本文關(guān)鍵詞：非線性期望理論及金融市場不確定性　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：本文主要研究了非線性期望理論及金融市場中的不確定性問題。文章共有四章,前兩章主要是理論性研究,第一章深入研究了非線性期望乘積空間理論,研究了非線性期望下乘積空間的正則性問題以及非線性期望下獨(dú)立增量過程的乘積空間問題,是對非線性期望理論的完善和補(bǔ)充。第二章研究了倒向隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制問題及資產(chǎn)定價(jià)問題。后兩章主要是應(yīng)用性研究,深入研究了金融市場中的不確定性及非線性期望在金融市場中的應(yīng)用。第三章介紹了非線性期望資產(chǎn)定價(jià)理論,并利用非線性期望理論改進(jìn)了目前國際上最通用的SPAN保證金系統(tǒng),改進(jìn)SPAN計(jì)算原理,得到了均值-方差不確定性下的SPAN保證金系統(tǒng),可以更為快捷、準(zhǔn)確、穩(wěn)健的度量風(fēng)險(xiǎn)。并用SP500指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。第四章深入探討了金融市場中的不確定性,說明了金融數(shù)據(jù)的分布不確定性和描述參數(shù)不確定性在金融市場中客觀存在。深入研究了均值不確定性和方差不確定性在金融市場中的具體表現(xiàn)、估計(jì)方法,并利用均值不確定性構(gòu)建了投資策略。各章節(jié)主要內(nèi)容如下:(一)非線性期望下的乘積空間本章研究非線性期望下的乘積空間理論,主要針對非線性(resp.次線性)期望下乘積空間的正則性及獨(dú)立增量過程的乘積空間問題進(jìn)行深入探討,完善了非線性期望乘積空間理論并彌補(bǔ)了之前理論中的不足。本章的結(jié)果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017).本章主要有以下兩部分內(nèi)容:1.非線性(resp.次線性)期望下乘積空間的正則性:正則性是概率論中很重要的概念,一般情況下,次線性期望空間并不滿足正則性,而G期望空間滿足正則性([2]),彭實(shí)戈院士在[10]中給出了乘積空間的定義,但是在定義中并未提及正則性,因此一個自然而然的問題就是,對于給定的正則次線性期望空間,其乘積空間是否依然滿足正則性。為解決這個問題,首先研究兩個正則次線性期望乘積空間的正則性,通過將經(jīng)典的有限乘積概率空間構(gòu)造推廣到次線性期望情形,可以得知兩個正則次線性期望空間的乘積空間仍保持正則性,并進(jìn)一步推廣到有限維的情形,得到如下結(jié)論:給定有限個正則次線性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i = 1,2,...n,則其乘積空間()也是正則次線性期望空間。再通過反證法,可將結(jié)論推廣到可列次線性期望空間。進(jìn)一步研究次線性期望下完備乘積空間是否保持正則性,這種情況下問題較為復(fù)雜,本文在完備可分的距離空間下,證明了概率表示族是弱緊的及隨機(jī)變量的逼近性質(zhì),最終得到了次線性期望下的完備乘積空間仍保持正則性,整體思路如下:給定正則次線性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i=1,2,...,n其乘積空間記為(),記()為()的完備化空間。則可以證明()也是正則次線性期望空間,)且存在()上的一族弱緊概率族Pi使得由此可給出有限個正則次線性期望空間的完備乘積空間問題的證明。基于有限個情形的結(jié)論和隨機(jī)變量的逼近性質(zhì),進(jìn)一步可得如下結(jié)論:給定一列正則次線性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1,其中(Ωi,ρi為完備可分距離空間,Hi=Cb.Lip(Ωi)。記Ω=,則(Ω,L'(Ω),E為正則次線性期望空間,且滿足Cb(Ω)(?)L'(Ω),其中(Ω,L'/(Ω),1)為(Ω,H,E)的完備化空間。2.非線性(resp.次線性)期望下獨(dú)立增量過程的乘積空間接下來研究非線性(resp.次線性)期望空間中獨(dú)立增量過程的乘積空間問題,即對于給定的兩個d-維獨(dú)立增量過程,是否存在一個非線性期望空間,及一個定義在空間上的2d-維的獨(dú)立增量過程,使得其前d-維與后d-維過程分別同分布于先前給定的兩個獨(dú)立增量過程。這是彭院士[10]中的乘積空間方法無法解決的。本文通過離散化的方法,利用胎緊的性質(zhì),提出一種全新的構(gòu)建思路,研究有限維、可列維和不可列維獨(dú)立增量過程的乘積空間問題。有限維獨(dú)立增量過程的乘積空間的主要定理如下:定理0.1.令(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是兩個分別定義在非線性(resp.次線性)空間(Ω1,H1,E1)和(Ω2,H2,E2)上的d-維獨(dú)立增量過程,滿足假設(shè)(A)。則存在定義在非線性(resp.次線性)空間(Ω,H,E)上的2d-維獨(dú)立增量過程(Mt,Nt)t≥0滿足:(?)進(jìn)一步,如果(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是兩個平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,則(Mt,Nt)t≥0也是一個平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。非線性情形與次線性情形相似,因此本文只討論次線性情形,非線性情形同理可證。進(jìn)一步可知,只需要證明t∈[0,1]的情形即可。在稠密的有限點(diǎn)集Dn={i2-n:0≤i ≤2n上構(gòu)造符合要求的次線性期望空間(Ω,Hn,En):如下定義Hn:記δn = 2-n,(?)如下定義En:Hn→R:Step 1.對于給定的φ∈Cb.Lip(R2d),滿足對i≤2n，φ(Xiδn-X(i-1)δn)=φ(Miδn-M(i-1)δn,Niδn-N(i-1)δn)∈Hn定義En[φ(Xiδn-X(i-1)δn)]=E1[ψ(Miδn-M(i-1)δn)],其中ψ(x)=E2[φ(x,Niδn-N(i-1)δn)],(?)x∈Rd Step 2.對給定的φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)∈Hn,φ∈Cb.Lip(R2n×2d),定義En[φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)]=φ0,其中φ0=En[φ1(Xδn)].引理0.1.按上述方法定義(Ω,Hn,En),那么(1)(Ω Hn,En)構(gòu)成一次線性期望空間;(2)對每個1≤i≤2n,Xiδn-X(i-1)δn獨(dú)立于(Xδn,...,X(i-1)δn-X(i-2)δn);(3)(?)(?)由此可知在稠密的有限點(diǎn)集Dn= {i2-n:0 ≤ i≤2n}上,(Ω,Hn,En)即為滿足定理0.1的次線性期望空間,故在有限點(diǎn)上結(jié)論成立。下面將其延拓到連續(xù)點(diǎn)上。易知對每個n ≥ 1,有Hn(?)Hn+1.令(?),易見(?)為H的—個子空間,使得對每一個φ∈Cb.Lip(Rm)滿足:若Y1,...,ym ∈(?),則有φ(Y1,...,Ym)∈(?)。下面,我們希望定義一個次線性期望E:(?)→R。然而,在Hn上En+1[·]≠En[·],這是因?yàn)樵诖尉�性期望下獨(dú)立性的順序是不可交換的。不過,通過下面的胎緊性引理,仍可以構(gòu)造E:引理0.2.對每一個固定的n ≥ 1,令Fkn,κ ≥ n,為(?)在Eκ下的分布.從而{Fkn:k≥ n}是胎緊的.用這一引理來構(gòu)造次線性期望E:(?)→ R.可得如下引理:引理0.3.設(shè)P = {i2-n:n≥1,0 ≤ i ≤ 2n}.那么存在一個次線性期望E:(?)-R滿足如下條件:(1)對每一列(?);(2)對每一列(?)且(?).通過以上引理,最終完成了定理0.1的證明。進(jìn)一步研究無窮個獨(dú)立增量過程的乘積空間問題。首先,利用相容性構(gòu)造非線性(resp.次線性)期望,結(jié)合對角線法則,將結(jié)論推廣到可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間中,主要定理如下:定理0.2.令(Mti)t≥0,i≥ 1是定義在非線性(resp.次線性)期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1上滿足假設(shè)的至多可列維獨(dú)立增量過程,則存在非線性(resp.次線性)期望空間(Ω,H,E)及定義在其上的可列維獨(dú)立增量過程(Mt1,Mt2,...,Mti,…)t≥0滿足:(?)進(jìn)一步,如果(Mti)t≥0,i ≥ 1是至多可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,則同理可得(Mt1,Mt2…,Mii,…)t≥0也是可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。進(jìn)一步推廣到不可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間問題,注意到對角線法則方法在不可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間問題上并不適用,因此無法利用之前的方法得到想用的結(jié)論。因此我們定義上獨(dú)立增量過程,并進(jìn)一步給出不可列維上獨(dú)立增量過程的定義:給定非線性(resp.次線性)期望空間(Ω,H,E),X,y分別是其上的m-維和n-維隨機(jī)向量,稱Y上獨(dú)立于X,若對任給的(?)φ∈Cb.Lip(Rm×n),都有給定非線性(resp.次線性)期望空間(Ω,H,E),(Xt)t≥0為此空間上的d-維隨機(jī)過程,若對(?),都有Xt+s-Xt上獨(dú)立于(Xt1,...,Xtm),則稱(X不)t≥0為上獨(dú)立增量過程。進(jìn)一步的,若對(?)t≥ 0還有(?),則稱(Xt)t≥0為平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。設(shè)(Mtλ)t≥0,λ ∈I是非線性(resp.次線性)期望空間(Ω,H,E)上的一族隨機(jī)過程,其中,I為不可列集。如果對(?)都有(Mtλ1,Mtλ2,…,Mtλn)t≥0..,是n-維上獨(dú)立增量過程,則稱(Mtλ)t≥,λ ∈ 為不可列上獨(dú)立增量過程。進(jìn)一步的,若對(?),n,都有(Mtλ1,Mtλ2,...,Mtλn...,)t≥0是n-維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程,則稱(Mtλ)t≥0 ∈ J為不可列平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。給出不可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間的主要定理:定理0.3.令(Mtλ)t≥0,λ∈I(其中I為不可列集)是一族定義在非線性(resp.次線性)空間(Ωλ,Hλ,Eλ)上的不可列個1-維獨(dú)立增量過程,滿足:(C1)存在次線性期望Eλ:Hλ →R分別控制Eλ,λ ∈I;(C2)對每個t ≥ 0,Mtλ的分布在Eλ下是胎緊的;對每個 t≥ 0,λ ∈I,有(?)則存在一個非線性(resp.次線性)期望空間(Ω,H,E),及定義在其上的不可列維上獨(dú)立增量過程(Mtλ,λ∈I)t≥0滿足:進(jìn)一步,如果(Atλ)t≥0,λ ∈I是1-維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,則(Mtλ)t≥0,λ ∈I是不可列維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。(二)BSDE隨機(jī)控制及不完備市場資產(chǎn)定價(jià)本章主要研究帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理問題及不完備市場定價(jià)問題。本章的結(jié)果主要出自:1)Gao Q,Yang S.Maximum principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal of control(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下兩部分內(nèi)容:1.帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理彭實(shí)戈院士([53],[29])第一次介紹了由倒向隨機(jī)微分方程或正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動的最優(yōu)控制問題,并得到了很多研究者的進(jìn)一步推廣,如Xu[57],Lim and Zhou[24],Shi and Wu[54]等。在[29]中,彭院士首次研究了如下正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題:其效用泛函為:事實(shí)上,上述效用泛函中的h(·)和γ(.)可能不僅僅依賴于終端條件(t=T)和起始條件(t = 0),通常情況下,還會依賴于全局時間條件(t ∈[0,T]).也就是說,效用泛函中h(·)和γ(.)不僅由起始和終端這兩個特殊時間點(diǎn)決定,還依賴于更一般的全局時間條件。在本文中,我們會研究帶有如下依賴于全局時間條件的廣義效用泛函的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)最大值原理,其中,注意到效用泛函(0.2)是上述廣義效用泛函(0.3)的一個特殊形式,也就是說,廣義效用泛函(0.3)考慮到了更一般的情況,是對經(jīng)典隨機(jī)控制問題的十分有意義的推廣,而在本文之前,帶有(0.3)形式廣義效用泛函的控制系統(tǒng)的最大值原理問題還未被認(rèn)真研究。利用Frechet導(dǎo)數(shù)的框架,可以構(gòu)建一系列需要逐步求解的伴隨方程,從而推導(dǎo)出相應(yīng)的最大值原理。最大的難點(diǎn)在于如何得到對應(yīng)的伴隨方程。本文利用Riesz表示定理與Frechet導(dǎo)數(shù)的框架相結(jié)合,使Frechet導(dǎo)數(shù)Dxh(x[0,引)和Dxγ(y[0,T])可以被相對應(yīng)的有限測度μ和β描述。將測度μ和β分解為連續(xù)部分和跳躍部分,可以構(gòu)建一系列的伴隨方程,并通過逐步解這些伴隨方程得到相對應(yīng)的最大值原理。并且為了更直觀的展示本文研究的帶有廣義效用泛函的隨機(jī)控制系統(tǒng)與經(jīng)典情況的不同,本章最后通過簡單的例子進(jìn)行直觀的展示。本章簡要過程如下:令U為R上的非空凸子集.記u = {u(·)∈M2(R)|u(t)∈U,a.e.,a.s.}。令u(·)是一個最優(yōu)控制,(x(·),y(·),z(·))為對應(yīng)的軌道,記= u(·)+ρu(·),0 ≤ ρ ≤ 1,u(·)+ w(·)∈ u,.因?yàn)閡是凸的,因此up∈u。引入變分方程,易知變分方程存在唯一解(∈(·),η(·),ζ(·)),記(xρ(·),yρ(·),zρ(·))為所對應(yīng)的軌道,并進(jìn)一步可證明其收斂性質(zhì)。進(jìn)而在C([0,r])中給出Frehet導(dǎo)數(shù)的概念,并在Frechet導(dǎo)數(shù)的框架下,對于h(x[0,T]和γ(y[0,T),利用Riesz表示定理,在[0,T]上分別對應(yīng)存在唯一有限 Borel 測度μ和 使得(?)η[0,T]∈C([0,T])因?yàn)棣毯挺率荹0,T]上的有限測度,至多存在可數(shù)的正測度。將其記作為了得到最大值原理,引入下列形式的伴隨方程,需要注意的是,在這種情況下,需要引入一系列伴隨方程:其中μ'(t)是μ(t）的導(dǎo)數(shù),li+是li的右極限,定義p(l1+)= 0,其中β'(t)是β(t)的導(dǎo)數(shù),si是si的左極限,定義q(s1)= 0.可證存在一組(p(·),k(·),q(·))是伴隨方程的解。又因?yàn)閡(·)是一個最優(yōu)控制,因此,可得如下變分不等式成立:如下定義漢密爾頓方程H:R×R×R×R×[0,r]-R:H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ kσ(x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相應(yīng)的可以利用漢密爾頓方程改寫伴隨方程:因此可以得到主要定理,定理0.4.假設(shè)條件(i)-(iii)成立,今u(·)是一個最優(yōu)控制并令(x(·),y(·),z(·))是相對應(yīng)的軌道,則有2.不完備市場資產(chǎn)組合定價(jià)當(dāng)市場完備時,每一個衍生品收益都可以被市場中的一個投資組合復(fù)制,其價(jià)格可以由完備市場無套利理論得出。而在不完備的市場中的定價(jià)問題較為復(fù)雜,本文運(yùn)用隨機(jī)控制的方式來研究最高價(jià)與最低價(jià),利用有限時間有限狀態(tài)過程下的廣義Girsanov變換對未定權(quán)益或期權(quán)定價(jià)。本文的研究是對[35]中研究的進(jìn)一步擴(kuò)展。任一概率測度被稱為一個P-鞅測度,如果在FT上等價(jià)于P并且其折現(xiàn)價(jià)格過程為鞅。我們將所有的P-鞅測度記作P。需要注意的是,在完備市場中,P = {Q},其折現(xiàn)過程唯一,存在唯一的自融資策略,定價(jià)可以通過無套利原則得出,衍生產(chǎn)品價(jià)格可以被基礎(chǔ)產(chǎn)品的投資組合復(fù)制。而在不完備市場中,存在多個P-鞅測度,因此并不存在唯一的自融資策略,定價(jià)也難以通過無套利推導(dǎo)得出,市場存在多種報(bào)價(jià)(賣方報(bào)價(jià),買方報(bào)價(jià)),需要關(guān)注的是市場的最大價(jià)格和最小價(jià)格。在完備市場中,對于給定的未定權(quán)益U,存在y≥0和投資組合策略ω滿足如下方程其中y是t = 0的無套利價(jià)格。記M(t)=θ(t)+ M(t),則在不完備市場中U存在多種價(jià)格,t = 0,U的最小價(jià)格(下價(jià)格)為infP∈PEP(Ud),U的最大價(jià)格(上價(jià)格)為 suP∈PEP(Ud).利用最優(yōu)控制方法我們可以對最小最大價(jià)格進(jìn)行動態(tài)研究。U在時刻t的最大可能價(jià)格為J(t)=esssupλ∈(?)EPλ[Ud|Ft],其中Pλ表示所有滿足如下形式的關(guān)于P的Girsanov變換的概率測度:其中,其具有以下性質(zhì):定義過程f(t):f(t)=A(t)-j(t),則f(t)是一個增過程,可得特別的,t=T時,有U在時刻的最小可能價(jià)格為K(t)= essin fv(?)Epv)[Ud|Ft],類似最大價(jià)格的推導(dǎo)可知,存在一個投資組合過程φ(t)和一個右連續(xù)減過程g(t,g(0)=0滿足(三)非線性期望下的SPAN保證金本章研究非線性期望理論在保證金計(jì)算中的應(yīng)用。本部分結(jié)果出自:高強(qiáng),楊淑振等.基于市場復(fù)雜性的新型保證金計(jì)算工具,第四屆全國金融期貨與期權(quán)研究大賽獲獎?wù)撐?全國一等獎),1-46,2014.首先介紹了保證金制度和國際主流的保證金計(jì)算系統(tǒng),并對國際上最成熟通用的保證金管理系統(tǒng)SPAN進(jìn)行了深入分析,介紹了 SPAN保證金的計(jì)算原理:其最核心的價(jià)格偵測風(fēng)險(xiǎn)模塊基于情景模擬法,預(yù)估未來標(biāo)的價(jià)格和波動率的變化,將未來市場劃分為16種可能情形,分別計(jì)算16種情形中的可能損失,取其中的最大值作為最大預(yù)期損失,以此制定相應(yīng)的保證金標(biāo)準(zhǔn)。此外,SPAN保證金還包括跨月價(jià)差風(fēng)險(xiǎn)、交割月風(fēng)險(xiǎn)值、商品間價(jià)差折抵、空頭期權(quán)最低風(fēng)險(xiǎn)值等。分析SPAN保證金的優(yōu)缺點(diǎn),指出其只計(jì)算了 16種情形,無法涵蓋未來市場的多種可能性,并且理論基礎(chǔ)是Black-Scholes公式,其假設(shè)波動率是一個常數(shù),因此不能估計(jì)波動率不確定下的風(fēng)險(xiǎn)。進(jìn)一步分析了國際上其他SPAN改進(jìn)系統(tǒng)的改進(jìn)原理并利用SP500股指期權(quán)數(shù)據(jù)對標(biāo)準(zhǔn)SPAN系統(tǒng)(SPAN16)和改進(jìn)SPAN系統(tǒng)(SPAN-44和SPAN-93)進(jìn)行了實(shí)證分析比較,發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的SPAN保證金系統(tǒng)劃分了更多種可能情形,在一定程度上更為準(zhǔn)確的度量了風(fēng)險(xiǎn),但是同時也加大了計(jì)算量,并且無法解決真實(shí)市場中波動率不確定性帶來的風(fēng)險(xiǎn)。接下來介紹非線性期望理論中的三個重要分布:最大分布,G-正態(tài)分布和G-分布,以及對應(yīng)的三個重要的隨機(jī)過程:G-布朗運(yùn)動,有界變差G-布朗運(yùn)動和廣義G-布朗運(yùn)動,其增量過程分別服從之前的三種分布,例如G-布朗運(yùn)動的增量過程服從G-正態(tài)分布。其與金融市場不確定性有著直接的對應(yīng)關(guān)系,G-正態(tài)分布、G-布朗運(yùn)動與方差不確定性(波動率不確定性)直接相關(guān),G-正態(tài)分布隨機(jī)變量可表示為(?),Λ描述了X的方差不確定性,在一維情形下,(?),其中,(?),則方差(波動率)不確定性區(qū)間為[σ2,σ2]。最大分布、有界變差G-布朗運(yùn)動與均值(收益率)不確定性直接相關(guān),最大分布隨機(jī)變量可記為(?)Θ描述了Y的均值不確定性程度,在一維情形下,(?),其中,μ=E[X],μ=-E[-X],均值不確定性區(qū)間為[μ,μ]。上面的兩個分布可以非平凡地組合為一個新的分布,即G-分布,其對應(yīng)廣義G-布朗運(yùn)動,與均值-方差不確定性(收益率-波動率不確定性)直接相關(guān)。由此,可以給出如下形式的幾何G-布朗運(yùn)動:dXs =uXsdηs + σXsdBs,Xt = x,其中ηt,≥ 0服從最大分布,Bt,t ≥ 0服從G-正態(tài)分布,且其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)為u(t,Xt):=E[-Φ(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解探討其計(jì)算原理,考慮有界邊值問題,通過標(biāo)準(zhǔn)的離散格式離散化上述方程給出上述方程的數(shù)值解法,并可以證明牛頓迭代的收斂性及全隱格式的收斂性。利用非線性期望理論改進(jìn)SPAN保證金系統(tǒng),給出波動率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:假設(shè)標(biāo)的物(股票或者期貨)Xt滿足G-期望下的幾何布朗運(yùn)動:其中Bt,t≥ 0服從G-正態(tài)分布,且E[σ2B1]=σ2,E[-σ2B1]=-σ2.其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解其中σ2=((σ+Δσ)2,σ2=(σ2=Δσ)2。則針對SPAN對于標(biāo)的價(jià)格的可能變化情形:給出9種可能的變化,其中,波動率的可能變動范圍在區(qū)間[σt-Δσ,σt+Δσ]內(nèi)連續(xù)取值。取9種情況的最大值作為最大預(yù)期風(fēng)險(xiǎn),將加入波動率不確定性的SPAN保證金稱為G-SPAN-9。G-SPAN-9下收取保證金為:其中Pt是t時期的期權(quán)價(jià)格。同理,可以給出均值不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法和均值-波動率不確定性下的SPAN保證金。由于篇幅原因,這里只給出均值-波動率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:假設(shè)股票價(jià)格滿足下面的隨機(jī)微分方程dXs = uXsdηs + σXsdBs,X= x,其中ηt滿足最大分布,Bt滿足G-正態(tài)分布,且(?)(?)其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn):u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解(?)(?)其中(?)(?)因此,同時引入均值不確定性和波動率不確定性,只需計(jì)算一種情形,即可得到全面涵蓋標(biāo)的價(jià)格和波動率連續(xù)變化的風(fēng)險(xiǎn)值:價(jià)格變動 波動率變動 計(jì)算比例(?)其中 Δx = PSR,Δσ = VSR。此時G-期望下收取保證金為:ρt,T(Φ(XT))=Pt+E[-Φ(XT)]其中Pt是t時期的期權(quán)價(jià)格。只需進(jìn)行一次運(yùn)算,即可得到涵蓋更全面風(fēng)險(xiǎn)的運(yùn)算結(jié)果。利用SP500期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,可知,利用非線性期望理論改進(jìn)的G-SPAN保證金不僅運(yùn)算次數(shù)更少,還更全面的考慮了價(jià)格和波動率不確定導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn),是一種準(zhǔn)確快捷穩(wěn)健的保證金計(jì)算方式。(四)金融市場的不確定性金融市場中的不確定性主要體現(xiàn)有:金融數(shù)據(jù)分布的不確定性;金融數(shù)據(jù)特征描述參數(shù)的不確定性;金融數(shù)據(jù)的模型不確定性。首先驗(yàn)證金融數(shù)據(jù)分布的不確定性,正態(tài)分布是金融市場中最重要的分布之一,很多金融研究都以正態(tài)分布假設(shè)為基石。金融數(shù)據(jù)分析中,常假設(shè)某個時間段內(nèi)的金融數(shù)據(jù)服從同一分布,比如最常見的,假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布,現(xiàn)在我們選取最能代表金融市場數(shù)據(jù)特征的滬深300股指和相對應(yīng)的滬深300股指期貨數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。經(jīng)過實(shí)際分析,按一天作為窗口長度進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn),服從正態(tài)性假設(shè)的天數(shù)較少,股指只有不到20%,股指期貨只有不到10%。若按一周為窗口長度進(jìn)行驗(yàn)證,則服從正態(tài)分布的周數(shù)少于1%,由此可知,正態(tài)分布假設(shè)在金融市場中存在較大問題。實(shí)際上,不僅是正態(tài)分布假設(shè)難以成立,在實(shí)際的金融市場中,很難找出一種或者幾種不同的分布,來準(zhǔn)確描述經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)的分布。不同金融數(shù)據(jù)展現(xiàn)出不同的數(shù)據(jù)特征,即便是同一金融數(shù)據(jù)的背后,也可能來源于不同的經(jīng)濟(jì)、金融、社會原理的共同作用。因此,分布不確定性在金融中客觀存在。除了分布的不確定性,描述數(shù)據(jù)特征的重要參數(shù),比如均值(一階矩)和方差(波動率、二階矩),也存在不確定性,收益率和波動率亦存在相應(yīng)的不確定性。分析滬深300股指和滬深300股指期貨日收益率的均值和方差,可知其均值方差均存在不確定性,股指期貨的變動幅度相較股指的變化更為劇烈,具有更大的不確定性。均值、方差的不確定性亦客觀存在,一段時間內(nèi),均值和方差在一個范圍內(nèi)變化,當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時,可以認(rèn)為均值、方差在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動。由此可知,金融數(shù)據(jù)存在分布不確定性和特征參數(shù)的不確定性,同一時間段內(nèi),同一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象所產(chǎn)生的數(shù)據(jù),并不來自于同一分布,而是來自于不同分布,或者說,來自于一個不確定的分布族;其特征參數(shù),比如均值和方差,也并不是確定的數(shù)值,而是在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動。對均值不確定性進(jìn)行深入研究,計(jì)算均值不確定性的變動區(qū)間。針對金融市場中重要的均值回歸現(xiàn)象,研究均值不確定性下的均值回歸模型。即均值并不是確定的定值,而是在一個區(qū)間內(nèi)變動。因此,真正的均值回歸,并不是圍繞一條均線進(jìn)行回歸,而是圍繞均值,在一個均值不確定性區(qū)間進(jìn)行回歸。這個均值不確定性區(qū)間,可以看作是合理價(jià)格區(qū)間,價(jià)格在這個區(qū)間內(nèi)波動時,被認(rèn)為是合理的,當(dāng)價(jià)格偏離上界或下界時,價(jià)格會有向合理價(jià)格區(qū)間回歸的趨勢。設(shè)資產(chǎn)價(jià)格為X,其均值為μ,均值不確定性區(qū)間為[μ,μ],在經(jīng)典均值回歸模型中,當(dāng)Xμ或Xμ時,價(jià)格會向μ回歸。然而此時只有μ一個參數(shù),無法確定具體的回歸折點(diǎn)。而在均值不確定性框架下,價(jià)格圍繞均值μ變動,在區(qū)間[μ,μ]中震蕩都被認(rèn)為未偏離均值,是合理的。當(dāng)Xμ或Xμ時,認(rèn)為價(jià)[μ,μ]偏離了均值,會向均值回歸。由此構(gòu)建投資策略,選用滬深300股指期貨的次月和當(dāng)月合約進(jìn)行跨期套利。投資策略為:價(jià)差超過μ,賣近買遠(yuǎn),空頭開倉,價(jià)差回歸到μ時平倉。當(dāng)價(jià)格低于μ時,買近賣遠(yuǎn),多頭開倉,價(jià)差回歸均值μ時平倉。此外,每筆損失超過止損線時提前平倉,每日結(jié)束時強(qiáng)行平倉。用2015年1月1日-2016年12月31日數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,用五個指標(biāo)對策略進(jìn)行評價(jià):累計(jì)收益率、年化收益率、波動率、最大回撤及夏普率。深入研究金融市場實(shí)際情況,充分考慮金融市場流動性以及政策性限倉問題、交易手續(xù)費(fèi)問題、交易延遲問題、止損問題和保證金問題。在比較接近實(shí)際金融市場的參數(shù)設(shè)置下(手續(xù)費(fèi)為萬分之1,每筆交易限制10手,每筆止損線10%),策略的累計(jì)收益為4倍左右,最大回撤僅為4%左右,夏普率接近6,表現(xiàn)亦十分優(yōu)異。進(jìn)一步分析我國滬深300股指期貨金融市場的主要發(fā)展階段,針對不同階段的市場情況分析策略的可行性、適用性和穩(wěn)定性,可知,該策略在大多數(shù)市場階段均有良好表現(xiàn)。實(shí)證回測結(jié)果明顯優(yōu)于常見的其他均值回歸策略。綜上所述,均值不確定性下的均值回歸策略在理論上更為合理,在實(shí)際模擬中收益較高,回撤較低,夏普率較高,策略表現(xiàn)優(yōu)異,且在不同市場階段均有不錯的適應(yīng)性。并且為投資者提供了更多種投資策略供其選擇,是一種較為合理、穩(wěn)定、靈活的優(yōu)秀交易策略。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：F724.5

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號：1391371