本文關(guān)鍵詞：期權(quán)定價中隱含波動率的正則化方法研究

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【摘要】：波動率是金融經(jīng)濟中一個非常重要的風(fēng)險指標,是對資產(chǎn)收益不確定的度量,普遍應(yīng)用于衍生產(chǎn)品定價、投資組合、風(fēng)險管理及制定貨幣政策等各個領(lǐng)域.在經(jīng)典的Black-Scholes模型中波動率被假定為常數(shù),然而實證表明,由實際期權(quán)市場價格反推出的隱含波動率是時變的且呈現(xiàn)出波動“微笑”、“偏斜”和期限結(jié)構(gòu)等市場特征.隱含波動率是市場價格的真實映射,反映了投資者對市場的預(yù)期和判斷.在傳統(tǒng)的波動率預(yù)測模型中,隱含波動率包含了未來市場的信息,甚至可能是包含信息量最多的,比較適合中長期的波動率預(yù)測.隱含波動率的研究已經(jīng)成為金融工程中一個重要的課題.為了加快金融市場的國際化并且更好地與國際市場接軌,金融產(chǎn)品的創(chuàng)新勢必會成為我國市場發(fā)展的重要工具.金融創(chuàng)新的同時也擴大了風(fēng)險的功能,因此波動率作為風(fēng)險量化的工具,對金融監(jiān)管部門制定有效的規(guī)范制度具有明確的指導(dǎo)作用. 近年來,總變分正則化廣泛應(yīng)用于圖像復(fù)原、圖像重構(gòu)及其它反問題領(lǐng)域中,已經(jīng)成為求解不連續(xù)反問題的一類重要方法.本論文致力于研究期權(quán)定價反問題,在現(xiàn)有Tikhonov正則化模型的基礎(chǔ)上,提出了求解隱含波動率的非線性總變分正則化方法和伴隨方程,包括模型的推導(dǎo)、理論分析和數(shù)值算法等.針對波動率的跳躍性、隔夜和周末效應(yīng),能否將總變分正則化應(yīng)用到隱含波動率的求解模型中是一個值得思考的問題.本文所做的主要工作如下所述： 提出了確定單變量隱含波動率的總變分正則化方法.在Black-Scholes模型的理論框架下,通過加入總變分正則化項,提出了求解隱含波動率的最優(yōu)控制模型,并對該模型進行了嚴格的數(shù)學(xué)分析,包括解的必要性條件、存在性、穩(wěn)定性和收斂性.特別是通過測度變換證明了當?shù)狡谌粘浞中r,總變分正則化模型有局部唯一解.模型嚴謹?shù)睦碚摲治霰砻髁丝傋兎终齽t化方法求解隱含波動率的可行性. 提出了確定雙變量隱含波動率的總變分正則化方法.雙變量的隱含波動率模型更具一般性,也更能滿足市場的需求.利用變分法給出相應(yīng)的最優(yōu)性必要條件,分析了解的存在性、穩(wěn)定性和收斂性等.通過離散化歐拉-拉格朗日方程,進一步提出了求解模型的Gauss-Jacobi迭代算法.數(shù)值試驗表明,相比傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法,總變分正則化不僅能良好地保持波動率的非光滑性,而且誤差也更小. 提出了確定隱含波動率的總變分正則化TV-L1模型.基于L1擬合項的正則化模型廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)驅(qū)動的參數(shù)選擇和多尺度圖像分解等領(lǐng)域,本文結(jié)合L1擬合項和總變分正則項建立了TV-L1極小化總變分模型.對修正的Black-Scholes方程半離散化并引入伴隨變量,進一步推導(dǎo)出相應(yīng)的伴隨方程.伴隨方程提供了極小化程序所需梯度的精確值,進而避免了Vega值的近似計算.采用Crank-Nicolson有限差分法，，提出了求解隱含波動率的L-BFGS算法.數(shù)值試驗表明模型和算法的有效性. 本文彌補了目前在期權(quán)定價反問題中求解隱含波動率總變分正則化方法方面的空白,是現(xiàn)有模型和方法的進一步完善.本文建立了新的求解隱含波動率的總變分正則化模型,進行了嚴格的數(shù)學(xué)理論分析,并且提出了快速有效的數(shù)值算法.數(shù)值試驗表明總變分正則化方法良好地保持了隱含波動率的非光滑性.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2014
【分類號】：F830.91;F224

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前5條

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本文編號：1178479