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)變分極小的軌道必然對應Broucke-Hénon軌道和Schubart軌道之一。通過數(shù)值的近似計算,我們發(fā)現(xiàn)兩條軌道泛函值很接近,而且似乎Schubart軌道的泛函值要小一些,也就是說很有可能Schubart這個碰撞軌道是這種對稱限制的全局極小而Broucke-Hénon軌道是局部極小。在第三部分中,我們用變分方法研究了等質(zhì)量4體問題的周期軌道,證明了一系列類似于對稱順行軌道的周期或者擬周期軌道的存在性。2003年陳國璋就用變分法研究了N-體問題的周期和擬周期軌道,證明了與四體對稱逆行軌道相關(guān)的變分極小對應的周期軌道的存在性。迄今關(guān)于四體順行軌道的存在性沒有得到證明,為了得這種順行軌道軌道,我們這里對邊界加了更強的限制,而限制越多,碰撞的排除就會越難。借助計算機的輔助,在滿足一定條件的時候,我們構(gòu)造了一系列測試道路來證明變分問題的極小不會有碰撞,進而能延拓成為周期或者擬周期的軌道。運用第二部分內(nèi)容中類似的幾何討論,我們證明了我們這種情形下得到的變分極小泛函值是嚴格大于陳國璋文章中所得軌道的泛函值,所以不是同一條軌道。這也是為什么陳國璋在θ_∈(0,π/2)均能排除碰撞而我們只能做到證明在角度θ_∈(0,π/7)時沒有碰撞。
【學位授予單位】：南開大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：P132

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本文編號：2767708