一、收入與債務(wù)的問題
　　目前，歐債美債危機(jī)使大家對經(jīng)濟(jì)的發(fā)展前景十分擔(dān)憂。一個國家債務(wù)過多，其所需支付的利息超過了該國的國民收入時，該國會出現(xiàn)破產(chǎn)。那么持續(xù)財政赤字的國家會出現(xiàn)破產(chǎn)這個現(xiàn)象嗎？國民收入與國家債務(wù)問題能否轉(zhuǎn)化為微分方程去進(jìn)行分析呢？當(dāng)然可以。利用微分方程可以很好地體現(xiàn)一個國家的國民收入與其債務(wù)問題。
　　令D（t）表示國債在時刻t的美元價值，Y（t）表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標(biāo)價，從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字（定義為一個等于支出減去收入的正值）為任何時點國民收入的常數(shù)比例。由于債務(wù)變化恰好是赤字，則有
　　D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介于0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當(dāng)于國民收入的2%~8%）
　　同時進(jìn)一步假定，國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程：
　　Y=gY g為正常數(shù)（表示國民收入的增長率）。
　　上述兩個方程一起構(gòu)成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關(guān)系，我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成積分可得
　　Y（t）=C1egt
　　我們假定利息率為常數(shù)r，計算利息支付（rD（t））和國民收入（Y（t））的比值：
　　定義z（t）=rD（t）/Y（t）為償付國債利息所吸收的國民收入份額，化簡可得z（t）=re-gt+r（1-e-gt）
　　z（t）即利息支付與國民收入的比值，隨著t→∞收斂到一個有限值。為了驗明這一點，對式子右邊的兩項取t→∞時的極限。注意e-gt隨著t→∞而趨于零。則有：國債的利息支付收斂到國民收入的一個固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直實行不斷增長的國民收入的固定比例的預(yù)算赤字，最終的債務(wù)負(fù)擔(dān)也會收斂到國民收入的一個固定份額。這會是一個好消息，因為這意味著經(jīng)濟(jì)總是能夠滿足債務(wù)的償付，破產(chǎn)永遠(yuǎn)都不會發(fā)生。另一方面，如果rb/g＞1，那么這一過程就會收斂到一個利息支付超過國民收入的有限值，筆耕文化推薦期刊，此時，如果預(yù)算赤字持續(xù)下去，那么經(jīng)濟(jì)將注定會破產(chǎn)。
　　二、邏輯斯諦方程
　　利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經(jīng)濟(jì)問題，例如新產(chǎn)品在市場中的發(fā)展。根據(jù)邏輯斯諦方程可以建立一個新產(chǎn)品的推廣模型。例如：某種新產(chǎn)品問世，t時刻的銷量為f（t），由于產(chǎn)品屬于新型產(chǎn)品，沒有可替代的產(chǎn)品，因此t時刻產(chǎn)品銷售量的增長率與f（x）成正比。同時，產(chǎn)品的銷售量存在著一定的市場容量N，統(tǒng)計表明，與尚未購買的此新產(chǎn)品的潛在客戶數(shù)量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 于是有通解：
　　=kx（N-x）
　　其中k為比例系數(shù)，分離變量積分， 可以解得x（t）=
　　由=,=
　　當(dāng)x（t*）0,即銷量x（t）單調(diào)增加。 當(dāng)x（t*）=時，=0;當(dāng)x（t*）>時， <0;當(dāng)x（t*）<時，>0，即當(dāng)銷售量大于需求量的一半時，產(chǎn)品最暢銷。當(dāng)銷售不足一半時，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達(dá)到一半時，銷售速度則不斷減少。
　　許多產(chǎn)品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認(rèn)為，當(dāng)產(chǎn)品推出的初期應(yīng)小批量生產(chǎn)；當(dāng)產(chǎn)品用戶在20％－80％之間時，產(chǎn)品應(yīng)該大批量的生產(chǎn)；但當(dāng)產(chǎn)品的用戶超過80％時，企業(yè)應(yīng)該研發(fā)新的產(chǎn)品。

 

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