【摘要】：在某些特殊情況下,Krylov子空間方法的殘量下降曲線會出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象,如停滯現(xiàn)象,不規(guī)則振蕩現(xiàn)象等,從而嚴重影響到Krylov子空間方法的收斂速度。本文以帶多右端項的大規(guī)模稀疏線性系統(tǒng)為研究對象,針對上述不穩(wěn)定問題提出兩類用于求解對稱正定線性系統(tǒng)的新型算法:帶自適應重新啟動過程的免中斷塊共軛梯度(Adaptive Restart procedures for the Breakdown-Free Block Conjugate Gradient,簡稱AR-BFBCG)算法,基于投影的收縮塊共軛梯度(Projected variant of the Deflated Block Conjugate Gradient,簡稱PD-BCG)算法。詳細的研究內(nèi)容與主要成果如下:提出了一種自適應重啟的AR-BFBCG方法�；赑owell在1977年針對共軛梯度算法提出的重新啟動過程(后命名為:Powell’s restart),以及Dai等人于2004年在Powell’s restart基礎(chǔ)上的工作,我們將這種重新啟動過程推廣并應用到求解帶多右端項線性方程組的塊共軛梯度(Block Conjugate Gradient,簡稱BCG)算法中。同時,結(jié)合Ji等人在2017年提出的免中斷塊共軛梯度(Breakdown-Free Block Conjugate Gradient,簡稱BFBCG)算法,提出AR-BFBCG方法用于求解帶多右端項的對稱正定線性系統(tǒng)。該方法繼承了Powell’s restart的優(yōu)點,可通過重啟幫助消除BCG方法中出現(xiàn)的殘差收斂行為不規(guī)則的現(xiàn)象,進而提高BCG的收斂速度。同時保留了BFBCG方法中免秩虧損的優(yōu)點,可避免帶重啟的BCG方法在執(zhí)行中可能會出現(xiàn)由秩虧損而導致的算法中斷問題。數(shù)值試驗表明,這類方法可有效“打破”殘差收斂行為中的不規(guī)則現(xiàn)象,從而在一定程度上減少計算量,提高BFBCG算法的收斂速度。此外,在求解病態(tài)系統(tǒng),或帶秩虧損的多右端項線性系統(tǒng)時,該方法的數(shù)值優(yōu)越性更加明顯。設計了一種基于投影的PD-BCG方法。Chen在2011年提出收縮塊共軛梯度(Deflated Block Conjugate Gradient,簡稱D-BCG)算法,該方法可通過收縮掉極端特征值(比如小特征值)來減小預處理矩陣的條件數(shù),從而提高BCG算法收斂速度。但在有限精度算法(finite arithmetic)框架下,殘差空間與收縮空間之間的正交性會隨著算法的執(zhí)行而逐漸丟失,而這種正交性的丟失會明顯地影響算法的穩(wěn)定性,導致殘量下降曲線出現(xiàn)長時間停滯,甚至因正交性丟失過于嚴重而根本無法收斂。重正交(reorthogonalization)方法可用于修復這種丟失的正交性,但是其代價相當大�；诖�,我們提出了PD-BCG算法來“延緩”這種正交性的丟失,并且理論表明這種“延緩”不需要任何額外代價,同時理論還表明PD-BCG與DBCG在數(shù)學上是等價的。最后數(shù)值實驗表明,PD-BCG算法能夠?qū)⑦@種正交性保持在一定程度內(nèi),進而有效解決了收斂停滯甚至不收斂的問題,驗證了其有效性與數(shù)值穩(wěn)定性。
【學位授予單位】：電子科技大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2019
【分類號】：O241.6

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本文編號：2719842