【摘要】： 保險(xiǎn)數(shù)學(xué)是源自保險(xiǎn)業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)管理而產(chǎn)生的應(yīng)用數(shù)學(xué),而風(fēng)險(xiǎn)理論則是保險(xiǎn)數(shù)學(xué)中最具理論性的重要組成部分。它主要是研究保險(xiǎn)公司所關(guān)心的幾個(gè)精算量例如破產(chǎn)概率,破產(chǎn)時(shí),破產(chǎn)前余額,破產(chǎn)赤字等。通過(guò)利用隨機(jī)過(guò)程,隨機(jī)分析的理論和方法,尤其是Gerber,H.U等人將鞅的理論和方法應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)理論中,使得該學(xué)科得到了迅速的發(fā)展,在刻畫(huà)上面所提到的幾個(gè)精算量方面取得了豐碩的成果。 隨著金融和保險(xiǎn)市場(chǎng)發(fā)展,對(duì)于原有幾個(gè)精算量的刻畫(huà)已經(jīng)不能再滿(mǎn)足保險(xiǎn)公司的需求。例如對(duì)于破產(chǎn)概率,破產(chǎn)赤字,相對(duì)于他們的具體表達(dá)式,保險(xiǎn)公司更關(guān)心如何才能使得這些代表風(fēng)險(xiǎn)的量達(dá)到最小。為了使他們盡可能的小,保險(xiǎn)公司會(huì)采取一些相應(yīng)的措施例如再保險(xiǎn),投資金融市場(chǎng)。這時(shí)保險(xiǎn)公司所面臨的問(wèn)題就是如何尋找最優(yōu)的再保險(xiǎn)或投資策略使得風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。保險(xiǎn)公司除了關(guān)心代表風(fēng)險(xiǎn)的量以外也關(guān)心一些代表它的收益和效用的量例如破產(chǎn)前總的分紅量和某時(shí)刻財(cái)富的效用。想盡可能的使得這些量達(dá)到最大。所有這些都屬于金融保險(xiǎn)中的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。在過(guò)去幾十年里,通過(guò)利用隨機(jī)控制的理論和方法,尤其是[24]和[3]把隨機(jī)控制理論應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)中,通過(guò)Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的方法分別得到了擴(kuò)散模型下的最優(yōu)投資(目標(biāo)是最小破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用)和最優(yōu)分紅策略,使得該領(lǐng)域得到了迅速的發(fā)展,并開(kāi)創(chuàng)了風(fēng)險(xiǎn)理論和隨機(jī)控制理論相結(jié)合的先例。之后有許多文獻(xiàn)相繼利用HJB方程的方法進(jìn)行對(duì)風(fēng)險(xiǎn)里的最優(yōu)問(wèn)題的研究。其中有些也加入了再保險(xiǎn)。并取得了很好的結(jié)果。 但在許多工作里為了得到明確的最優(yōu)解,所建立的模型與實(shí)際還存在著很大的差距。例如假設(shè)分紅時(shí)沒(méi)有交易費(fèi)用和公司的償付能力的限制;僅僅考慮對(duì)于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資;考慮最優(yōu)再保險(xiǎn)時(shí)沒(méi)有考慮到再保險(xiǎn)人的利益;忽略了索賠過(guò)程的長(zhǎng)程相依性等等。而在實(shí)際中這些因素是存在的且不容忽視的。而且這些因素的加入會(huì)對(duì)以前所得的最優(yōu)策略產(chǎn)生很大的影響,有的甚至已不再是最優(yōu)的。因此有必要重新考慮所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)問(wèn)題和尋找新的最優(yōu)策略。 以往文獻(xiàn)考慮的問(wèn)題和模型與實(shí)際存在差距,其主要一個(gè)原因是方法上過(guò)于局限于HJB方程。這使得考慮的模型只能限于馬爾科夫過(guò)程;考慮的問(wèn)題只能限于(1.1.4)和(1.1.7)的形式;構(gòu)造的解也必須滿(mǎn)足驗(yàn)證定理所要求的條件。而上面提到的大多數(shù)問(wèn)題不再滿(mǎn)足這些條件例如分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的最優(yōu)問(wèn)題,模型不再具有馬爾科夫性質(zhì);再保險(xiǎn)中的博弈問(wèn)題,不再滿(mǎn)足三個(gè)限制條件中的任何一個(gè)。因此,為了解決這些問(wèn)題,需要我們尋找新的方法或者在方法上有新的突破。 鑒于上述原因,我的博士畢業(yè)論文將致力于下面三個(gè)方面。首先是建立與實(shí)際更貼近的模型和問(wèn)題。其次是不局限于HJB方程的方法,根據(jù)當(dāng)前的模型和問(wèn)題所特有的性質(zhì)靈活變通,充分發(fā)揮各種隨機(jī)控制理論方法的作用,努力尋找解決問(wèn)題的路徑。最后,為了使最終的結(jié)果對(duì)實(shí)踐能起到一個(gè)很好的指導(dǎo)作用,將盡可能的對(duì)最優(yōu)問(wèn)題給出明確解,使得所得最優(yōu)策略具有可操作性。下面將詳細(xì)介紹各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容。 首先在第一章中給出了下面章節(jié)中將要涉及到的隨機(jī)最優(yōu)控制理論。這些理論主要來(lái)自[38]和[89]。 在第二章中,一系列的帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題被考慮。 分紅是指公司將部分盈余分給股東或初始準(zhǔn)備金的提供者。所以總的分紅量從某種意義上反應(yīng)了一個(gè)公司的效益和實(shí)力。因此如何選擇一個(gè)分紅策略或采取某種措施(例如再保險(xiǎn)和投資)使得破產(chǎn)之前的分紅量達(dá)到最大一直以來(lái)都是金融和保險(xiǎn)領(lǐng)域中最熱門(mén)的研究話(huà)題之一。對(duì)于這種古典的最優(yōu)分紅問(wèn)題已經(jīng)解決的比較完善。包括含有再保險(xiǎn)控制的都已經(jīng)給出了非常明確的結(jié)果。結(jié)果展示了帶漂移布朗運(yùn)動(dòng)和復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)分紅策略分別是上限為常值的邊界分紅策略(barrier strategy)和波段分紅策略(band strategy)。但是結(jié)果的得到都假設(shè)了當(dāng)進(jìn)行分紅時(shí)不需要交一定量的交易費(fèi)用。而實(shí)際中為了避免連續(xù)交易。當(dāng)進(jìn)行分紅時(shí)都要求交一部分交易費(fèi)用。即使它可能很少。但它的出現(xiàn)從根本上會(huì)影響到最優(yōu)分紅策略的形式。顯然在這種情況下barrierstrategy和band strategy由于都是連續(xù)的進(jìn)行交易,會(huì)帶來(lái)無(wú)窮大的交易費(fèi)用,所以都不再是最優(yōu)的分紅策略。因此需要我們重新選擇最優(yōu)分紅策略。由于交易費(fèi)用的出現(xiàn),我們對(duì)最優(yōu)分紅策略的選擇不僅僅要考慮對(duì)分紅量的選擇還要考慮對(duì)分紅時(shí)間的選擇,這使得這時(shí)的分紅問(wèn)題要比古典分紅問(wèn)題復(fù)雜的多。在風(fēng)險(xiǎn)理論里,僅僅[28]給出了帶漂移布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和分紅策略。還有很多關(guān)于帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題沒(méi)有解決,例如一直被認(rèn)為比比例再保險(xiǎn)更優(yōu)(既相對(duì)應(yīng)的最大分紅量更大)的超額損失再保險(xiǎn)控制下的最優(yōu)分紅問(wèn)題,復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)分紅問(wèn)題,帶有償付能力限制和交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題。我們將分別在2.1,2.2和2.3節(jié)展開(kāi)對(duì)這些問(wèn)題的討論。在這一章的最后一節(jié)我們放寬了以前文獻(xiàn)中所作的限制性的假設(shè),考慮一類(lèi)更廣義的擴(kuò)散模型下帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題,展現(xiàn)了一個(gè)與以前不一樣的最優(yōu)解。 在2.1節(jié)我們研究了帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅問(wèn)題。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)是比比例再保險(xiǎn)好的即所對(duì)應(yīng)的最大的期望折現(xiàn)分紅量要大。然后通過(guò)解擬變分不等式,給出了最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅策略的明確表達(dá)式。超額損失再保險(xiǎn)與比例再保險(xiǎn)相比不再有比例這么好的形式。[4]曾經(jīng)考慮過(guò)超額損失再保險(xiǎn)下的不帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題。我們與[4]的區(qū)別首先是對(duì)于擬變分不等式解的構(gòu)造比[4]里面的HJB方程的解的構(gòu)造要困難。其次是在[4]里面對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造依賴(lài)于一個(gè)輔助函數(shù)。我們這里對(duì)于擬變分不等式解的構(gòu)造,沒(méi)有引入輔助函數(shù)而且方法更簡(jiǎn)單。 2.2節(jié)考慮了復(fù)合泊松模型下的帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)分紅問(wèn)題。復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)分紅問(wèn)題一直以來(lái)都是一個(gè)難點(diǎn)。主要原因是在復(fù)合泊松情景下所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方程不再有邊界條件并且有可能不再有連續(xù)可微的解。在這一節(jié)中我們構(gòu)造出了當(dāng)索賠是指數(shù)情景下的擬變分不等式的解進(jìn)而給出了最優(yōu)策略。而且也給出了分紅時(shí)間間隔的期望值。結(jié)果展現(xiàn)了當(dāng)分紅的稅率減少時(shí),應(yīng)該相應(yīng)的增加分紅的次數(shù)同時(shí)減少每次分紅的量。 在2.3節(jié),假設(shè)公司的余額被一個(gè)廣義的擴(kuò)散過(guò)程所描述。公司的目標(biāo)是最大化期望折現(xiàn)分紅。每次分紅仍舊有交易費(fèi)用和稅收被要求。在[93]展現(xiàn)了在一些合理的假設(shè)下最優(yōu)策略是塊狀邊界策略,即有兩個(gè)邊界,當(dāng)盈余達(dá)到上邊界時(shí),進(jìn)行分紅,盈余減少到下邊界。但是,從償付能力的角度來(lái)看,這些最優(yōu)邊界有可能由于過(guò)低而是保險(xiǎn)公司所不能接受的。因此我們應(yīng)該找一個(gè)滿(mǎn)足償付能力限制的塊狀邊界策略。類(lèi)似于在[92]所提出的對(duì)于償付能力的限制,分紅策略應(yīng)該滿(mǎn)足在該策略下所對(duì)應(yīng)的有限時(shí)間的破產(chǎn)概率不超過(guò)一個(gè)給定的值。 這里我們首先假定一個(gè)塊狀邊界的限制,這個(gè)限制的意思是事先給出兩個(gè)邊界,公司僅僅當(dāng)余額到達(dá)給定的上邊界時(shí)才可以進(jìn)行分紅,而且分紅后的盈余不能低于給定的下邊界。對(duì)于在這個(gè)限制下的最優(yōu)分紅問(wèn)題,我們分為兩步進(jìn)行考慮,首先考慮僅僅有下邊界限制的最優(yōu)分紅問(wèn)題,然后在第一步的基礎(chǔ)上考慮有上邊界限制的最優(yōu)分紅問(wèn)題。這兩步都借助了相應(yīng)的擬變分不等式。但在第二步中,擬變分不等式的解不再是連續(xù)可微的,這使得It(?)公式不能再被利用,進(jìn)而驗(yàn)證定理不再成立。我們這里巧妙的利用局部時(shí)理論證明了擬變分不等式的解就是最優(yōu)值函數(shù)同時(shí)構(gòu)造了相應(yīng)的最優(yōu)策略。首次給出了對(duì)于不滿(mǎn)足一次連續(xù)可微函數(shù)的驗(yàn)證定理。 剩下的任務(wù)是如何找到最優(yōu)的兩個(gè)邊界限制使得他們?cè)跐M(mǎn)足償付能力限制的情況下對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)最大。最優(yōu)雙邊界的尋找完全不同于[92]里面對(duì)于最優(yōu)單個(gè)邊界的尋找。它是極其復(fù)雜的。需要偏微分方程方面更高層的工具。我們?cè)?.3節(jié)里展現(xiàn)了如何利用Thomas和Crank-Nicolson算法來(lái)解決相應(yīng)的偏微分方程以得到最優(yōu)雙邊界限制。在這節(jié)的最后,我們還給出了數(shù)值解。 在2.4節(jié)所考慮的公司的盈余過(guò)程是一類(lèi)更廣義的擴(kuò)散過(guò)程。更廣義的意思是放寬了以前文獻(xiàn)中所作的限制性的假設(shè)。這里同樣利用的也是擬變分不等式,但是由于沒(méi)有了一些好的假設(shè)條件導(dǎo)致了擬變分不等式的解的性質(zhì)和形式與以前有很大的不同。這里我們利用一種新的思想把擬變分不等式的解根據(jù)他們的性質(zhì)進(jìn)行了分類(lèi)。證明了最優(yōu)分紅策略有三種可能性:(1)塊狀邊界分紅策略;(2)塊狀波段分紅策略;(3)最優(yōu)分紅策略不存在。其中最困難的部分是對(duì)于塊狀波段分紅策略是最優(yōu)分紅策略的證明。因?yàn)樵谶@種情況下,以前所有構(gòu)造最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略的方法已經(jīng)不再有效。為了克服這個(gè)困難,我們不再僅僅從擬變分不等式的一個(gè)解考慮而是從兩個(gè)獨(dú)立解入手。對(duì)最優(yōu)值函數(shù)進(jìn)行了四個(gè)區(qū)域的構(gòu)造。并且首次清晰的展現(xiàn)了最優(yōu)策略是一個(gè)塊狀波段分紅策略并給出了它的具體形式的表達(dá)。在以前的文獻(xiàn)里,當(dāng)證明最優(yōu)策略是波段分紅策略時(shí),多數(shù)是從粘性解出發(fā),因此里面所涉及的邊界都沒(méi)有一個(gè)明確的表達(dá)。 第三章討論了最小破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用問(wèn)題。 在最近幾年里,最小化破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用已經(jīng)被很多研究者考慮過(guò)。對(duì)于他們之間的關(guān)系早在1965年Ferguson在[37]里就給出了猜測(cè)。他猜測(cè)當(dāng)效用函數(shù)3.1.5中的參數(shù)m取適當(dāng)?shù)闹禃r(shí),兩個(gè)最優(yōu)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略是一樣的。其中假設(shè)沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資。[24]考慮風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程是一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)和允許保險(xiǎn)公司把盈余投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。三個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則:最大化指數(shù)效用,最小化破產(chǎn)概率和最小化折現(xiàn)罰金分別被考慮。給出最優(yōu)投資的同時(shí)驗(yàn)證了Ferguson's的猜測(cè)在當(dāng)前模型下是成立的。另外也展現(xiàn)了當(dāng)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí),猜測(cè)是不成立的。即無(wú)論m取何值,最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率兩個(gè)最優(yōu)問(wèn)題的最優(yōu)策略都不同。 再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司用來(lái)控制他們所面臨的風(fēng)險(xiǎn)或提高效用的一個(gè)重要的手段。因此我們?cè)?.1節(jié),通過(guò)加入再保險(xiǎn)控制延拓了Browne的工作。即風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程是一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)。保險(xiǎn)公司被允許把盈余投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),并且購(gòu)買(mǎi)(比例)再保險(xiǎn)。在投資和再保險(xiǎn)這兩種控制下,我們考慮了三個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則:最大化指數(shù)效用,最小化破產(chǎn)概率和最小化折現(xiàn)罰金。由于比例再保險(xiǎn)控制中的比例是在[0,1]之間的。既控制變量是有限制的。因此對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造要比[24]復(fù)雜。尤其是最后一個(gè)準(zhǔn)側(cè)。即使這樣我們?nèi)耘f給出了HJB的解析解,并通過(guò)它給出了最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。特別的,當(dāng)沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí),相應(yīng)的結(jié)果展現(xiàn)了最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率他們的最優(yōu)策略是一樣的。這就驗(yàn)證了在[37]里面給出的猜測(cè)在加入再保險(xiǎn)后仍舊成立。同時(shí)也展現(xiàn)了當(dāng)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí),猜測(cè)不再成立。 對(duì)于最優(yōu)投資問(wèn)題,之前一直考慮的是保險(xiǎn)公司投資單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。而實(shí)際中為了達(dá)到預(yù)期的目標(biāo),保險(xiǎn)公司一般是投資到多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。因此我們?cè)?.2節(jié)考慮了投資多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)問(wèn)題。考慮的風(fēng)險(xiǎn)模型和3.2節(jié)一樣。同時(shí)允許保險(xiǎn)公司投資于多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和購(gòu)買(mǎi)(比例)再保險(xiǎn)。在非賣(mài)空的限制下,最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率兩個(gè)準(zhǔn)測(cè)被考慮。當(dāng)投資于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí),在沒(méi)有非賣(mài)空限制下得到的最優(yōu)投資額很自然的滿(mǎn)足非賣(mài)空的限制。但對(duì)于多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),情況就不一樣了。在沒(méi)有非賣(mài)空限制下得到的最優(yōu)投資策略不一定滿(mǎn)足非賣(mài)空的限制。因此需要我們對(duì)HJB方程進(jìn)行一定不同方法的處理。在這節(jié)中,我們首先處理非賣(mài)空帶來(lái)的影響把HJB轉(zhuǎn)化成一般的可解決方程的形式。然后給出了它的解進(jìn)而得到了最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。同時(shí)也驗(yàn)證了Ferguson的猜測(cè)在沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資下仍成立同時(shí)當(dāng)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)猜測(cè)不成立 3.3節(jié)考慮了超額損失再保險(xiǎn)和多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資兩種控制。最優(yōu)準(zhǔn)則與3.2節(jié)相同。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)比比例再保險(xiǎn)更優(yōu),即超額損失再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的最小破產(chǎn)概率比比例再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的小和最大指數(shù)效用比比例再保險(xiǎn)的大。然后通過(guò)HJB方程給出了最優(yōu)解。同時(shí)也驗(yàn)證了Ferguson的猜測(cè)在超額損失再保險(xiǎn)的情景下仍成立。 第四章對(duì)保險(xiǎn)里的均方差問(wèn)題進(jìn)行了討論。 投資組合選擇簡(jiǎn)而言之就是把財(cái)富分配到不同的資產(chǎn)中,以達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)、確保收益的目的。1952年,Markowitz用方差來(lái)量化股票收益的風(fēng)險(xiǎn),提出了投資組合選擇的均值-方差分析方法,揭開(kāi)了現(xiàn)代金融學(xué)研究的序幕。均方差問(wèn)題是指投資者想找到一個(gè)最優(yōu)的投資策略使得它的期望達(dá)到最大同時(shí)方差最小。它是一個(gè)以投資組合的期望收益(均值)和風(fēng)險(xiǎn)(方差)為目標(biāo)的雙目標(biāo)決策模型,因此很自然地導(dǎo)出了投資組合選擇的均值-方差有效組合、有效前沿等概念。均值-方差投資組合理論不僅是現(xiàn)代投資組合選擇理論的先驅(qū)工作,也是現(xiàn)代金融學(xué)的基石之一。其精髓在于首先對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析,開(kāi)辟了風(fēng)險(xiǎn)管理的新思路。 最近幾年,金融和保險(xiǎn)市場(chǎng)已經(jīng)開(kāi)始慢慢的結(jié)合,保險(xiǎn)公司為了增加它的收益或減少它的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)把部分盈余投資于金融市場(chǎng)。已經(jīng)有很多文獻(xiàn)涉及到了保險(xiǎn)理論中的最優(yōu)投資問(wèn)題。但大多數(shù)文獻(xiàn)考慮的最優(yōu)準(zhǔn)則仍舊僅僅限于原有的幾個(gè)經(jīng)典精算量例如分紅量,破產(chǎn)概率,破產(chǎn)赤字等。均方差準(zhǔn)則作為金融學(xué)的最重要和最流行的概念之一反而在保險(xiǎn)理論中很少被涉及。據(jù)我們所知僅僅[120]考慮了均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問(wèn)題和[27]考慮了均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險(xiǎn)/新業(yè)務(wù)問(wèn)題。因此,我們?cè)谶@一章中對(duì)保險(xiǎn)理論中的均方差問(wèn)題進(jìn)行了更深入和廣泛的研究。 在4.1節(jié),我們對(duì)再保險(xiǎn)/新業(yè)務(wù)和投資兩種控制下的均方差問(wèn)題進(jìn)行了研究。其中考慮了兩種風(fēng)險(xiǎn)模型:復(fù)合泊松和帶飄移的布朗運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題的解決不同于[27],相應(yīng)的HJB方程不再有古典的解,另外即使給出粘性解,據(jù)我們所知僅僅有關(guān)于擴(kuò)散模型下的粘性解驗(yàn)證定理。對(duì)于它在復(fù)合泊松模型下的有效性還沒(méi)有得到認(rèn)證。為了克服這些困難,首先通過(guò)兩個(gè)特殊的Riccati方程構(gòu)造一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)并展現(xiàn)了它是HJB方程的粘性解。對(duì)于這個(gè)粘性解我們給出了不同于以往的驗(yàn)證定理。而且可以看到它能被應(yīng)用于一類(lèi)粘性解。最后通過(guò)比較兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型下的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)他們的最優(yōu)策略是一樣的。這個(gè)可以啟發(fā)我們?cè)诳紤]一些問(wèn)題時(shí)可以用擴(kuò)散近似來(lái)代替復(fù)合泊松。這樣就可以簡(jiǎn)化問(wèn)題。 迄今,人們一直用具有馬爾科夫性的隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述索賠過(guò)程。但在大部分情形下,保險(xiǎn)公司的索賠過(guò)程呈現(xiàn)出長(zhǎng)程相依性:給定時(shí)刻t后過(guò)程的行為,不僅依賴(lài)于t時(shí)刻的信息,而且還依賴(lài)于時(shí)刻t以前的歷史。因此,最近已經(jīng)開(kāi)始有用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬保險(xiǎn)公司的索賠過(guò)程。但所有文獻(xiàn)都是考慮分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題。由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)很多性質(zhì)比較難刻畫(huà),因此對(duì)于它的破產(chǎn)概率一直沒(méi)有得到明確的結(jié)果。對(duì)于它的優(yōu)化問(wèn)題更是很少有人考慮。這不僅是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)本身比較難研究,更主要的是它不再具有馬氏性,傳統(tǒng)的HJB方程方法已經(jīng)不能再利用。據(jù)我們所知,僅僅[63]考慮過(guò)特殊的線(xiàn)性模型下的二次規(guī)劃問(wèn)題,而且最優(yōu)策略被限制在馬氏策略(即策略在每時(shí)刻的取值依賴(lài)于當(dāng)時(shí)過(guò)程的值)集合里考慮。但我們知道分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)本身不再具有馬氏性,這就意味著真正的最優(yōu)策略不會(huì)再是馬氏策略。因此對(duì)[63]工作作更進(jìn)一步的推廣和改進(jìn),是很有必要的。在4.2節(jié),我們用一個(gè)受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程描述了公司的盈余過(guò)程。研究了均方差準(zhǔn)則所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資問(wèn)題。這里分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的Hurst參數(shù)H∈(1/2,1)。雖然分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不再是Markov過(guò)程,不能再利用HJB方程方法。但由于[36]利用Wick乘積定義的關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分使得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)有了跟標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)許多類(lèi)似的性質(zhì)例如Zero mean,Girsauov Theorem等。同時(shí)受到下面5.1節(jié)對(duì)完全平方方法使用范圍的探索結(jié)果啟發(fā)。我們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)是符合完全平方方法的要求。因此通過(guò)利用完全平方的方法我們找到了有效策略和有效前沿。并且當(dāng)H→1/2+結(jié)果被驗(yàn)證收斂到已知的布朗運(yùn)動(dòng)情景下的結(jié)果。 在第五章,我們研究了受(分?jǐn)?shù))布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)問(wèn)題。 在5.1節(jié),風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是一個(gè)受布朗運(yùn)動(dòng)干擾的復(fù)合泊松過(guò)程�？刂剖潜ｋU(xiǎn)公司向顧客收取的保費(fèi)。目標(biāo)是最小化盈余過(guò)程與給定軌道的距離與保費(fèi)折現(xiàn)值的和。我們通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃,完全平房和隨機(jī)最大值原則三種不同的方法給出了最優(yōu)控制和最優(yōu)值函數(shù)。這一節(jié)的內(nèi)容,不僅結(jié)果對(duì)實(shí)踐有一定的指導(dǎo)作用,更重要的是在理論和方法上的作用。在以前的文獻(xiàn)里,基本都是局限于HJB方程的方法。而HJB方程有它的局限性既僅僅使用于馬爾科夫過(guò)程。因此在考慮模型和問(wèn)題上都受到了限制。在這節(jié)中我們把完全平方和隨機(jī)最大值原則引入到了保險(xiǎn)領(lǐng)域中。他們既跟HJB方法有聯(lián)系但也有很多的區(qū)別,尤其在處理的模型已經(jīng)不再僅僅限于馬爾科夫過(guò)程。因此對(duì)于我們以后考慮非馬爾科夫盈余過(guò)程的最優(yōu)問(wèn)題有很大的借鑒性。5.2節(jié)就是一個(gè)很好的例子。我們?cè)谶@一節(jié)研究了受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)問(wèn)題。最優(yōu)準(zhǔn)則與5.1節(jié)相同。最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)通過(guò)完全平方的方法被清晰的給出。另外4.2節(jié)也是受到了5.1節(jié)所提供方法的啟發(fā)。 在第六章研究了一些其他的最優(yōu)控制問(wèn)題。 對(duì)于再保險(xiǎn)已經(jīng)有很多文獻(xiàn)涉及到,例如[24],[58],[4]等。但在所有這些文獻(xiàn)里都沒(méi)有考慮到再保險(xiǎn)公司的效用。而實(shí)際中,如果只考慮保險(xiǎn)公司一方的話(huà),所求的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略往往是再保險(xiǎn)公司所不能接受的。這就警惕我們?cè)谠俦ｋU(xiǎn)協(xié)議里有兩方,并且他們的利益是沖突的。因此最優(yōu)再保險(xiǎn)的合約必須顯示為一個(gè)合理的雙方利益的折衷。這其實(shí)就是一個(gè)雙方博弈的問(wèn)題。用博弈的思想來(lái)解決保險(xiǎn)定價(jià)或風(fēng)險(xiǎn)分配方面的問(wèn)題,最初是由[21]提出來(lái)的,考慮的最優(yōu)準(zhǔn)則是最大化效用。之后,[1],[117]等在風(fēng)險(xiǎn)交換和再保險(xiǎn)市場(chǎng)方面也作出了一定的工作。但在所有這些工作中僅僅考慮單期索賠即靜態(tài)的最優(yōu)再保險(xiǎn)的選擇。而實(shí)際中,投保人與保險(xiǎn)公司以及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司在很多情況下都是長(zhǎng)期的合作而不是僅僅是針對(duì)一次索賠的合作。因此我們?cè)?.1節(jié)研究了連續(xù)時(shí)間模型下的再保險(xiǎn)市場(chǎng)上的最大化指數(shù)效用問(wèn)題。連續(xù)時(shí)間模型下的再保險(xiǎn)問(wèn)題不同于單期的情景,保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司它們?cè)谡麄�(gè)時(shí)間段內(nèi)都是一個(gè)博弈的關(guān)系。據(jù)我們所知,即使在專(zhuān)門(mén)的博弈理論中也從沒(méi)涉及到連續(xù)時(shí)間模型的例子。因此在借鑒單期的理論和方法的同時(shí),必須在方法上有其他新的突破,才能解決連續(xù)情景下的最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。為了克服這些困難,我們把問(wèn)題分成了兩步進(jìn)行處理。首先處理終端財(cái)富之間的Pareto最優(yōu)問(wèn)題,然后尋找再保險(xiǎn)策略去復(fù)制Pareto最優(yōu)終端財(cái)富。通過(guò)這種方法我們找到了Pareto最優(yōu)策略。而且結(jié)果展現(xiàn)了連續(xù)時(shí)間情景下的Pareto最優(yōu)合作再保險(xiǎn)是比例再保險(xiǎn)。這個(gè)結(jié)果恰恰與以前的結(jié)論相反既當(dāng)僅僅保險(xiǎn)公司效用被考慮時(shí)超額損失再保險(xiǎn)一直是最優(yōu)的。最后我們證明了合作再保險(xiǎn)的核是非空的。這里核是博弈論非常重要的量,它是所有能被博弈里面所有成員所接受的Pareto最優(yōu)策略的集合。這一節(jié)我們的主要目的是提供一個(gè)解決連續(xù)時(shí)間再保險(xiǎn)市場(chǎng)上的Pareto最優(yōu)問(wèn)題的方法。其他的很多問(wèn)題例如分紅,破產(chǎn)概率,均方差等都有待研究。 6.2節(jié)是關(guān)于一個(gè)局部信息下的最優(yōu)控制問(wèn)題。股票的價(jià)格滿(mǎn)足一個(gè)隨機(jī)微分方程,其中瞬時(shí)的返回率是一個(gè)Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程。這里僅僅股票的價(jià)格和利率能被觀(guān)察。通過(guò)利用過(guò)濾和動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論,我們給出了指數(shù)和對(duì)數(shù)效用下的最優(yōu)解。其中對(duì)數(shù)效用是在不允許投資者進(jìn)行賣(mài)空和借款的限制下考慮的。與[75]相比,我們這里不允許投資者賣(mài)空和借款,而且這里所用的HJB方程的方法要比[75]里面的鞅方法簡(jiǎn)單很多。而且使用HJB方程的方法可以給出所對(duì)應(yīng)值函數(shù)的明確解。在這節(jié)里考慮的模型是簡(jiǎn)單的,我們主要的目的一是利用HJB方程的方法解決局部信息問(wèn)題,它相對(duì)于以前大多數(shù)文獻(xiàn)中的鞅方法要簡(jiǎn)單很多,二是希望能為考慮保險(xiǎn)理論中的局部信息問(wèn)題提供一些幫助。 最后一節(jié)考慮的準(zhǔn)則是最小化破產(chǎn)之前到達(dá)一個(gè)給定目標(biāo)的期望值。對(duì)于一般的投資者,[95]通過(guò)最大化波動(dòng)系數(shù)平方除飄移系數(shù)得到了最優(yōu)投資策略。[95]里面的控制變量不受限制和最優(yōu)策略被展現(xiàn)是比例策略。在這一節(jié)中,賣(mài)空被限制和比例再保險(xiǎn)的比例是在[0,1]之間。這些對(duì)控制變量的限制使得[95]里面的方法不能再被利用。我們通過(guò)HJB方程的方法給出了最小期望時(shí)間和最優(yōu)策略。而且結(jié)果展現(xiàn)了最優(yōu)投資策略已不再是比例策略。 我的博士畢業(yè)論文主要是通過(guò)HJB方程,擬變分不等式,偏微分方程,完全平方,Pareto最優(yōu),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等理論解決了風(fēng)險(xiǎn)理論中帶交易費(fèi)用和償付能力限制的最優(yōu)分紅問(wèn)題,最優(yōu)多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),Pareto最優(yōu)再保險(xiǎn)以及在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)問(wèn)題。上面以他們所研究的問(wèn)題對(duì)其進(jìn)行了以章節(jié)為單位的分類(lèi)介紹。下面將從各個(gè)章節(jié)的創(chuàng)新點(diǎn)和特色之處對(duì)他們的內(nèi)容進(jìn)行概括性的總結(jié)。 1.方法的創(chuàng)新。 (1)2.3節(jié)有兩個(gè)方法上的創(chuàng)新點(diǎn):(a)關(guān)于非連續(xù)可微解的驗(yàn)證定理;(b)利用Thomas和Crank-Nicolson算法給出了最優(yōu)雙邊界。 (2)2.4節(jié)在方法上的兩個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)是:(a)提出了一種新的把擬變分不等式的解進(jìn)行分類(lèi)的方法;(b)給出了一種新的構(gòu)造最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略的方法。 (3)4.1節(jié)給出了一類(lèi)粘性解的驗(yàn)證定理。 (4)6.1節(jié)首次給出了解決連續(xù)時(shí)間Pareto最優(yōu)再保險(xiǎn)的方法。 (5)6.2節(jié)利用HJB方程的方法解決局部信息下的最優(yōu)問(wèn)題。以前幾乎所有文獻(xiàn)都是利用的鞅方法。這里我們也充分展現(xiàn)了HJB方程與鞅方法相比的優(yōu)點(diǎn)。 2.解方程和構(gòu)造最優(yōu)解技巧的創(chuàng)新。 這部分主要是對(duì)已有經(jīng)典工作或優(yōu)秀工作的更深入的研究和推廣。但并不是簡(jiǎn)單的在同一方法上的計(jì)算推廣。 (1)2.1節(jié)是對(duì)文章[28](發(fā)表在國(guó)際頂級(jí)金融雜志Mathematical Finance)的工作一個(gè)改進(jìn)推廣。研究了帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅問(wèn)題。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)比[28]中的比例再保險(xiǎn)更優(yōu)。這也是我們考慮超額損失再保險(xiǎn)的一個(gè)原因。超額損失再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的擬變分不等式比比例再保險(xiǎn)復(fù)雜的多。在2.1節(jié)我們給出了不同的構(gòu)造解的方法。 (2)2.2節(jié)是對(duì)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型的一個(gè)挑戰(zhàn)。古典風(fēng)險(xiǎn)模型一直以來(lái)都是分紅問(wèn)題的難點(diǎn)。這里對(duì)于擬變分不等式的解的構(gòu)造與2.1節(jié)和[28]有很大不同。從2.2節(jié)我們可以看到,古典風(fēng)險(xiǎn)模型下擬變分不等式的解的形式更多樣化。 (3)[24]的工作被稱(chēng)為保險(xiǎn)理論和控制理論相結(jié)合的先例。在第三章,我們延拓了Browne的工作考慮了最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。比例再保險(xiǎn)的介入使得對(duì)于相應(yīng)的HJB方程的解的構(gòu)造需要更高的技巧性。 (4)6.3節(jié)考慮了最小化破產(chǎn)之前到達(dá)一個(gè)給定目標(biāo)的期望值。這是對(duì)于經(jīng)典文章[95]工作的一個(gè)推廣。由于賣(mài)空被限制和比例再保險(xiǎn)的比例是在[0,1]之間。使得[95]里面的方法不能再被利用。我們通過(guò)HJB方程的方法解給出了最優(yōu)解。這里對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造也是極其復(fù)雜的。 3.引入新的控制方法進(jìn)入保險(xiǎn)領(lǐng)域。 5.1節(jié)利用了HJB方程,隨機(jī)最大值原則和完全平房三種不同的方法解決最優(yōu)問(wèn)題。從中可以看到各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)和他們不同的使用范圍。這樣可以開(kāi)拓我們的視眼,考慮不同類(lèi)型的風(fēng)險(xiǎn)模型和問(wèn)題。 4.研究非馬爾科夫風(fēng)險(xiǎn)余額過(guò)程的最優(yōu)控制問(wèn)題。 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是具有長(zhǎng)程相依性的非馬爾科夫過(guò)程。雖然它可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)中更貼近實(shí)際的現(xiàn)象。但對(duì)于它的研究一直以來(lái)都沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。這主要是因?yàn)樗男再|(zhì)比較難刻劃。風(fēng)險(xiǎn)中只有很少的文獻(xiàn)涉及它的破產(chǎn)概率。對(duì)于關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)控制問(wèn)題。更是寥寥無(wú)幾。我們?cè)?.2和5.2。節(jié)研究了受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)控制問(wèn)題。找到了適合于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)控制方法。并且給出了最優(yōu)策略的明確解。 本論文另外一個(gè)非常重要的特色就是對(duì)于所有的最優(yōu)問(wèn)題都給出了非常明確的最優(yōu)解。
【學(xué)位授予單位】：南開(kāi)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2009
【分類(lèi)號(hào)】：F224;F830;F840

【引證文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2634164