正1引言近年來(lái),隨著HPM視角下課例研究的深入開(kāi)展以及一系列相關(guān)課例的發(fā)表,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教師開(kāi)始關(guān)注HPM的教學(xué)理念、教育價(jià)值和教學(xué)策略.一般說(shuō)來(lái),數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式~([1]).除了附加式(介紹數(shù)學(xué)家的生平軼事、提供數(shù)學(xué)史閱讀材料等)外,其他三種方式都與問(wèn)題提出息息相
【部分圖文】：

法（圖５）解決過(guò)的無(wú)窮級(jí)數(shù)問(wèn)題，??奧雷姆的結(jié)果是??丄－ｉ－Ａ－ｊ－Ａ－ｉ?ＬｉＬ－ｉ—＝？??２?２２?２３?２＂??圖５奧雷姆的面積變換方法??從例１可見(jiàn)，從古代數(shù)學(xué)史料出發(fā)可以提出??有若干問(wèn)題組成的問(wèn)題串．而其中的某些問(wèn)題本??身也可能是歷史上別的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)??題，因次，如果以別的史料為參照，這些問(wèn)題可能??又會(huì)成為“復(fù)制式”或“條件式”問(wèn)題了．??４．２拋物弓形的面積??古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在其《拋物弓形求積》??中解決了拋物弓形的面積問(wèn)題．如圖６所示，設(shè)??是拋物線的一條弦，阿基米德證明［１４］：??圖６拋物弓形的性質(zhì)??命題１：過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)Ｐ作拋物線對(duì)??稱軸的平行線，交ＡＢ與Ｃ，若平行于拋物線??在點(diǎn)Ｐ處的切線ＭＮ，則ＡＣ?＝?ＢＣ；反之，若ＡＣ??＝ＢＣ，則平行于拋物線在點(diǎn)Ｐ處的切??線ＭＮ．??命題２：Ｐ為拋物線上任意一點(diǎn)，直線ＡＢ與??拋物線在Ｐ處的切線ＭＮ平行，交拋物線于點(diǎn)Ａ??和Ｂ，過(guò)Ｐ作拋物線對(duì)稱軸的平行線，交ＡＢ于點(diǎn)??Ｃ，交拋物線在點(diǎn)Ａ處的切線于點(diǎn)Ｔ，則ＰＴ??

角邊分別為《??和６，則內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為你覺(jué)得古人是如??（２?十??何得到這個(gè)結(jié)果的？（條件式）??問(wèn)題６：已知直角三角形的直角邊為５和１２，??求其內(nèi)接正方形的面積．（目標(biāo)式）??問(wèn)題７：已知直角三角形內(nèi)接正方形（與直角??三角形有公共直角）的邊長(zhǎng)為ｆｆ，斜邊為１３，求直??角邊．（對(duì)稱式）??問(wèn)題８：已知直角三角形的直角邊為《和６，??試寫(xiě)出與直角三角形有公共直角的內(nèi)接正方形的??邊長(zhǎng)與ａ和６之間的關(guān)系，據(jù)此證明均值不等式??鏈接式）??ａ十ｂ?２??問(wèn)題９：如圖１，若ＲｔＡＡＢＣ的兩條直角邊分??別為ａ和／；，正方形ＣＥＤＦ和ＭＮＰＱ為它的兩個(gè)??不同的內(nèi)接正方形，試比較￡ＣＦＤ和ｉＷＶＰＱ邊??長(zhǎng)的大小．（自由式）??Ａ?＾??圖１勾股容方新問(wèn)題??問(wèn)題１０：如圖１，正方形ＣＥＤＦ和ｉＷＶＰＱ內(nèi)??接于同一個(gè)直角三角形ＡＢＣ，其面積分別Ｓ，和??Ｓ２，Ｚ?Ａ?＝?ａ．已知?Ｓ】＝４４１，Ｓ２?＝?４４０，求?ｓｉｎ２ａ．??（自由式）??３基于數(shù)學(xué)史料的高考題??３．?１復(fù)制式問(wèn)題??高考數(shù)學(xué)卷中的“復(fù)制式”問(wèn)題較多取自中國(guó)??古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和《數(shù)書(shū)九章〉〉，如《九章??算術(shù)》中的“九節(jié)均容”問(wèn)題（２０１１年湖北文理??卷）、“委米依垣”問(wèn)題（２０１５年全國(guó)課標(biāo)Ｉ卷）、??《數(shù)書(shū)九章》中的“天池測(cè)雨”問(wèn)題（２０１３年湖北文??科卷）、“米谷粒分”問(wèn)題（２０１５年湖北文理卷）等．??２０１７全國(guó)ＩＩ卷采用了明代數(shù)學(xué)家程大位（１５３３—??１６０６）《算法統(tǒng)宗》中的問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅??光點(diǎn)點(diǎn)倍加增．共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞??燈？”這是一道已由等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)

作，將??原題中的不定方程組改編為一個(gè)適定的二元一次??方程組，故屬于“條件式”問(wèn)題．??３．３目標(biāo)式問(wèn)題??２０１７年浙江數(shù)學(xué)卷先介紹三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家??劉徽的割圓術(shù)以及祖沖之的貢獻(xiàn)，然后提出數(shù)學(xué)??問(wèn)題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以??估算圓周率７Ｔ，理論上能把Ｋ的值計(jì)算到任意精??度，祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將７Ｔ的值精確??到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割??圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面??積?Ｓｓ，Ｓｓ?＝??．??如圖３所示，為圓內(nèi)接正Ｗ邊形的一邊，??長(zhǎng)為ａ？，ＡＣ?＝?ＢＣ是圓內(nèi)接正２Ｗ邊形的一邊，??長(zhǎng)為，則圓內(nèi)接２？邊形的面積為??Ｓ２？?＝?ｗＳ?革形?Ｑ４ＢＣ?＝?Ｗ?（ｊａｊ？?）?＝?？??圖３割圓術(shù)??上述公式是割圓術(shù)的關(guān)鍵公式，劉徽利用該??公式證明了圓面積公式．為了求圓周率的近似值，??從？＝尺＝１尺出發(fā)，劉徽先計(jì)算出??ＳＩ２＝?＋?Ｘ６Ｘａ６Ｘｉ？?＝?３００（ｉ２），??再根據(jù)“倍邊公式”??依次計(jì)算ａ１２，＾２４，二１８和Ａ６，相應(yīng)計(jì)算出??１?１７５７??Ｓ２４＝音?Ｘ１２Ｘａ１２ＸＲ＝３１０＾（寸２），??１?１?＾１?４－Ｓ??Ｓ４８?＝?ｙＸ２４Ｘａ２ＪＸｌ？?＝?３１３＾（＾），??Ｓ９６?＝了Ｘ４８Ｘａ４８?Ｘｉ？?＝?３１３?（寸＿?），??Ｓｉ９２?＝?＾￣Ｘ９６Ｘａ９６Ｘ／？?＝?３１４?晶＾（寸』）？??顯然，割圓術(shù)的第一步不是計(jì)算Ｓ６，而是計(jì)??算ｓ１２．因此，本題改變了割圓術(shù)中的目標(biāo)，因而屬??于“目標(biāo)式”問(wèn)題．如果將所求項(xiàng)改為ｓ１２，那么問(wèn)??題就符合割圓術(shù)的原意，成為“復(fù)制式”
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