基于修正偶應(yīng)力理論及表面彈性理論,本文提出了一種新的雙曲線剪切變形梁模型,用于均勻微尺度梁的靜態(tài)彎曲分析。該理論可以直接利用本構(gòu)關(guān)系獲得橫向剪切應(yīng)力,滿足梁頂部和底部的無(wú)應(yīng)力邊界條件,避免了引入剪切修正因子。根據(jù)廣義Young-Laplace方程建立了梁的內(nèi)部與表面層的應(yīng)力連續(xù)性條件,單一的變量場(chǎng)可以描述梁的位移模式。通過(guò)在位移場(chǎng)中考慮表面層厚度以及表面層的應(yīng)力連續(xù)條件,可以使新模型能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)微尺寸和表面能相關(guān)的尺度效應(yīng)。通過(guò)Hamilton原理推導(dǎo)出了梁的控制方程和邊界條件。應(yīng)變能除了考慮經(jīng)典彈性理論,還要考慮微結(jié)構(gòu)效應(yīng)和表面能。Navier-type的解析解適用于簡(jiǎn)支邊界條件,而基于拉格朗日插值的微分求積法（DQEM）可以研究在不同邊界條件下的力學(xué)響應(yīng)。把該數(shù)值解與Navier方法得出的解析解作了對(duì)比,得出:微尺度梁在考慮表面能或微尺寸效應(yīng)、不同載荷和梁高變化下的響應(yīng)一致;當(dāng)不考慮微結(jié)構(gòu)相關(guān)性和表面能效應(yīng)時(shí),該模型退化為經(jīng)典的歐拉梁模型。 

【文章來(lái)源】：應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào). 2020,37(02)北大核心CSCD

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均勻梁模型Fig.1Uniformbeammodel

790應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)第37卷由表1可以看出，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[25]的結(jié)果基本一致，當(dāng)不考慮表面能效應(yīng)和微尺寸效應(yīng)時(shí)，該模型退化為經(jīng)典梁理論模型，驗(yàn)證了本文方法的正確性。為了便于對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析與討論，采用量綱為一的撓度形式，對(duì)歐拉梁在相應(yīng)載荷下的最大撓度進(jìn)行了量綱歸一化處理，其中Emidw表示歐拉梁在中點(diǎn)處的彎曲撓度值。圖2~圖6是均勻簡(jiǎn)支梁靜力彎曲的計(jì)算結(jié)果。圖2是在僅考慮表面能效應(yīng)的情況下，均勻梁在受到均勻載荷作用時(shí)表面層厚度對(duì)微梁的影響。取表面層厚度為310m時(shí)，可以看出表面層厚度能較小程度地增大梁的剛度。圖3是分別考慮偶應(yīng)力和表面能效應(yīng)的情況下，均勻梁在受到均勻載荷0q作用時(shí)的量綱為一的彎曲撓度值。其中EB表示經(jīng)典歐拉梁的計(jì)算結(jié)果，SE是僅考慮表面能效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，CS是僅考慮修正偶應(yīng)力理論的計(jì)算結(jié)果�？梢钥闯鲈谂紤�(yīng)力和表面能效應(yīng)影響下，梁的剛度不同程度地增加。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的計(jì)算結(jié)果非常吻合。其中偶應(yīng)力對(duì)微梁的影響很大，表面能效應(yīng)對(duì)微梁的影響相對(duì)較小，能夠明確地表述出微梁的尺度效應(yīng)。當(dāng)不考慮偶應(yīng)力和表面能效應(yīng)的情況下，該微梁退化為經(jīng)典的歐拉梁模型。同時(shí)可以看出剪切對(duì)梁的彎曲影響是比較大的。圖2表面層厚度變化對(duì)微梁量綱為一的撓度的影響Fig.2Effectofvariationofsurfacelayerthicknessonnon-dimensionaldeflectionofmicrobeams圖3表面張力和偶應(yīng)力對(duì)微梁量綱為一的撓度的影響Fig.3Effectofsurfacetensionandcouplestressondimensionlessdeflectionofmicrobeams圖4是在考慮表面能和偶應(yīng)力的情況下，將帶有拉格朗日插值的微

別受到0q的均勻載荷、0qbL的集中載荷和0qsin(πx/L)的分布載荷，可以看出不同載荷下的撓度分布變化一致。圖4微梁靜態(tài)彎曲分析數(shù)值解和解析解的對(duì)比Fig.4Comparisonofnumericalandanalyticalsolutionsforstaticbendinganalysisofmicrobeams圖5不同載荷對(duì)微梁量綱為一的撓度的影響Fig.5Effectofdifferentloadsonthedimensionlessdeflectionofmicrobeams圖6厚度變化對(duì)微梁量綱為一的撓度的影響Fig.6Effectofthicknessvariationondimensionlessdeflectionofmicrobeams圖7不同邊界對(duì)微梁量綱為一的撓度的影響Fig.7Effectofdifferentboundariesonthedimensionlessdeflectionofmicrobeams

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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