本文關(guān)鍵詞：時(shí)間不相容的隨機(jī)控制問題和弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程

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【摘要】：在本篇論文中,我們主要研究了兩類不滿足Bellman's最優(yōu)性原理的時(shí)間不相容隨機(jī)控制問題：一個(gè)是隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容最優(yōu)控制問題,另一個(gè)是部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題。另外,我們還研究了一類受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題,它的代價(jià)泛函由反射倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)的解給出。我們建立了該問題的近似最大值原理及其最優(yōu)解和近似最優(yōu)解的充分條件。進(jìn)而,通過考察與隨機(jī)最優(yōu)控制理論的緊密聯(lián)系以及其它的實(shí)際應(yīng)用,我們引入了一類新型的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEs),稱為弱形式的FBSDEs。我們還進(jìn)一步討論了這類方程解的適定性。下面我們給出本文的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架。在第一章中,我們簡(jiǎn)明扼要地介紹了本文所研究問題的歷史背景,研究動(dòng)機(jī)以及理論工具。在第二章中,我們研究了一類隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容最優(yōu)控制問題。通過構(gòu)造多人微分對(duì)策問題的方法,我們得到了一族刻畫平衡值函數(shù)的倒向隨機(jī)發(fā)展方程,稱為隨機(jī)平衡Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程。在適當(dāng)?shù)臈l件下,該方程存在唯一解,從而可以給出閉環(huán)形式的時(shí)間相容平衡控制。另外,我們還相應(yīng)討論了特殊并且重要的線性二次時(shí)間不相容控制問題。在第三章中,我們研究了一類部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題。我們首先研究了相應(yīng)的完全觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題,得到平衡控制的驗(yàn)證定理和該問題的Hamiltonian系統(tǒng),并且還進(jìn)一步建立了該Hamiltonian系統(tǒng)的Kalman-Bucy濾波公式。從而由倒向分離原理,我們可以給出部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題的平衡控制,它是狀態(tài)濾波估計(jì)的反饋調(diào)節(jié)。另外,作為理論的應(yīng)用,我們還研究了一個(gè)制訂最優(yōu)保險(xiǎn)費(fèi)用的問題,給出平衡保費(fèi)的顯式表示。在第四章中,我們研究了一類受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題,其值函數(shù)由反射BSDEs的解給出。通過一族帶懲罰的BSDEs逼近一個(gè)反射BSDE的方法,我們建立了該問題的近似最大值原理。另外,我們還分別得到了該問題最優(yōu)解以及近似最優(yōu)解的充分條件。最后,我們用一個(gè)混合最優(yōu)控制問題的例子說明所得理論的實(shí)際應(yīng)用,并給出最優(yōu)控制和最優(yōu)停時(shí)。在第五章中,我們引入了一類新型的弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程。通過考察在期權(quán)對(duì)沖理論,非線性Feynman-Kac公式以及最大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的關(guān)系問題中的應(yīng)用,我們可以看到此類FBSDEs是自然合理的。特別地,我們用兩個(gè)例子說明這類新型的弱形式的FBSDEs聯(lián)系著弱框架的隨機(jī)最優(yōu)控制問題,它們?cè)谙鄬?duì)強(qiáng)框架問題更一般的條件下存在最優(yōu)解。另外,我們還討論了這類弱形式的FBSDEs解的適定性。接下來,我們給出本篇論文的主要結(jié)論。1.隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容最優(yōu)控制問題及隨機(jī)平衡HJB方程。對(duì)給定的完備概率空間(Ω,F：P)和其中相互獨(dú)立的1-維和d-維布朗運(yùn)動(dòng){Wt,t≥0},{Wt1,t≥0},考慮如下的控制系統(tǒng)：以及代價(jià)泛函：其中b(x,v,s):Rn×Rk×[0,T]→Rn,σ(x,s):Rn×[0,T]→Rn,π(x,s):Rn×[0,T]→ Rn×d,L(x,v,s,t):Rn×Rk×[0,T]×[0,T]→R均為確定性函數(shù),且h(x,t,№) Rn×[0,T]×Ω→R是FTW-可測(cè)的隨機(jī)變量。[t,T]時(shí)間段內(nèi)的容許控制v是取值于U(?)Rk的FtW,w1-適應(yīng)隨機(jī)過程,且E[∫tT|vs|2ds]+∞。我們稱該隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容控制問題為問題(N)。通過(2.7)定義的關(guān)鍵性映射ψ,構(gòu)造一列依賴于分劃Ⅱ的多人微分對(duì)策問題并考察步長(zhǎng)||Π||→0時(shí)的情形,我們建立了如下的隨機(jī)平衡HJB方程,它是一族含參數(shù)的倒向隨機(jī)發(fā)展方程：其中H=L2(Rn),V={u∈L2(Rn):Du∈L2(Rn)}且由壓縮映射方法,我們可以得到：定理2.3.1.若假設(shè)2.3.1和2.3.2成立,則存在唯一的((?).(.;τ),A.(.;τ))∈M2(τ,T;V)× M2(τ,T;H),0≤τ≤T,滿足隨機(jī)平衡HJB方程(3)。從而我們可以給出定義2.2.1意義下問題(N)的時(shí)間相容平衡控制和平衡值函數(shù)：定理2.3.2.若假設(shè)2.3.1,2.3.2和2.3.3成立,則隨機(jī)平衡HJB方程(3)的解(?)t(x；t)是初值為(x,t)∈Rn×[0,T]的問題(N)的平衡值函數(shù),相應(yīng)的時(shí)間相容平衡控制由(2.29)給出。另外,我們還研究了一類時(shí)間不相容的線性二次(LQ)控制問題,其動(dòng)力系統(tǒng)為：且代價(jià)泛函為其中對(duì)任意的s∈[0,T],A(·):C(·),G(·)∈Rn×n,S(·),F(·),H(·)∈Rn×k,Q(·)是取值于Sn的FW-可測(cè)的非負(fù)有界隨機(jī)變量；對(duì)任意的(s,t)∈D[0,T],R(·,·)∈Sn是非負(fù)的,N(·,·)∈Sk是正定的。當(dāng)F三0時(shí),我們充分利用其二次型結(jié)構(gòu),建立了該時(shí)間不相容LQ問題的Riccati-Volterra積分方程系統(tǒng)：關(guān)于(4)解的存在唯一性,我們有：命題2.4.1.若進(jìn)一步假設(shè)則(4)存在唯一解。因此,對(duì)于該時(shí)間不相容的線性二次控制問題,我們有如下結(jié)論：定理2.4.1. 若命題2.4.1中的假設(shè)全部成立,則初始狀態(tài)為(x,t)∈Rn×[0,T]的平衡值函數(shù)為其中K(·)滿足(4)。時(shí)間相容平衡控制由(2.39)給出。2.部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題及應(yīng)用。對(duì)給定的完備概率空間(Q,F,P),及其中的2-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng){(W1(t),W2(t)),t≥ 0}和獨(dú)立的Gaussian型隨機(jī)變量ζ,我們首先考慮完全觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題,其動(dòng)力系統(tǒng)為：且代價(jià)泛函為其中A(·),B(·),C1(·),C2(·),a(·),b(·),c(·),f1(·),f2(·)均為取值于R的Ftζ,W1,W2-適應(yīng)隨機(jī)過程,且g,h,μ1,μ2均為常數(shù)。容許控制u(.)是取值于R的Ftζ,W1,W2-適應(yīng)隨機(jī)過程,且E[∫0T|u(t)|4dt]+∞。我們記全體容許控制構(gòu)成的集合為U。在(Q,F)空間中定義一個(gè)新的概率測(cè)度Q：由Girsanov's定理,如下定義的過程{(U(t),V(t)),t≥0):是2-維的Q-標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。從而通過計(jì)算,代價(jià)泛函(6)可以改寫為：-he∫tTb(τ)dτ((EtQ[X(T)])2-(μ1Xt+μ2)e∫tTb(τ)dτEtQ[X(T)],其中EtQ[·]=EQ[·|Ftζ,W1,W2]表示(Q,F,Q)空間中關(guān)于Ftζ,W1,W2的條件數(shù)學(xué)期望。根據(jù)最大值原理中的針狀變分思想,我們得到了定義3.1.1意義下的該時(shí)間不相容控制問題的平衡解的充分條件：定理3.1.1.令假設(shè)3.1.1成立。若存在隨機(jī)過程{(X*(s),u*(s)),0≤s≤T}和一族隨機(jī)過程{(p(s;t),k1(s;t),k2(s;t)),t≤s≤T},0≤t≤T,使得對(duì)任意的t∈[0,T),滿足下述Hgmiltonian系統(tǒng)以及Λ(·;t)=B(·)p(·;t)+2c(·)e∫tb(r)dru*(·)滿足(3.8),并且u*∈U,則u*是一個(gè)平衡控制。但是在很多實(shí)際問題中,我們不能直接觀測(cè)到(8)中的(X*,p,k1,k2),而是觀測(cè)一個(gè)與X*(·)相關(guān)的過程Z(·),其動(dòng)力系統(tǒng)為：為了得到(X*,p,k1,k2)關(guān)于觀測(cè)Z(·)的最優(yōu)估計(jì)(X*,p,k1,k2),我們解耦合Hamilto-nian系統(tǒng)(8)并通過經(jīng)典的正向SDEs濾波理論可得：定理3.2.1.若假設(shè)3.1.1和3.2.1成立,則Hamiltonian系統(tǒng)(8)解的最優(yōu)濾波估計(jì){(X*(s),p(s;t),k1(s;t),k2(s;t)),t≤s≤T},0≤t≤T由(3.21),(3.22),(3.24)以及(3.25)給出,其中M(·),N(·),r(·)和φ(·)分別為(3.16),(3.17),(3.18)和(3.19)的解。下面考慮相應(yīng)的部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題。由倒向分離原理,我們分離狀態(tài)和觀測(cè)方程如下：并定義容許控制u(·)為取值于R的FtZ和FtZ1-適應(yīng)隨機(jī)過程,且E[∫0T|u(t)|4dt] +∞。結(jié)合前面的結(jié)論,我們可以得到該部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題的平衡解：定理3.3.1.若假設(shè)3.1.1和3.2.1成立,則部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題的平衡控制為(3.31),其中M(·),N(·),r(·)和φ(·)分別為(3.16),(3.17),(3.18),(3.19)的解,且X’(·)是相應(yīng)于平衡控制(3.31)的狀態(tài)濾波估計(jì),由(3.33)給出。最后,作為理論結(jié)果的應(yīng)用,我們研究了一個(gè)制訂最優(yōu)保險(xiǎn)費(fèi)用的實(shí)際問題�？紤]一家保險(xiǎn)公司,其現(xiàn)金流過程X(·)為：其中x00為初始資金,無風(fēng)險(xiǎn)利率δ(·)0,責(zé)任率l(.)0是單位時(shí)間的預(yù)期責(zé)任,保費(fèi)率v(·)是控制變量,波動(dòng)率σ(·)0表示責(zé)任風(fēng)險(xiǎn)。這家公司希望制訂最優(yōu)保費(fèi)率v(·)最小化代價(jià)泛函：其中,常數(shù)β是折現(xiàn)因子,常數(shù)co是某個(gè)預(yù)定的目標(biāo),常數(shù)G,Q以及隨機(jī)過程R(·)是為了使代價(jià)泛函(13)一般化的權(quán)重因子。但是決策者通常不能直接觀測(cè)到現(xiàn)金流X(·),而可以觀測(cè)到公司的股票價(jià)格S(·),它與X(·)的關(guān)系如下：其中,常數(shù)a,c為相關(guān)系數(shù),隨機(jī)過程ρ(·)為波動(dòng)率。通過變量代換及計(jì)算,該控制問題可以轉(zhuǎn)化為前面研究的部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題。從而我們可以得到平衡保費(fèi)策略：定理3.4.1.若假設(shè)3.4.1和3.4.2成立,則可觀測(cè)的平衡保費(fèi)策略為其中J1(·)和φ1(·)分別由(3.58)和(3.59)給出,且X*(.)是相應(yīng)于平衡保費(fèi)策略的現(xiàn)金流濾波估計(jì),滿足(3.52)。3.一類受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題的隨機(jī)最大值原理。對(duì)給定的完備概率空間(Q,F,P),和其中的d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng){Wt,t≥0},考慮如下的正向控制系統(tǒng)：和一個(gè)受控的反射BSDE:以及代價(jià)泛函其中α∈Rd是一個(gè)給定的常數(shù),且b(t,x,v):[0,T]×Rd×Rl→Rd,σ(t,x):[0,T]×Rd→ Rd×d,f(t,x,y,v):[0,T]×Rd×Rm×Rl→Rm,h(t,x):[0,T]×Rd→Rm,g(x):Rd→ Rm,γ(y):Rm→R均為確定性函數(shù)。容許控制v是取值于緊集U∈Rl的FtW-適應(yīng)隨機(jī)過程,且E[∫0T|vt|2dt]+∞。記全體容許控制構(gòu)成的集合為U。我們稱這個(gè)受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題為問題(P)。假設(shè)u∈U是問題(P)的一個(gè)最優(yōu)控制,且{xt,0≤t≤T},{(yt,zt,kt),0≤t≤T}分別為相應(yīng)的(16)和(17)的解。由于引入了一個(gè)連續(xù)的增過程{kt},我們不能直接利用針狀變分法得到問題(P)的最大值原理。首先,我們構(gòu)造一族帶懲罰的近似BSDEs逼近反射BSDE(17):其中n=1,2,…。從而由Ekeland's變分原理,(4.8)給出了一列容許控制{un}n≥1和遞減趨于0的數(shù)列{ε。}n≥1,使得{un}n≥1是問題(P)的近似最優(yōu)解,且對(duì)每個(gè)n∈N,un∈U以及相應(yīng)的(16)和(19)的解{xtn,0≤t≤T},{(ytn,ztn),0≤t≤T}是如下構(gòu)造的輔助最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解：?jiǎn)栴}(Pn) 對(duì)于正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)(16)和(19),尋找容許控制v∈Uf最小化代價(jià)泛函但是(19)的生成元僅為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)卻不可導(dǎo),因此我們不能直接使用針狀變分法。對(duì)任意的n,k∈N,定義光滑函數(shù)：其中φ,ψ為兩個(gè)光滑化函數(shù)�，F(xiàn)在,我們引入生成元光滑的BSDEs：其中n,k=1,2,…。類似地,由Ekeland's變分原理,對(duì)任意給定的n∈N,(4.20)給出了一列容許控制{un,k}k≥1和遞減趨于0的數(shù)列{δn,k}k≥1,使得{un,k}k≥1是問題(Pn)的近似最優(yōu)解,且對(duì)每個(gè)n,k∈N,un,k∈U以及相應(yīng)的(16)和(22)的解{xnt,k,0≤t≤T},{(ytn,k,ztn,k),0≤t≤T}是如下最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解：?jiǎn)栴}(Pn,k) 對(duì)于正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)(16)和(22),尋找容許控制v∈u最小化代價(jià)泛函從而由標(biāo)準(zhǔn)的針狀變分法,我們有：命題4.2.1.令假設(shè)4.1.1,4.1.2和4.1.3成立。則對(duì)任意給定的n∈N,存在容許控制un是問題(Pn)的最優(yōu)解,和常數(shù)ε。0,以及一族容許控制{un,k}k≥1是問題(Pn)的近似最優(yōu)解,和遞減趨于0的數(shù)列{δn,k}k≥1,使得對(duì)任意的k∈N,1)d(un,k,un)≤(?);2)對(duì)任意的v∈U,其中xtn,k},{(ytn,k,ztn,k)}是相應(yīng)于控制un,k的(16)和(22)的解,{Ptn,k},{Qtn,k}分別是(4.22)和(4.23)給出的伴隨過程,且Hamiltonian函數(shù)Hn,k為結(jié)全Krylov's不等式,我們考察當(dāng)n∈N固定,k趨于∞時(shí)的情形,從而建立了問題(P)的近似最優(yōu)控制的最大值原理：定理4.2.1.令假設(shè)4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假設(shè)4.2.1,4.2.2成立,u∈U是問題(P)的一個(gè)最優(yōu)控制。則存在一族容許控制{un}n≥1是問題(P)的近似最優(yōu)解以及遞減趨于0的數(shù)列{ε。}n≥1,使得對(duì)任意的n∈N,1)d(un,u)≤(?)；2)對(duì)任意的v∈U,其中{xnt},{(ynt,ztn)}是相應(yīng)于控制un的(16)和(19)的解,{Ptn},{Qtn}分別是(4.33)和(4.34)給出的伴隨過程,且Hamiltonian函數(shù)Hn為另外,利用Clarke's廣義導(dǎo)數(shù),我們還可以得到問題(P)的最優(yōu)解以及近似最優(yōu)解的充分條件。定理4.3.1.若假設(shè)4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假設(shè)4.3.1成立,u是一個(gè)容許控制,{xt,0≤ t≤T),{(yt,zt,kt),0≤t≤T}分別為相應(yīng)的(16)和(17)的解。記τ*=inf{0≤t≤ T:yt=h(t,xt)},h(t,x)=h(t,x)1{tT)+g(x)1{t=T}且令伴隨過程{Pt},{Qt}滿足以及如果H(t,.,.,Pt,Qt,qt.),h(t,.)和γ(·)均為凸函數(shù),且對(duì)任意的t∈[0,τ*]和v∈U,則u是問題(P)的一個(gè)最優(yōu)控制。定理4.3.2.若假設(shè)4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假設(shè)4.3.2成立,對(duì)任意的n∈N,un是一個(gè)容許控制,{xtn,0≤t≤T},{(ytn,ztn),0≤t≤T}分別是相應(yīng)的(16)和(19)的解。記令伴隨過程{Ptn},{Qtn}滿足以及如果Hn(t,·,·,Ptn,Qtn,qtn,·),γ(·)和g(·)均為凸函數(shù),且對(duì)任意的t∈[0,T]和v∈U,則un是問題(P)的εn-近似最優(yōu)控制,其中當(dāng)n→∞時(shí),{εn}n≥1遞減趨于0。4.一類弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程。我們引入一類弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程：我們從理論結(jié)果以及實(shí)際應(yīng)用的角度,給出了幾個(gè)具體的例子,如例5.1.2,5.2.1和5.2.2說明此類弱形式的FBSDEs的研究動(dòng)機(jī),特別是它與隨機(jī)最優(yōu)控制理論的聯(lián)系,并且(32)聯(lián)系著一類擬線性拋物型PDE：定義弱形式的FBSDE(32)的解為：定義5.1.1.我們稱(i)帶域流的概率空間(Ω,F{Ft)0≤t≤T,P)和Ft-適應(yīng)隨機(jī)過程{(Wt,Xt,Yt,Zt,Nt),0≤t≤T}為弱形式的FBSDE(32)的弱解,如果它們滿足(32),P-a.s.,W是P-標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),N是與X正交的P-鞅,且No=0；(ii)一個(gè)弱解為半強(qiáng)解,如果(Y,Z)是FtX-適應(yīng)的；(iii)一個(gè)弱解為強(qiáng)解,如果N=0,且(X,Y,Z)是FtW-適應(yīng)的。利用相關(guān)的PDE(33),我們可以得到弱形式的FBSDE (32)解的適定性：定理5.3.1.令假設(shè)5.3.1成立。若PDE(33)存在經(jīng)典解u∈C1,2,且(?)xu和(?)2xxu均一致有界,則FBSDE (32)存在強(qiáng)解。如果又有假設(shè)5.3.2和5.3.3成立,則強(qiáng)解唯一。定理5.3.2.令假設(shè)5.3.1,5.3.2和5.3.3成立。若PDE(33)存在粘性解u∈C0,0且b,σ不含z,則FBSDE (32)存在半強(qiáng)解。如果u∈C0,1,則當(dāng)b,σ含有z時(shí),(32)仍存在半強(qiáng)解。
【關(guān)鍵詞】：時(shí)間不相容 平衡控制 隨機(jī)平衡HJB方程 Kahan-Bucy濾波方程 最優(yōu)保費(fèi)問題 最大值原理 遞歸最優(yōu)控制問題 反射倒向隨機(jī)微分方程 弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程 弱框架的最優(yōu)控制問題
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O211.63;F830.9
【目錄】：

• 中文摘要7-18
• 英文摘要18-31
• 符號(hào)說明31-32
• 第一章 緒論32-38
• 1.1 倒向隨機(jī)微分方程和隨機(jī)遞歸最優(yōu)控制問題32
• 1.2 時(shí)間不相容的最優(yōu)控制問題32-33
• 1.3 部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題33-34
• 1.4 反射倒向隨機(jī)微分方程和受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題34-35
• 1.5 一類弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程35-38
• 第二章 隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容最優(yōu)控制問題及隨機(jī)平衡HJB方程38-67
• 2.1 預(yù)備知識(shí)38-41
• 2.1.1 隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間相容最優(yōu)控制問題38-40
• 2.1.2 倒向隨機(jī)發(fā)展方程和隨機(jī)HJB方程40-41
• 2.2 隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容最優(yōu)控制問題41-53
• 2.2.1 問題描述41-43
• 2.2.2 時(shí)間相容平衡解的定義43-44
• 2.2.3 多人微分對(duì)策問題44-52
• 2.2.4 Φ.~∏(·)與Θ.~(k+1)(·)的關(guān)系52-53
• 2.3 隨機(jī)平衡HJB方程53-59
• 2.3.1 隨機(jī)平衡HJB方程解的存在唯一性53-57
• 2.3.2 平衡控制和平衡值函數(shù)57-59
• 2.4 隨機(jī)系數(shù)的時(shí)間不相容線性二次控制問題59-67
• 第三章 部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題及應(yīng)用67-85
• 3.1 完全觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題67-71
• 3.2 Kalman-Bucy濾波方程71-75
• 3.3 部分觀測(cè)的時(shí)間不相容遞歸最優(yōu)控制問題75-80
• 3.4 一個(gè)制訂最優(yōu)保費(fèi)策略的實(shí)例80-85
• 第四章 受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題的最大值原理85-109
• 4.1 受障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題85-88
• 4.2 近似最大值原理88-100
• 4.3 最優(yōu)控制與近似最優(yōu)控制的充分條件100-105
• 4.3.1 最優(yōu)控制的充分條件100-103
• 4.3.2 近似最優(yōu)控制的充分條件103-105
• 4.4 混合最優(yōu)控制問題的實(shí)例105-109
• 第五章 弱形式的正倒向隨機(jī)微分方程109-129
• 5.1 研究動(dòng)機(jī)與解的定義109-113
• 5.1.1 對(duì)沖期權(quán)問題109-110
• 5.1.2 非線性的Feynman-Kac公式110-112
• 5.1.3 弱形式的FBSDEs與解的定義112-113
• 5.2 弱形式的FBSDEs與隨機(jī)最優(yōu)控制問題的聯(lián)系113-120
• 5.2.1 隨機(jī)最大值原理的Hamiltonian系統(tǒng)113-115
• 5.2.2 動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和最大值原理的Hamiltonian函數(shù)115-116
• 5.2.3 弱框架的隨機(jī)最優(yōu)控制問題的形式116-117
• 5.2.4 兩個(gè)反例117-120
• 5.3 弱形式的FBSDEs解的適定性120-129
• 參考文獻(xiàn)129-136
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表及完成的論文136-137
• 致謝137-138
• 學(xué)位論文評(píng)閱及答辯情況表138

【相似文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：867869