【摘要】：本文主要研究期權(quán)定價問題的有限差分方法,分兩方面考慮:一是B-S期權(quán)定價的有限差分法,二是帶交易費用期權(quán)定價的有限差分法。 針對B-S期權(quán)模型,主要采取混合差分的格式進行離散化。首先將B-S方程等價代換為標準的拋物型偏微分方程,然后對時間變量采用向前差商和向后差商,對空間變量采用五點差分格式,同時引入? ,將原偏微分方程離散為一個穩(wěn)定的混合差分格式。經(jīng)分析,該算法的截斷誤差是o ( h 4? k),跟其他數(shù)值方法相比,精度明顯提高了。本文還運用Fourier分析方法給出了該混合差分格式穩(wěn)定性和收斂性的證明。最后,通過一個數(shù)值實驗證明了該數(shù)值方法的可行性。跟其他數(shù)值方法比較,該方法相對誤差明顯減少且呈現(xiàn)出一定的規(guī)律,即到期時間越長相對誤差越小,這說明該算法更適合到期日較長的期權(quán)定價。實驗還表明,期權(quán)的價格跟?的取值呈一定的相關(guān)性,?越小相對誤差越小且當?取值為零時相對誤差達到最小。此時的混合差分格式就演變?yōu)橐粋�顯式差分格式,形式更簡單,也更易于求解。因此,該數(shù)值方法是一個有效的可行的方法。 針對帶交易費用的期權(quán)模型,對原生資產(chǎn)變量同樣采用五點差分格式。由于該模型中引入了修正波動率,因此在穩(wěn)定性與收斂性的證明中遇到了障礙。但這并不影響該數(shù)值方法的可行性,因為數(shù)值實驗表明該算法得到的期權(quán)價格走勢與現(xiàn)實金融世界的結(jié)果是相吻合的。
【圖文】：

我們可以看到，兩種方法所得結(jié)果的誤差走勢不同。隨著到期時間用混合差分法得到的結(jié)果誤差有越來越小的趨勢，而二階微商三次樣條方相對誤差走勢卻沒有明顯的規(guī)律。另外，觀察圖 3.1 知，混合差分方法得到式期權(quán)價格的誤差最大，而 12 月期的誤差最小，這說明，此方法更適用較長的期權(quán)定價。而用二階微商三次樣條方法得到的結(jié)果誤差沒有顯示出律，，3 月期跟 12 月期的期權(quán)價格誤差都較小，而 6 月期和 9 月期的期權(quán)價大，看不出誤差走勢。因此，本文所用方法更具有一定的金融指導(dǎo)意義。文的混合差分格式運用起來更加方便，而眾所周知，三次樣條方法運用起瑣一些。價格數(shù)值解與解析解的對比分析五點數(shù)值微分公式方法計算得到的 3，6，9，12 月期歐式看漲期權(quán)價格與析解得到的精確值比較，并做圖可得：圖 3.2

總體上看來，期權(quán)價格隨標的資產(chǎn)價格上漲而上升，且有以下規(guī)1) 標的資產(chǎn)價格在敲定價格附近時期權(quán)價格增長非常緩慢，這是因為受交用的影響買方若在此時行權(quán)不一定盈利。2) 標的資產(chǎn)價格遠離敲定價格時期權(quán)價格變化幾乎是線性的，這是因為此權(quán)的盈利能力非常明顯。3) 當標的資產(chǎn)價格遠大于敲定價格時，期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格很接近；的資產(chǎn)價格小于執(zhí)行價格時，買權(quán)價值為零。上結(jié)論均與金融市場世界相吻合，因此可間接證明該算法的可行性。小結(jié)章主要給出了帶比例交易費用的情況下歐式看漲期權(quán)定價模型的數(shù)值解，模型是改進后的 Leland 模型，也即 Hoggard,Whalley,Wilmottd 建立的帶交
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2010
【分類號】：F224;F830.9

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本文編號：2594258