本文選題：美式期權(quán)定價(jià)　切入點(diǎn)：Black-Scholes模型　出處：《吉林大學(xué)》2014年博士論文

【摘要】：期權(quán)作為一種重要的金融衍生產(chǎn)品具有廣泛的應(yīng)用空間,由此導(dǎo)出的期權(quán)定價(jià)問題,尤其是美式期權(quán)定價(jià)問題,越來越引起金融領(lǐng)域的關(guān)注.期權(quán)的定價(jià)模型取決于原生資產(chǎn)(標(biāo)的資產(chǎn))價(jià)格的演化過程.在連續(xù)時(shí)間情形,原生資產(chǎn)價(jià)格的演化過程可以通過一個(gè)隨機(jī)偏微分方程來描述,在此基礎(chǔ)上,作為它的衍生物——期權(quán)的價(jià)格可以利用偏微分方程定解問題來刻畫.對于原生資產(chǎn)符合的隨機(jī)偏微分方程不同的描述就會導(dǎo)出不同的期權(quán)定價(jià)模型.眾多模型中, Black-Scholes定價(jià)模型應(yīng)用最為廣泛.在Black-Scholes模型下,美式期權(quán)定價(jià)問題的解不存在顯示表達(dá)式,因而對Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價(jià)問題的研究,特別是提出有效的、穩(wěn)定的、可實(shí)現(xiàn)的、快速的數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)成為當(dāng)今金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要課題之一. 本文主要就原生資產(chǎn)價(jià)格的波動率為常數(shù)和隨機(jī)數(shù)兩種情況,以美式看跌期權(quán)為例,研究了Black-Scholes模型下的美式期權(quán)定價(jià)問題.并針對該問題的求解難點(diǎn)給出了相應(yīng)的處理技巧,最終提出了有效的、快速的計(jì)算方法.論文主要做了以下4項(xiàng)工作: 1.在第一章中,我們首先簡要回憶了期權(quán)發(fā)展的歷史脈絡(luò)以及期權(quán)的分類方法.之后,通過一些簡單的推導(dǎo),以美式看跌期權(quán)為例,介紹了常數(shù)波動率情況和隨機(jī)波動率情況下美式期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型.接下來,對Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價(jià)問題的研究狀況做了簡短的綜述.最后,介紹了本文后續(xù)章節(jié)中涉及的一些數(shù)值方法. 2.在第二章中,我們主要針對常數(shù)波動率情況下的美式期權(quán)定價(jià)問題給出了一種分裂的數(shù)值算法.這一章主要由以下兩部分構(gòu)成: I.最佳實(shí)施邊界.在此,我們主要以美式看跌期權(quán)為例,來研究常數(shù)波動率情況下的美式期權(quán)定價(jià)問題.對于美式看漲期權(quán),利用看漲—看跌期權(quán)的平價(jià)公式可以得到類似的結(jié)論.當(dāng)原生資產(chǎn)價(jià)格的波動率為常數(shù)時(shí),美式看跌期權(quán)定價(jià)的Black- Scholes模型為：其中s是原生資產(chǎn)的價(jià)格,t為時(shí)間,P(S,t)表示美式看跌期權(quán)的價(jià)格.ο,r,q,T和K分別表示原生資產(chǎn)價(jià)格的波動率,無風(fēng)險(xiǎn)利率,原生資產(chǎn)的紅利率,期權(quán)的到期日以及敲定價(jià)格.B(t)表示美式看跌期權(quán)的最佳實(shí)施邊界,它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分,S≤B(t)為實(shí)施區(qū)域,SB(t)為持有區(qū)域. 觀察Black-Scholes模型(1),可以發(fā)現(xiàn),期權(quán)價(jià)格P(S,t)和最佳實(shí)施邊界B(t)均未知,且兩者之間存在依賴關(guān)系,這給期權(quán)定價(jià)問題的求解帶來了很大的麻煩.分裂法的主要思想是分兩步完成整個(gè)求解過程.首先,求解一個(gè)非線性的Volterra積分方程,得到最佳實(shí)施邊界B(t),然后通過求解一個(gè)拋物問題得到期權(quán)價(jià)格P(S,t). 最佳實(shí)施邊界B(t)的導(dǎo)數(shù)在t=T時(shí)刻存在奇性,因此均勻網(wǎng)格上的數(shù)值方法不能達(dá)到較高的精度.在論文中,我們采用了幾何網(wǎng)格剖分來解決該問題,最后應(yīng)用配置法和Newton法耦合求解得到最佳實(shí)施邊界B(t).在§2.1中,詳細(xì)描述了B(t)的求解過程.§2.3中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述算法的有效性. Ⅱ.期權(quán)價(jià)格.已知最佳實(shí)施邊界B(t),在Black-Scholes模型(1)中,選取Diric-hlet邊界條件作為左邊界條件,則美式看跌期權(quán)的定價(jià)問題可化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的拋物問題,求解該問題時(shí),我們遇到了以下三個(gè)困難： (1)B(t)是一條曲線,求解區(qū)域不規(guī)則； (2)求解區(qū)域無界,難以直接應(yīng)用數(shù)值方法； (3)給出合理的數(shù)值方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格P(S,t). 在§2.2中,我們將針對這三個(gè)問題給出相應(yīng)的處理技巧.對于自由邊界問題,如果邊界光滑或者單調(diào)front-fixing變換是解決該問題的一種較好的預(yù)處理方法,它可以把求解區(qū)域由一個(gè)曲邊區(qū)域化為一個(gè)規(guī)則區(qū)域.本文將應(yīng)用front-fixing變換來解決第一個(gè)困難.對于無界區(qū)域問題,完全匹配層(PML)技巧是一種截?cái)喽x域的好方法,不僅能使截?cái)嗪蟮那蠼鈪^(qū)域較小,達(dá)到加速計(jì)算的目的,而且還能保證計(jì)算精度,因此,我們采用PML技巧解決第二個(gè)問題. 通過以上兩步變換,美式期權(quán)定價(jià)問題便化成了一個(gè)矩形區(qū)域上的定解問題.最后,我們來考慮求解該問題的數(shù)值方法.在§2.2.3中,詳細(xì)描述了求解問題(2.16)的傳統(tǒng)的連續(xù)型有限元方法(FEM),本文中簡稱有限元方法.通過§2.3中的數(shù)值實(shí)驗(yàn),我們可以看到,相較于其他方法,本文所提算法能夠得到更精確的數(shù)值結(jié)果. 定理1假設(shè)u和uh分別是美式期權(quán)對應(yīng)的PML問題(2.16)的真解和半離散數(shù)值解,如果初值逼近uh(x,0)滿足 則有如下誤差估計(jì)成立 其中C是一個(gè)不依賴于h的獨(dú)立常數(shù). 在§2.2.3中,詳細(xì)給出了有限元方法求解問題(2.16)的收斂性證明.至此,我們解決了美式期權(quán)定價(jià)問題數(shù)值求解的所有困難. 在第二章中,我們還研究了一些重要的金融參數(shù)(Greeks)對應(yīng)的方程,以及求解這些方程的數(shù)值方法,并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性.本章的最后,我們給出了應(yīng)用有限元方法和間斷有限元方法求解期權(quán)價(jià)格和Greeks的三維圖像. 3.在第三章中.針對波動率為常數(shù)情況,我們提出了一種求解Black-Scholes模型下美式看跌期權(quán)定價(jià)問題的耦合方法.這一章主要由四部分構(gòu)成： Ⅰ.有界區(qū)域上的定問題.回顧美式看跌期權(quán)定價(jià)問題(1),B(t)是一條未知曲線,P(S,t)為待求的期權(quán)價(jià)格,通過簡單分析可知,P(S,t)與B(t)之間存在著依賴關(guān)系.顯然問題(1)是一個(gè)很復(fù)雜的非線性系統(tǒng),數(shù)值求解該問題時(shí),我們會面臨以下三個(gè)困難： (1)求解區(qū)域的左邊界為一條未知曲線,求解區(qū)域不規(guī)則； (2)求解區(qū)域的右端為正無窮,無法直接應(yīng)用數(shù)值方法； (3)給出合理的算法同時(shí)求出最佳實(shí)施邊界B(t)和期權(quán)價(jià)格P(S,t). 耦合法的主要思想是直接從原始問題(1)出發(fā),給出一種算法同時(shí)求出期權(quán)價(jià)格P(S,t)和最佳實(shí)施邊界B(t).當(dāng)然,在應(yīng)用數(shù)值方法之前,我們首先要解決前兩個(gè)問題,將方程(1)化為一個(gè)有界區(qū)域上的拋物問題. 對此,我們應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的變量替換(3.1)和front-fixing變換(3.5),將方程(1)化為半無窮區(qū)域上的拋物問題.接下來,采用PML截?cái)嗉记?3.9)將半無窮區(qū)域上的拋物問題截?cái)喑捎薪鐓^(qū)域上的拋物問題變換后的方程系數(shù)以及右端函數(shù)的具體形式將會在第三章詳細(xì)給出.通過上述一系列變換,美式看跌期權(quán)定價(jià)問題(1)化為了一個(gè)有界矩形區(qū)域上的拋物問題. 在期權(quán)和股票交易的過程中,許多從業(yè)者不只關(guān)心期權(quán)價(jià)格本身的變動情況,還會關(guān)注一些風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)參數(shù)的走勢.我們把這些參數(shù)定義為希臘字母(Greeks),包括Rho(R), Vega(V)和Delta (△)它們分別為期權(quán)價(jià)格P(S,t)對無風(fēng)險(xiǎn)利率r,波動率σ和股票價(jià)格s的導(dǎo)數(shù).這一部分,我們還將研究這些希臘字母對應(yīng)的方程. 現(xiàn)在考慮Rho, Vega和Delta當(dāng)最佳實(shí)施邊界B(t)已知后,對方程(1)兩端同時(shí)關(guān)于r,σ和S求導(dǎo)(為計(jì)算簡單,我們只取Dirichlet邊界條件),便可得到這些希臘字母對應(yīng)的方程.采取與處理期權(quán)定價(jià)問題(1)相同的方法,我們可以得到這些希臘字母對應(yīng)的矩形區(qū)域上的逼近問題. 至此,我們已將美式期權(quán)定價(jià)問題以及希臘字母對應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上的拋物問題.接下來,將討論求解這些問題的數(shù)值方法.具體的,將采用有限元方法(FEM)和Newton法耦合求解拋物問題(4),給出期權(quán)價(jià)格P(S,t)和最佳實(shí)施邊界B(t).當(dāng)最佳實(shí)施邊界確定后,同樣可以應(yīng)用FEM求解希臘字母Rho和Vega.由于Delta在點(diǎn)(T,B(T))附近存在奇性,有限元方法求解這類問題不能達(dá)到較高的精度,故我們將介紹間斷有限元方法(DGM)和弱有限元方法(WGM)來求解Delta. Ⅱ.求解期權(quán)價(jià)格的耦合法.這一部分,我們主要應(yīng)用有限元方法和Newton法耦合求解拋物問題(4),并證明有限元解的穩(wěn)定性和非負(fù)性.數(shù)值求解拋物問題(4)時(shí),我們應(yīng)用Neumann邊值條件ux(0,τ)=gx(b(τ),τ)形成弱形式來求解u(x,τ).把x=0處的Dirichlet邊值條件u(0,τ)=g(b(τ),τ)看成是b(τ)的隱函數(shù),應(yīng)用其求解b(τ).耦合法的主要思想就是這兩步交替迭代求解.在§3.2.1中,描述了應(yīng)用線性元和Newton法耦合求解拋物問題(4)的細(xì)節(jié).下面,我們給出有限元解的穩(wěn)定性和非負(fù)性定理. 定理2假設(shè)-C11+C2|log(τm)|/τm≤δτbm0,0τm≤T,其中C1和C2是兩個(gè)正的常數(shù).如果α≥-1/2+γ-q/2γ,β≤r+α(r-q)-γα(1+α)-γο02,則當(dāng)θ=0或0.5時(shí),拋物問題(4)的有限元解unm(m=1….,M)是穩(wěn)定的,且有如下估計(jì)式成立 在這里,||.||表示L2(Ω)模. 定理3在滿足定理2的假設(shè)條件下,如果α≤-1/2+r-q/2γ+(r-q-γ)2+4rγ/2γ,并且 足夠小,那么問題(4)的有限元解uhm(m=1,...,M)是非負(fù)的,即 在這一部分的最后,我們給出任意點(diǎn)處期權(quán)價(jià)格的表達(dá)式.任給m=1,2….,M,i=1,2,...,N1,通過(3.1)和(3.5)的逆變換,可以得到P在點(diǎn)(Sim,τm)處的逼近解,形式如下其中Sim=Kexi+bm,bm=b(τm). Ⅲ.間斷有限元方法.在此,我們介紹希臘字母的求解方法.對于Rho和Vega,可以采用前面提到的有限元方法求解,這里不再贅述.由于Delta在點(diǎn)(T,B(T))處存在奇性,有限元方法不能有效的處理這類問題,故在這一部分,我們主要介紹一種求解Delta的數(shù)值方法——間斷有限元方法(DGM). 在§3.2.2中,詳細(xì)描述了求解Delta的間斷有限元方法,時(shí)間方向采用向后歐拉格式離散,空間方向采用分片間斷的多項(xiàng)式來逼近真解,這樣便得到了Delta的間斷有限元逼近解.§3.2.2還給出了應(yīng)用間斷有限元方法求解Delta對應(yīng)的PML問題的半離散誤差估計(jì).定理4假設(shè)w(τ,x)∈H1(0,T；Hs(Ω))和wh分別為方程(3.17)的真解和間斷有限元解,若s3/2.那么,在DG公式(3.30)中,取e=1時(shí),有如下誤差估計(jì)成立. 其中C是與h不相關(guān)的常數(shù). 通過§3.3.1中的數(shù)值實(shí)驗(yàn),我們可以發(fā)現(xiàn)間斷有限元方法在求解Delta時(shí)比較有效,能夠達(dá)到較高的精度. Ⅳ.弱有限元方法.在§3.2.3中,我們介紹了另一種求解Delta的數(shù)值方法——弱有限元方法(WGM).該方法是最近由王軍平提出的,一種處理間斷問題和存在奇點(diǎn)問題的有效方法.弱有限元方法是傳統(tǒng)的有限元方法的一種延拓推廣,主要的想法就是把傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù),用一種弱定義的導(dǎo)數(shù)來替換,而且不要求原函數(shù)空間和導(dǎo)函數(shù)空間有任何連續(xù)性. 為保證弱導(dǎo)數(shù)算子定義的合理性,需要對逼近弱導(dǎo)函數(shù)空間的分片多項(xiàng)式次數(shù)r,以及逼近原函數(shù)空間的分片多項(xiàng)式次數(shù)j加以限制. 定理5在滿足限制條件r=j+1的情況下,離散的弱導(dǎo)數(shù)滿足(i)(?)dυh/(?)x=0,當(dāng)且僅當(dāng)在每個(gè)小區(qū)間[xn-1,xn]上,υ0=υb=C,C為一個(gè)常數(shù);(ii)假設(shè)Qh：Hm→Sh是一個(gè)L2投影算子,具體形式為,任意給定υ∈HnQhυ={Q0υ,Qbυ},在這里,Q0為區(qū)間(xn-1,xn)上的L2投影算子,Qbυ(xn-1)=υ(xn-1),Qbυ(xn)=υ(xn).則有(?)dQh(υ)/(?)x是(?)υ/(?)x在空間∑h中的L2投影. 在§3.2.3中,詳細(xì)介紹了求解Delta的弱有限元方法.通過§3.3.2中的數(shù)值實(shí)驗(yàn),可以看到,弱有限元方法能夠較精確的逼近Delta.在這一部分的最后,我們來給出希臘字母的逼近形式.若ωh表示ω的有限元(FEM)或弱有限元(WGM)逼近形式,則Rho,Vega和Delta的逼近解為 其中y=log(S/K). 本章的最后,我們通過幾個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了本章算法的有效性,并給出了期權(quán)定價(jià)問題的三維圖像. 4.在第四章中.主要探討了隨機(jī)波動率情況下的美式期權(quán)定價(jià)問題,并提出一種耦合求解最佳實(shí)施曲面和期權(quán)價(jià)格的方法.為了簡化模型,我們只考慮不支付紅利的情況,支付紅利的情況可以得到類似的結(jié)論.不支付紅利的情況,隨機(jī)波動率下美式看跌期權(quán)的定價(jià)模型為： 其中從拋物問題(7)的結(jié)構(gòu)我們可以看出,該問題的求解區(qū)域是一個(gè)三維區(qū)域,時(shí)間上是一維,空間上為二維.拋物問題(7)的左邊界是一個(gè)未知的曲面,即最佳實(shí)施曲面B(t,y),S軸和y軸正方向均是正無窮,那么在數(shù)值求解拋物問題(7)時(shí),我們會遇到以下幾個(gè)困難： (1)求解區(qū)域左端最佳實(shí)施曲面B(t,y)未知,求解區(qū)域不規(guī)則； (2)求解區(qū)域是一個(gè)無界區(qū)域,難以直接應(yīng)用數(shù)值算法； (3)給出合理的算法求出期權(quán)價(jià)格P(S,y,t)和最佳實(shí)施曲面B(t,y).對于第一個(gè)難點(diǎn),我們應(yīng)用front-fixing變換將左邊界化為x=0的平面；第二個(gè)困難可以應(yīng)用PML技巧處理,為了簡化求解過程,本文采用了直接截?cái)嗟姆椒?最后,我們將應(yīng)用有限元方法和Newton法耦合來解決第三個(gè)問題.在第四章中,我們通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)給出了期權(quán)價(jià)格P(S,y,t)和最佳實(shí)施曲面B(y,t)的近似結(jié)果,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本章算法能夠較好的擬合期權(quán)價(jià)格和最佳實(shí)施曲面.
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2014
【分類號】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

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1 王智宇;李景詩;朱本喜;宋海明;;求解CEV模型下美式看跌期權(quán)的有限差分法[J];吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版);2014年03期

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本文編號：1719239