本文關鍵詞：基于排序的正倒向隨機微分方程與非線性期望

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【摘要】：非線性倒向隨機微分方程由Pardoux和Peng[74]于1990年引入,其具體形式如下,-dY(t)=f(t, Y(t),Z(t))dt-Z(t)·dW(t),Y(T)=ζ,其中W(t)是標準布朗運動,f是生成元函數(shù),終端值ξ是FT-可測的隨機變量。由于其在金融數(shù)學、隨機最優(yōu)控制、隨機微分對策等領域中的廣泛應用,倒向隨機微分方程已經(jīng)成為隨機分析學中非常重要的領域。特別是,倒向隨機微分方程給出了一類非線性偏微分方程概率意義下的解釋,這是經(jīng)典的Feynman-Kac公式的非線性推廣。基于[74]這一開創(chuàng)性的工作,許多其他形式的倒向隨機微分方程也得到了快速的發(fā)展。1997年,El Karoui,Kapoudjian,Pardoux, Peng和Quenez[32]研究了帶一個反射邊界的倒向隨機微分方程。這類反射倒向隨機微分方程中多了一個增過程。這個增過程K(t)的作用是保證方程的解Y(t)始終大于某一個給定的下界S(t),即,Y(t)≥S(t), a.s.,且在最小的意義下大于上界,即,∫tT[Y(s)-S(s)]dK(s)=0.同時,在[32]中,作者還證明了帶一個反射邊界條件的倒向隨機微分方程與障礙問題的關系,這是非線性Feynman-Kac公式對應于反射倒向隨機微分方程的形式。之后,Cvitanic和Karatzas[26]研究了帶兩個反射邊界的倒向隨機微分方程,即,除了方程的解Y(t)在終端時刻T等于終端值ξ之外,Y(t)還要在給定的兩個邊界之間。受隨機策略理論(stochastic portfolio theory)中資本市場的資本分布曲線(capital distribution curve)的啟發(fā),基于排序的隨機微分方程(rank-based stochastic differential equations)吸引了很多學者的關注。這類新的隨機微分方程不同于以往的系數(shù)是Lipschitz連續(xù)的隨機微分方程,它依賴于單個隨機過程在整體中的排名,即系數(shù)是分段常數(shù)的。由基于排序的隨機微分方程得到的排序的過程(ranked particle)是一類半鞅反射布朗運動,其具體方程可由Banner和Ghomrasni[3]中結論得到。受以上工作的啟發(fā),在本論文的第一章到第四章中我們將要研究與基于排序的隨機微分方程耦合的倒向隨機微分方程。特別地,在第一章中我們討論了基于排序的倒向隨機微分方程及其與帶Neumann邊界條件的偏微分方程的聯(lián)系；在第二章中我們研究了基于排序的反射倒向隨機微分方程及其與帶Neumann邊界條件的障礙問題的聯(lián)系；在第三章中,我們研究了歐式期權和美式期權定價。在第四章中,我們研究了狀態(tài)方程為帶不對稱碰撞的布朗過程的隨機微分對策問題。值得注意的是,與參考文獻[25]中方程不同的是,前四章中出現(xiàn)的偏微分方程的定義域的邊界不再是二次連續(xù)可微的,而僅僅是Lipschitz:連續(xù)的。在勒貝格測度的基礎上,Kolmogorov于1933年在他的《概率論基礎》一書中首次建立了測度論的公理體系。之后,因為其在其他領域的應用性和實用性,概率論成為了數(shù)學的一個重要的分支。經(jīng)典的概率論是建立在線性概率或線性期望之上的。但是,用線性概率或者線性期望來解釋現(xiàn)實中的很多不確定性時存在著不足,例如,Allias謬論和Ellsberg謬論。因此,受金融數(shù)學、統(tǒng)計學中不確定問題的啟發(fā),許多學者開始使用非線性概率來研究不確定性問題。1953年,Choquet提出了容度和Choquet期望的概念。在倒向隨機微分方程的基礎上,Peng于1997年提出了一類非常重要的非線性期望,g-期望。之后,Peng在2006年建立了非線性期望理論體系。在非線性期望體系中,一些極限定理先后得到了證明。例如,Peng[82]證明了弱大數(shù)定律和中心極限定理；Chen[14]證明了容度下的強大數(shù)定律,與經(jīng)典的大數(shù)定律收斂于期望值不同的是,此時的極限落入由下期望和上期望組成的區(qū)間之內。在本論文的第五章和第六章中,我們將研究非線性期望下的極限定理。在第五章中,我們探討了次線性期望下的偏差理論,證明了次線性期望下的大偏差上界和下界對負相關的隨機變量序列仍然成立。此外,利用大偏差的結果,還證明了次線性期望下負相關隨機變量序列的中偏差上界。在第六章中,我們討論了容度下的遍歷定理。本文一共分為六章。以下是本文的結構和每章的主要結論。(I)第一章主要討論基于排序的正倒向隨機微分方程。在1.1節(jié)中,我們討論了如下的基于排序的隨機微分方程我們首先得到了命名的過程和排序的過程滿足下面的性質：定理1.3對所有的Tt≥0和p≥1,存在兩個分別依賴于(p,T,{bj})和(p,n,{bj})的常數(shù)C1和C2,使得對任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面兩個式子成立：和定理1.4對于任意的Tt≥0和p≥1,存在兩個分別依賴于(p,T,{bj})和(p,T,{bj})的常數(shù)C1和C2,使得對任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面兩個式子成立：和在1.2節(jié)中,我們研究了下述基于排序的正倒向隨機微分方程在給出生成元的條件之后,我們得到了方程解的存在唯一性。我們在1.3節(jié)研究了下述偏微分方程的粘性解：上述偏微分方程是一類新的方程,其中,解在終端時刻滿足Cauchy條件,在Lipschitz連續(xù)的邊界上滿足Neumann條件。我們得到了以下兩個結論：定理1.8假設(H1.1)和(H1.2)成立,那么由(1.2.12)定義的函數(shù)u(t,x)是方程(1.3.1)的粘性解。定理1.9假設(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)成立,那么方程(1.3.1)至多存在一個粘性解滿足下列條件：對某一A0,在[0,T]上一致。在1.4節(jié)中,我們研究了與不對稱碰撞的布朗過程耦合的倒向隨機微分方程。首先,我們證明了不對稱碰撞的布朗過程的下述性質：定理1.10對所有的Tt≥0和p≥1,存在一個依賴于(L,p,T,n,{bi),{σi})的常數(shù)C,使得對所有的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],都有以下兩個式子成立：和接著,我們討論了與不對稱碰撞的布朗過程耦合的倒向隨機微分方程及其與偏微分方程的聯(lián)系,主要結論如下：定理1.12假設偏微分方程(1.4.13)存在屬于C1,2([0,T]×Γn；R)的解且存在常數(shù)c,p0使得下式成立那么,偏微分方程的解是唯一的且式子(1.4.12)成立。定理1.13假設(H1.4)、(H1.5)和(H1.6)成立,那么由(1.4.12)定義的函數(shù)u(t,x)是偏微分方程(1.4.13)的滿足條件(1.3.2)的唯一的粘性解。(Ⅱ)第二章我們討論了基于排序的反射倒向隨機微分方程。在2.1節(jié)中,我們證明了當波動系數(shù)不是常數(shù)時基于排序的隨機微分方程解的下述性質：定理2.1假設序列(0,σ12,…,σn2,0)是凹的,則方程(2.1.1)存在唯一的強解。進一步,對任意的Tt≥0和p≥1,存在一個依賴于p,T,{δi},[σj})的常數(shù)C,使得對所和定理2.2對任意的Tt≥0和p≥1,存在一個依賴于p,T,n,{δj),{σj))的常數(shù)C,使得對所有的x,x'∈Γn和t,t'∈[0,T],我們有下面的式子成立：和在2.2節(jié)中,我們引入了基于排序的反射倒向隨機微分方程并得到了解的存在唯一性：定理2.4假設(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,存在唯一的循序可測的過程組成的三元組(Yt,x,Zt,x,Kt,x)使得下列條件成立：(i)(Yt,x,Zt,x,Kt,x)滿足(2.2.1);(ii)E ∫(|Yt,x(s)|2+|zt,x(s)|2)ds∞ (iii)Yt,x(s)≥h(s,Xt,x(s)),t≤s≤T;(iv){Kt,x(s)}是連續(xù)的增過程且有在2.3節(jié)中,我們得到了障礙問題的粘性解的存在唯一性：定理2.7假設(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,由(2.2.5)定義的函數(shù)u(t,x)是障礙問題(2.3.1)的粘性解。定理2.8假設(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)和(H2.1)成立,那么,(2.3.1)至多存在一個滿足條件(1.3.2)的粘性解。在2.4節(jié)中,我們討論了帶不對稱碰撞的布朗過程的反射倒向隨機微分方程,并得到了類似于定理2.7和定理2.8的結果(詳見定理2.10)。(Ⅲ)第三章我們討論了期權定價。在3.1節(jié)中,我們研究了歐式期權定價的問題,得到了如下的結論：當債券和股票的價格P0t,p(s),{Pit,p(s)}i=1 n滿足以下的隨機微分方程時,未定權益ζ=g(P0t,p(T),Pt,p(T))在時刻s的價值為此時,u(t,p)是下述偏微分方程的唯一的粘性解：其中,在3.2節(jié)中,我們比較了兩個市場中的期權定價問題。在有一個債券和N+1個價格滿足基于排序的隨機微分方程的股票的金融市場中,如果在零時刻第N+1個股票的價格充分小,且在歐式期權定價的時候我們只考慮剩下的N個股票,那么與市場中只有這N個股票是幾乎相等的,也即第N+1個股票的的影響很小。在3.3節(jié)中,我們研究了美式期權定價問題,主要結論如下：美式期權存在最小的平方可積的上對沖策略且Yt,p(s)是它的價格過程。其中,(Yt,p,π)是下述反射倒向隨機微分方程的唯一的解：(Ⅲ)第四章我們討論了隨機微分對策問題。在4.1中,我們簡單介紹了推廣的倒向隨機微分方程,并且得到了解的比較定理。在4.2節(jié)中,我們引入了隨機微分對策問題,且得到了如下動態(tài)規(guī)劃原理：定理4.5假設(H4.3)、(H4.4)、(H4.5)和(H4.6)成立,下值函數(shù)W(t,x)足下面的動態(tài)規(guī)劃原理：對任意的0≤t≤t+δ和x∈Γn,在4.3節(jié)中,我們討論了Isaacs方程的粘性解。(Ⅳ)第五章在Peng提出的次線性期望的框架下,我們研究了負相關隨機變量序列的偏差理論。在5.1節(jié)中,我們介紹了非線性期望的預備知識。隨后我們給出了次線性期望下隨機變量負相關的定義并探討了負相關隨機變量序列的基本性質。在5.2節(jié)中,得到了次線性期望下負相關隨機變量序列的大偏差結論：定理5.1對于任意的δ0和i≥1,{Xi}i=1∞為E[.]下滿足E[eδ|Xi]+∞的負相關隨機變量列,令Sn=1/n∑i=1n,假設(H5.1)成立,(1)對于紙有的閉集F，，有(2)對于所有的開集G,有在5.3節(jié)中,利用5.2節(jié)中得到的大偏差結果,得到了次線性期望下負相關隨機變量序列的中偏差上界：定理5.2令,{Xi}i=1∞是E[.]下的負相關隨機變量列且滿足E[X1]=E[-X1]=0和E[|Xi|2+δ]+∞,E[et|Xi|]+∞,其中,δ∈(0,1),i≥1,t∈R。假設此外,如果對于所有的t∈R和n≥1,那么,對所有的閉集F(?)R,有其中,(V)第六章在Choquet提出的容度的框架下,我們研究了遍歷定理。在6.1節(jié)中,我們給出了容度的基礎知識并給出了容度下保持測度的變換的定義。在6.2節(jié)中,我們給出了凸連續(xù)容度下的遍歷定理：定理6.1令v∈C(Ω)且滿足v(A)≤1一v(Ac)≤φ(v(A)),其中,φ∈西。如果T是Ω上的一個保持測度的變換,x是一個隨機變量且E[|X|]+∞,令那么(1)如果X≥0,則有(2)如果X≤0,則有(3)對于任意的X,則有
【關鍵詞】：正倒向隨機微分方程 排序的過程 偏微分方程 粘性解 反射倒向隨機微分方程 障礙問題 隨機微分對策 次線性期望 大偏差 中偏差 容度 遍歷定理
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O211.63;F830
【目錄】：

• 中文摘要7-15
• 英文摘要15-24
• 第一章 基于排序的正倒向隨機微分方程24-52
• 1.1 基于排序的隨機微分方程26-30
• 1.2 基于排序的正倒向隨機微分方程30-35
• 1.3 偏微分方程的粘性解35-45
• 1.3.1 粘性解的存在性36-40
• 1.3.2 粘性解的唯一性40-45
• 1.4 與不對稱碰撞的布朗過程耦合的倒向隨機微分方程45-52
• 1.4.1 不對稱碰撞的布朗過程的性質45-49
• 1.4.2 倒向隨機微分方程49-51
• 1.4.3 偏微分方程的粘性解51-52
• 第二章 基于排序的反射倒向隨機微分方程52-76
• 2.1 基于排序的正倒向隨機微分方程52-61
• 2.1.1 基于排序的隨機微分方程53-60
• 2.1.2 基于排序的倒向隨機微分方程60
• 2.1.3 偏微分方程的粘性解60-61
• 2.2 基于排序的反射倒向隨機微分方程61-63
• 2.3 障礙問題的粘性解63-72
• 2.3.1 粘性解的存在性64-67
• 2.3.2 粘性解的唯一性67-72
• 2.4 帶不對稱碰撞的布朗過程的反射倒向隨機微分方程72-76
• 第三章 基于排序的倒向隨機微分方程與期權定價76-92
• 3.1 歐式期權定價76-83
• 3.2 歐式期權定價的比較83-88
• 3.3 美式期權定價88-92
• 第四章 隨機微分對策92-114
• 4.1 推廣的倒向隨機微分方程92-94
• 4.2 動態(tài)規(guī)劃原理94-103
• 4.3 Isaacs方程的粘性解103-114
• 4.3.1 粘性解的存在性104-111
• 4.3.2 粘性解的唯一性111-114
• 第五章 次線性期望下負相關隨機變量序列的偏差理論114-130
• 5.1 次線性期望114-117
• 5.2 負相關隨機變量序列的大偏差117-123
• 5.3 負相關隨機變量序列的中偏差上界123-130
• 第六章 容度下的遍歷定理130-140
• 6.1 容度130-132
• 6.2 凸連續(xù)容度下的遍歷定理132-140
• 小結140-141
• 參考文獻141-148
• 作者在讀期間完成論文情況148-149
• 致謝149-150
• 學位論文評閱及答辯情況表150

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8 徐嗣h

本文編號：727801