發(fā)布時間：2023-12-30 22:09

    從實際出發(fā),保險公司渴望達到一種最優(yōu)狀態(tài),即風險(破產概率)最小、收益(分紅)最大.基于保險業(yè)的風險管理應運而生了保險數(shù)學,其中最具理論性的重要組成部分是風險理論.保險公司所關心的破產概率、破產赤字及分紅等精算量成為風險理論所研究的主要內容.隨機過程、隨機分析、鞅的理論和方法在刻畫這些精算量方面取得了豐碩的成果.從收益角度看,分紅量和財富效用等的最大化是保險公司所關心的,對于這些量的研究則屬于金融保險中的隨機最優(yōu)控制問題.二十世紀九十年代, As-mussen等(1997)[1]和Browne(1995)[2]運用隨機控制理論和方法通過Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程分別得到了擴散模型下的最優(yōu)投資和最優(yōu)分紅策略,使得此類問題的研究取得了突破性進展.此后,眾多學者從不同角度針對最優(yōu)問題的研究得到了很好的結果. 就研究的風險模型而言,連續(xù)時間風險模型是大多數(shù)學者所關注的.其主要分為兩類:一類是擴散模型,另一類是復合泊松模型.關于這兩類風險模型,最基本的就是帶漂移的布朗運動和古典復合泊松過程,由于它們都具有平穩(wěn)獨立增量性的特點,很多問題容易解決,所以人們喜歡用它們來刻畫保險公司的盈余過程.其中,對于帶漂移布朗運動風險模型的研究相對完善,而復合泊松模型下的最優(yōu)分紅問題一直以來都是一個難點.主要原因是在復合泊松情境下所對應的最優(yōu)方程不再有邊界條件并且有可能不再有連續(xù)可微的解. Gerber和Shiu(2006b)[3]等一批學者也研究了各種修改后的復合泊松模型,這類模型主要就兩次相鄰索賠之間的樣本軌道進行了不同形式的刻畫.對此,2009年Jun Cai[4]提出逐段決定復合泊松風險模型的概念.相對于古典復合泊松模型,此模型的保費收入率是依賴于盈余過程的,這使得其更加符合實際.其一,從保險公司角度看,如果盈余水平足夠高,那么保險公司就會降低保費以增強同業(yè)間的競爭力,如果盈余水平很低,保險公司就會增加保費以規(guī)避資金不足的風險;其二,從金融數(shù)學的角度看,逐段決定復合泊松風險模型囊括了目前流行的多種類型的風險模型,例如古典風險模型、常利率風險模型、多重閾值分紅策略風險模型、存息利率風險模型、對偶模型等.現(xiàn)在,針對逐段決定復合泊松風險模型的眾多特殊情形均有不同程度的討論,其主要成果集中于對Gerber-Shiu函數(shù)的研究,如Lin和Pavlova(2006)[5]、Lin和Sendova(2008)[6]、Cai和Dickson(2002)[7]、Cai, Feng和Willmot(2009)[8].而對于逐段決定復合泊松風險模型本身及其一般的最優(yōu)控制問題的討論卻很鮮見. 基于以上情況,本文致力于對逐段決定復合泊松風險模型的幾種最優(yōu)控制問題進行研究.下面就文中各章節(jié)內容進行詳細介紹. 第一章針對本文所需的基本理論和方法進行了闡述.這些內容主要來自Schmidli(2008)[9]和Davis(1993)[10]. 第二章討論逐段決定復合泊松風險模型的受限分紅支付問題. 周知,公司將盈余的一部分分發(fā)給股東就是分紅.從某種意義上來講,最大化的分紅總量是公司收益的一種標志.為了使得分紅總量達到最大,公司應該采取什么策略進行分紅是金融和保險領域內的熱點話題.受限分紅問題是假定分紅過程中分紅率不能超出某個上限限制的情況下,尋找最優(yōu)的分紅策略使得保險公司破產前分紅總量達到最大. Asmussen和Taksar(1997)[1]及Jeanblanc-Picque′和Shiryaev(1995)[11]最初研究了布朗運動模型下的受限分紅問題,結果證明閾值策略(threshold strategy)為最優(yōu)分紅策略, Gerber和Shiu(2006a)[12]給出了一些相應的計算.在經(jīng)典風險模型下, Gerber和Shiu(2006b)[3]討論了類似的問題,其結果表明索賠額服從指數(shù)分布時閾值策略(thresh-old strategy)為最優(yōu).當索賠額分布為一般情形時, Schmidli(2008)[9]證明最優(yōu)策略是多重閾值策略(multi-threshold strategy). 在以上所研究的受限分紅問題中,分紅率上限均為某個常數(shù),這與實際情況是存在一定差距的.本文所討論的逐段決定復合泊松模型,由于保費收入率依賴于盈余過程,故而分紅率受限于一個局部利普希茲連續(xù)函數(shù),它同樣依賴于盈余過程,相應的最優(yōu)策略是一個廣義多重閾值策略.為了保證HJB方程的一個解為值函數(shù),我們刻畫了相應值函數(shù)的特性.最后,給出了線性保費收入率及指數(shù)索賠額分布情形的一個數(shù)值解法. 第三章討論逐段決定復合泊松風險模型的非受限分紅支付問題. 相對受限分紅而言,非受限分紅問題中分紅率不再有上限控制,相應的最優(yōu)策略屬于奇異控制類型.文中為了確定值函數(shù)及最優(yōu)策略,首先對值函數(shù)的特性進行了刻畫.在此基礎上通過變分方法建立所需的HJB方程,并且討論證明得到最優(yōu)策略.在最優(yōu)策略下,本文分別證明了值函數(shù)是HJB方程的最小解, HJB方程的解在滿足一定條件時即為所刻畫的值函數(shù). 第四章討論逐段決定復合泊松風險模型的脈沖控制問題. 此問題中的優(yōu)化目標為最大化分紅支付效用的累積折現(xiàn)值,其效用函數(shù)為()=1(),∈(0,1].為了使得分析更加貼近實際情況,當進行分紅時要求產生一定的交易費用,其中包含固定交易費用和稅費.這些費用的產生使得交易不再具有連續(xù)性,因此在考慮分紅量的同時還要考慮分紅時間的選擇,這從根本上影響著最優(yōu)分紅策略的形式,并歸結為脈沖控制問題.相比之下,這類問題的分析難度加大.基于此種情況,這類最優(yōu)分紅問題在風險理論中討論的并不多,尤其是針對復合泊松模型的分析. 相關最優(yōu)分紅問題, Paulsen(2007)[13]、Jeanblanc-Picque′和Shiryaev(1995)[11]以及Cadenillas等(2007)[14]分別就擴散模型從不同角度進行了討論;就經(jīng)典風險模型而言,Thonhauser和Albrecher(2011)[15]研究了和本文相同的目標值函數(shù), Bai和Guo(2010)[16]得到了其一種特殊情況下的最優(yōu)值函數(shù)的解析解及相應的最優(yōu)分紅策略. 本章討論逐段決定復合泊松風險模型下引入分紅支付所涉及的固定及比例費用情況,得出其最優(yōu)值函數(shù)為一組擬變分不等式(QVI)的最小解,等價地為沿軌道絕對連續(xù)函數(shù)域中首跳算子的最小固定點.并且驗證了QVI控制為最優(yōu)策略,相應的值函數(shù)和干涉算子是沿軌道局部利普希茲連續(xù)的.其中,第一部分討論了最優(yōu)停止問題,第二部分得出脈沖控制問題的主要結果,第三部分給出了本章主要結果的證明過程及一些輔助性論證內容. 第五章給出了第四章中所涉及問題特殊情況下的數(shù)值解法及部分算例. 基于上一章的論證結果,本章內容著重討論了它的一個特殊情形.當=1時,假設索賠額服從指數(shù)分布,通過討論相應的擬變分不等式(QVI),我們給出了其最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)策略(如果存在)的數(shù)值求法.依賴于模型參數(shù)及交易費用,可能存在三種不同情形:(1)當盈余達到某一數(shù)值ˉ時,支付分紅*后盈余為ˉ*,盈余過程繼續(xù)直至破產;(2)當盈余達到某一數(shù)值ˉ時,超出部分全部支付分紅,盈余過程繼續(xù)直至破產;(3)如果最優(yōu)策略不存在,值函數(shù)通過遞增邊界近似得到.最后,給出保費收入率函數(shù)分別為常數(shù)和線性函數(shù)的兩個算例.




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