【摘要】： 隨著當(dāng)今金融市場(chǎng)的快速發(fā)展,風(fēng)險(xiǎn)控制問題已經(jīng)引起人們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注.在剛剛過去的2008年,金融危機(jī)席卷全球.一場(chǎng)始于美國銀行業(yè)的金融危機(jī)給世界許多國家的經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)帶來極大的沖擊.一個(gè)引人注目的問題是:我們應(yīng)該怎樣度量金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)?當(dāng)前金融風(fēng)險(xiǎn)分析領(lǐng)域中著名的風(fēng)險(xiǎn)度量有一致性風(fēng)險(xiǎn)度量(參見Artzner et al.[2,3])和凸風(fēng)險(xiǎn)度量(參見F(?)llmer and Schied[37,38,39]及Frittelli and Rosazza Gianin[40,41]).在1997年,彭實(shí)戈[69]通過倒向隨機(jī)微分方程引入了g-期望的概念.研究發(fā)現(xiàn)g-期望能夠構(gòu)造一致性風(fēng)險(xiǎn)度量和凸風(fēng)險(xiǎn)度量(參見[84]).江龍[51]進(jìn)一步給出了g-期望構(gòu)造的風(fēng)險(xiǎn)度量ρ~g是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量或者凸風(fēng)險(xiǎn)度量的充分必要條件.彭實(shí)戈[74]在2006年又引入了一種新的非線性期望-G-期望.G-期望是由生成元函數(shù)為G的非線性拋物型偏微分方程的解定義的.與g-期望框架相比,由于G-期望不需要構(gòu)建在一個(gè)給定的概率空間上,所以G-期望理論更加深刻一些.由G-期望構(gòu)造的風(fēng)險(xiǎn)度量是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量. 由于g-期望和G-期望在金融中有重要應(yīng)用,關(guān)于g-期望和G-期望理論的工作不斷涌現(xiàn).在過去的近十年中,g-期望理論受到眾多數(shù)學(xué)家和金融學(xué)家的廣泛的關(guān)注,不管在基礎(chǔ)理論還是在應(yīng)用方面,都產(chǎn)生了許多優(yōu)秀的工作,例如,[10],[13],[14],[15],[16],[17],[36],[44],[48],[49],[51],[70]和[87].G-期望是一個(gè)較新的理論.自從G-期望的概念被提出以來,這個(gè)有趣的理論便迅速發(fā)展起來.彭實(shí)戈獲得了在G-期望框架下的大數(shù)定律和中心極限定理(參見[76]和[77]).G-期望的其他一些性質(zhì)可以參見Deniset al.[28]和彭實(shí)戈[75,78]. 本文主要研究了非線性期望的一些基本問題和它們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)度量和非線性定價(jià)理論中的應(yīng)用,共分為四章,以下是本文的結(jié)構(gòu)和得到的主要結(jié)論. 一、第一章主要研究關(guān)于g-鞅的基本不等式,包括:兩種形式g-鞅的極大不等式,g-鞅的Kolmogorov不等式和Doob型g-鞅不等式. 對(duì)如下形式的倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)如果BSDE的生成元g滿足(H1):Lipschitz條件與(H2):平方可積條件,則BSDE(0.0.1)存在唯一的一對(duì)平方可積的適應(yīng)解(y_t,z_t)_(t∈[0,T]).如果g還滿足(H3):g(t,y,0)≡0,那么將BSDE(0.0.1)的解y_t記為ε_(tái)g[ξ|F_t],并稱之為ξ的條件g-期望;將y_0記為ε_(tái)g[ξ],并稱之為ξ的g-期望.通過一個(gè)非線性期望可以定義出一個(gè)非可加概率:P_g(A) =ε_(tái)g[I_A],其中I_A是集合A的示性函數(shù). 首先,我們介紹如下兩種形式g-鞅的極大不等式. 定理1.3.2設(shè)方程g滿足(H1),(H3)和(H4):(?),并且X=(X_t)_(0≤t≤T)是一個(gè)右連續(xù)g-上鞅.那么對(duì)正整數(shù)λ 0,下式成立 設(shè)μ是任意一個(gè)給定的非負(fù)常數(shù),當(dāng)g(t,y,z) =-μ|z|時(shí),我們將ε_(tái)g[·]記為ε~(-μ)[·];當(dāng)g(t,y,z) =μ|z|時(shí),將ε_(tái)g[·]記為ε~μ[·]. 定理1.3.5設(shè)方程g滿足(H1)和(H3).X=(X_t)_(0≤t≤T)是一個(gè)右連續(xù)g-上鞅,并且滿足(?).則對(duì)λ 0,我們得到 定理1.3.2中的不等式比定理1.3.5中的不等式更精確.然而,定理1.3.5中極大不等式的適用范圍更廣. 接下來,我們介紹g-鞅的Kolmogorov不等式和Doob型g-鞅不等式. 定理1.4.3(g-鞅的Kolmogorov不等式)假設(shè)函數(shù)g滿足(H1)與(H3).另外假設(shè)g不依賴于y并且g關(guān)于z是超齊次的,即對(duì)任意λ∈R,z∈R~n,都有g(shù)(t,λz)≥λg(t,z).如果X =(X_t)_(0≤t≤T)是一個(gè)右連續(xù)g-鞅,并且滿足(?).那么,對(duì)任意λ0,下式成立 定理1.5.2(Doob型g-鞅不等式)假設(shè)函數(shù)g滿足(H1),(H3)和(H4),并且不依賴于y.對(duì)任意(t,z,v)∈[0,T]×R~n×R~+,g滿足g(t,λz)≥λg(t,z).如果X =(X_t)_(0≤t≤T)是一個(gè)右連續(xù)非負(fù)g-下鞅.則對(duì)任意整數(shù)λ0,下式成立 二、第二章深入系統(tǒng)的研究了基于G-期望的Jensen不等式的問題,得到了Jensen不等式成立的充分必要條件,并且給出了基于G-期望的Jensen不等式在G-鞅理論中的應(yīng)用. 首先簡(jiǎn)單介紹一下G期望的框架.Ω= C_0(R~+)是由零初值連續(xù)軌道(ω_t)_(t∈R~+)構(gòu)成的空間.H是定義在Ω上的函數(shù)構(gòu)成的向量格.E[·] : H→R是一個(gè)次線性期望.則三元組(Ω, H, E)稱為次線性期望空間.下面我們介紹一下標(biāo)準(zhǔn)空間.對(duì)任意ω∈Ω及t≥0,記B_t(ω)=ω_t.對(duì)固定的T≥0,我們考慮如下隨機(jī)變量空間。其中C_(l.Lip)(R~n)代表所有滿足|φ(x)-φ(y)|≤C(1 + |x|~m +|y|~m)|x - y|, (?)x, y∈R~n,C0,m∈N的函數(shù)φ組成的空間.對(duì)t≤T,顯然有(?)定義(?). 給定生成元函數(shù)G(α) = (?)(α~+-σ_0~2α~-),α∈R,σ_0∈(0,1].如果對(duì)所有的φ∈C_(l.Lip)(R),次線性期望空間(Ω, H, E)上的隨機(jī)變量ξ能夠使是如下拋物型偏微分方程的唯一解,則稱ξ服從G-正態(tài)分布.對(duì)任意0≤t_1,..., t_m ∞和φ∈C_(l.Lip)(R~m),如果次線性期望E[·]滿足其中(?),則這個(gè)次線性期望E[·]稱為定義在L_(ip)(F)上的G-期望. 標(biāo)準(zhǔn)過程(B_T)_(t≥0)稱作G-期望下的G-布朗運(yùn)動(dòng).在范數(shù)E[|·|]下,把空間L_(ip)(F_T)(L_(ip)(F))完備化可得到L_G~1(F_T)(L_G~1(F)).次線性期望E[·]可以唯一的擴(kuò)張到空間L_G~1(F)上. 經(jīng)典數(shù)學(xué)期望的Jensen不等式是現(xiàn)代概率論與鞅論中的一個(gè)基本不等式,可描述為:對(duì)定義在R上的凸函數(shù)h與可積隨機(jī)變量X和h(X),下式成立當(dāng)h是凹函數(shù)時(shí),該不等式反向成立. 我們找到一個(gè)反例表明,對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的凹函數(shù),基于G-期望的Jensen不等式不成立.很自然我們要問,在什么條件下,基于G-期望的Jensen不等式能夠成立? 首先考慮h是凸函數(shù)時(shí),基于G-期望的Jensen不等式成立的條件. 定理2.3.2設(shè)h為定義在R上的連續(xù)函數(shù).則以下兩個(gè)條件等價(jià): (i)函數(shù)h是凸函數(shù); (ii)下面基于G-期望的Jensen不等式成立:對(duì)任意X∈L_G~1(F),如果h(X)∈L_G~1(F),則有 當(dāng)h是凹函數(shù)時(shí),上述Jensen不等式會(huì)像線性期望情形一樣,不等號(hào)反方向自然成立嗎?即不等式對(duì)所有凹函數(shù)都成立嗎?反例已經(jīng)告訴我們,答案是不成立. 接下來,我們給出這個(gè)Jensen不等式成立的充分必要條件. 我們可以把G-期望E[·]，凹函數(shù)h和隨機(jī)變量X看作Jensen不等式(0.0.2)的三個(gè)參數(shù).為使Jensen不等式(0.0.2)成立,我們分別給出關(guān)于E[·],h和X的三個(gè)充分必要條件.主要結(jié)論將在接下來的三個(gè)定理中闡明. 定理2.4.1對(duì)任意的X∈L_G~1(F)與凹函數(shù)h:R→R,下面兩個(gè)條件是等價(jià)的: (i)E[·]是線性期望; (ii)基于G-期望的Jensen不等式成立,即:對(duì)任意X∈L_G~1(F)及凹函數(shù)h,如果h(X)∈L_G~1(F),則 定理2.4.5設(shè)h為定義在R上的可微函數(shù),下面兩個(gè)條件是等價(jià)的: (i)函數(shù)h是非減凹函數(shù); (ii)基于G-期望的Jensen不等式成立. 定理2.4.9設(shè)h為定義在R上的凹函數(shù),下面兩個(gè)條件是等價(jià)的: (i)隨機(jī)變量X∈L_G~1(F)不具有均值不確定性,即:X滿足E[-X]= -E[X]; (ii)基于G-期望的Jensen不等式成立. 條件G-期望的性質(zhì)與G-期望類似,關(guān)于條件G-期望,我們可以很自然的推出與本章類似的結(jié)論.作為G-期望的Jensen不等式在G-鞅理論中的一個(gè)應(yīng)用,我們得到如下定理. 定理2.5.2(1)隨機(jī)過程X和Y是兩個(gè)G-鞅,則X+Y是G-上鞅. (2)設(shè)隨機(jī)過程X是G-鞅,h是一個(gè)凸函數(shù).如果對(duì)任意t≥0,h(X_t)∈L_G~1(F_t),則(h(X_t))_(t≥0)是G-下鞅. (3)設(shè)隨機(jī)過程X是G-鞅,h是一個(gè)非減凹函數(shù).如果對(duì)任意t≥0,h(X_t)∈L_G~1(F_t),則(h(X_t))_(t≥0)是G-上鞅. 我們給出兩個(gè)關(guān)于G-鞅的非常有趣的例子,例子所說明的結(jié)論與經(jīng)典鞅論是完全不同的. 例2.5.5隨機(jī)過程(?)是一個(gè)G-鞅,其中B為G-布朗運(yùn)動(dòng).h(x) =-e~x,x∈R是一個(gè)凹函數(shù).經(jīng)過計(jì)算可推出(h(M_t))_(t≥0)是一個(gè)G-下鞅. 例2.5.6隨機(jī)過程(?)是一個(gè)G-鞅,其中c是常數(shù).h(x) = -x~2, x∈R,是一個(gè)凹函數(shù).(h(M_t))_(t≥0)要么是一個(gè)G-鞅,要么是一個(gè)G-下鞅,這取決于參數(shù)c的取值. 三、第三章從兩個(gè)角度分別研究了關(guān)于非線性半群的Jensen不等式. 前一章已經(jīng)研究了基于G-期望的Jensen不等式.G-期望是通過一個(gè)非線性半群構(gòu)造出來的,而這個(gè)非線性半群是由一個(gè)具有給定生成元函數(shù)G的非線性拋物型偏微分方程生成的.本章討論的半群是由具有更一般的生成元函數(shù)F的非線性拋物型偏微分方程生成的.我們研究關(guān)于這類更一般的半群的Jensen不等式問題.該生成元函數(shù)F:R~d×S_d→R僅僅滿足使偏微分方程存在唯一粘性解的下面兩個(gè)簡(jiǎn)單假設(shè)條件. (A1)如果Y≤x,則有F(p, Y)≤F(p, X); (A2)存在函數(shù)ω: [0,∞)→[0,∞)滿足ω(0+) = 0,使得F(α(x - y), X) - F(α(x - y), Y)≤ω(α|x - y|~2 + |x- y|)成立,其中α0,X,Y滿足 設(shè)F∈C(R~d×S_d)滿足假設(shè)(A1)-(A2).對(duì)任意的φ(·)∈C_(l.Lip)(R~d),考慮如下非線性拋物型偏微分方程 其中(?).方程(0.0.3)存在唯一粘性解(參見Crandall et al.[21]).我們定義很容易驗(yàn)證(T_t~F)_(t≥0)是一個(gè)定義在C_(l.Lip)(R~d)上的半群. 通過這種一般化的半群可以構(gòu)造出很多類型的相容非線性期望.所以,研究這類半群的Jensen不等式得到更一般的結(jié)論. 首先,我們得到關(guān)于生成元函數(shù)F的充分必要條件,在該條件下Jensen不等式對(duì)任意凸函數(shù)h成立.當(dāng)h是凹函數(shù)時(shí)也可以相應(yīng)地得到一個(gè)充分必要條件. 定理3.2.1設(shè)F滿足(A1)和(A2).則以下兩個(gè)條件等價(jià): (i)F是超齊次的,即:F(λp,λA)≥λF(p,A),(?)(p,A)∈R~d×S_d,λ∈R; (ii)對(duì)任意的φ∈C_(l.Lip)(R~d)和凸函數(shù)h:R→R,如果(?),則有 定理3.2.2設(shè)F滿足(A1)和(A2).則以下兩個(gè)條件等價(jià): (i)F是次齊次的,即:F(λp,λA)≤λF(p,A),(?)(p,A)∈R~d×S_d,λ∈R; (ii)對(duì)任意的φ∈C_(l.Lip)(R~d)和凹函數(shù)h:R→R,如果(?),則有 定理3.2.3在假設(shè)條件(A1)和(A2)下,設(shè)F(p,A)_((p,A)∈R~d×S_d)關(guān)于p和A是凸的,并且F(0,0)=0.則以下兩個(gè)條件等價(jià): (i)對(duì)任意的φ∈C_(l.Lip)(R~d)和凸函數(shù)h:R→R,如果(?),則有 (ii)F(p,A)=(?),其中Q(?)R~d×S_d~+. 定理3.2.5在條件(A1)和(A2)下,設(shè)F(p,A)_((p,A)∈R~d×S_d)不依賴于p,即:F(p,A)≡F(A),并且關(guān)于A是凸的.假設(shè)F還滿足F(0)=0.那么下面兩個(gè)結(jié)論成立: (i)對(duì)任意的φ∈C_(l.Lip)(R~d)和凸函數(shù)h:R→R,如果(?),則(?). (ii)當(dāng)d=1時(shí),結(jié)論(i)中函數(shù)F可以表示為:F(a) = k_1|a| +k_2a,其中k_1,k_2≥0,k_2≥k_1. 其次,我們換一個(gè)角度研究這個(gè)問題.對(duì)任意固定的生成元函數(shù)F,我們給出對(duì)滿足Jensen不等式的函數(shù)h的刻畫,得到如下結(jié)果: 定義3.3.1 h : R→R是一個(gè)二階連續(xù)可微函數(shù),如果對(duì)任意(y, z, A)∈R×R~d×S_d,下面不等式成立則稱h為F-凸函數(shù).如果不等式(3.3.23)反向成立,則稱h為F-凹函數(shù). 定理3.3.2下面兩個(gè)斷言是等價(jià)的: (i)h是F-凸函數(shù); (ii)下列Jensen不等式成立:對(duì)任意的φ∈C_(l.Lip)(R~d)和h∈C~2(R),如果(?),則有 定理3.3.5下面兩個(gè)斷言是等價(jià)的: (i)h是F-凹函數(shù); (ii)下列Jensen不等式成立:對(duì)任意φ∈C_(l.Lip)(R~d)和h∈C~2(R),如果(?),則有 再次,我們得到了G-凸函數(shù)(參見[78]和經(jīng)典凸函數(shù)之間的關(guān)系,以及G-凹函數(shù)和凹函數(shù)的關(guān)系. 定理3.4.3假設(shè)h∈C~2(R),那么下面兩個(gè)條件是等價(jià)的: (i)h是G-凸函數(shù); (ii)h是凸函數(shù). 定理3.4.6假設(shè)h∈C~2(R),那么下面兩個(gè)條件是等價(jià)的: (i)h是G-凹函數(shù); (ii)h是非減凹函數(shù). 在本章的最后,我們介紹G-凸函數(shù)在G-鞅中的一個(gè)應(yīng)用. 定理3.4.12設(shè)(X_t)_(t≥0)是G-鞅.如果函數(shù)h使h(X_t)∈L_G~1(F_t)對(duì)所有t≥0成立,那么下面兩個(gè)條件等價(jià): (i)h是G-凸函數(shù); (ii)(h(X_t))_(t≥0)是G-下鞅. 四、在第四章,我們通過前一章介紹的非線性半群構(gòu)造了一個(gè)相容非線性期望-F-期望.本章中的生成元函數(shù)F滿足假設(shè)條件(A1),(A2)和(A3)F(0,0)=0.我們首先系統(tǒng)的研究了F-期望的性質(zhì),然后把這些性質(zhì)應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)度量問題的研究. 首先,我們證明了F-期望(?)[·]具有單調(diào)性,保常數(shù)性和平移不變性.研究發(fā)現(xiàn)F-期望的許多性質(zhì)是由生成元函數(shù)F的性質(zhì)決定的.我們得到了結(jié)論:當(dāng)且僅當(dāng)F-期望的生成元函數(shù)F分別滿足次可加性,正齊次性和凸性時(shí),F-期望也相應(yīng)的具有次可加性,正齊次性和凸性.條件F-期望(?)[·|F_t]也有類似結(jié)論. 關(guān)于F-期望在金融風(fēng)險(xiǎn)度量中的應(yīng)用,我們先介紹 定義4.4.1假設(shè)F滿足假設(shè)(A1)-(A3),如下定義ρ~F:L_(ip)~0(F_T)→R和ρ_t~F:L_(ip)~0(F_T)→L_(ip)~0(F_T):則ρ~F稱作F-期望引導(dǎo)出的靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量,ρ_t~F稱作條件F-期望引導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量. 下面,利用我們得到的F-期望的性質(zhì),我們建立了F-期望與著名的一致性風(fēng)險(xiǎn)度量(coherent risk measure)和凸風(fēng)險(xiǎn)度量(convex risk measure)之間的關(guān)系. 定理4.4.2假設(shè)F滿足(A1)-(A3).風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)空間為Χ=L_(ip)~0(F_T).若ρ~F為F-期望引導(dǎo)出的靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量.那么下面三個(gè)條件等價(jià): (i)ρ~F是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量; (ii)F-期望(?)[·]滿足次可加性和正齊次性; (iii)F滿足次可加性和正齊次性. 定理4.4.3在與定理4.4.2相同的假設(shè)條件下,以下三個(gè)條件等價(jià): (i)ρ~F是凸風(fēng)險(xiǎn)度量; (ii)(?)[·]是凸的; (iii)F是凸函數(shù). 定理4.5.5假設(shè)F滿足(A1)-(A3).風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)空間為Χ=L_(ip)~0(F_T).若(ρ_t~F)_(t∈[0,T])為F-期望引導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量.那么下面三個(gè)條件等價(jià): (i)ρ_t~F是動(dòng)態(tài)一致性風(fēng)險(xiǎn)度量; (ii)條件F-期望(?)[·|F_t]滿足次可加性和正齊次性; (iii)F滿足次可加性和正齊次性. 定理4.5.6在與定理4.5.5相同的假設(shè)條件下,以下三個(gè)條件等價(jià): (i)ρ_t~F是動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量; (ii)(?)[·|F_t]是凸的; (iii)F是凸函數(shù). 條件F-期望引導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量還滿足下面一些好的性質(zhì). 定理4.5.9(ρ_t~F)_(t∈[0,T])是條件F-期望引導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量,那么它滿足如下性質(zhì): (i)遞歸性(Recursiveness):對(duì)任意的X∈L_(ip)~0(F_T), (ii)時(shí)間相容性(Time consistency):對(duì)任意的X,Y∈L_(ip)~0(F_T),
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2009
【分類號(hào)】：F830;F224

【引證文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 顏婕;;非線性數(shù)學(xué)期望在金融風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用[J];財(cái)經(jīng)界(學(xué)術(shù)版);2013年17期

2 宋麗;;次線性期望的Jensen不等式[J];山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版);2011年03期

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1 宋麗;非線性數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和倒向隨機(jī)微分方程的_L_P解[D];山東大學(xué);2012年

2 亢婭麗;電力市場(chǎng)環(huán)境下供電公司的購電風(fēng)險(xiǎn)分析[D];重慶大學(xué);2012年

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1 王鵬;G-期望及其相關(guān)計(jì)算問題[D];上海交通大學(xué);2011年

2 王美娟;g-框架下的期望理論的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用研究[D];山東科技大學(xué);2011年

本文編號(hào)：2750238