最近的十多年里,在統(tǒng)計中的模型不確定性和金融中的風(fēng)險度量和超對沖問題的推動下,人們提出了各種各樣的風(fēng)險度量,比如1999年Artzner等四人提出的相容風(fēng)險度量,2002年Follmer和Schied提出的凸風(fēng)險度量和Gianin提出的概率不變風(fēng)險度量,以及2006年Song和Yan提出的共單調(diào)相容和共單調(diào)凸風(fēng)險度量.其中對于相容風(fēng)險度量,目前已有很多的研究成果.2006年,Peng引入了一種新的非線性期望-次線性期望.這一期望具有單調(diào)性、保常性、次可加性和正齊次性.它對應(yīng)于某一相容風(fēng)險度量.在這樣一種次線性期望下,Peng通過下面的偏微分方程引入了G正態(tài)分布的概念,其中u是一定義在[0,∞]×R空間上的實值函數(shù),φ是定義在實數(shù)域上的實值、有界和Lipschitz連續(xù)的函數(shù).其中α+=max{0,α),α-=max{0,-α},它們和σ及σ都是非負常數(shù),而且σ≤σ.G正態(tài)分布是經(jīng)典的正態(tài)分布在次線性期望下的推廣.2007和2008年P(guān)eng在他的兩篇文章中給出了次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理,指出次線性期望下的極限分布是G正態(tài)分布.這表明G正態(tài)分布同經(jīng)典的正態(tài)分布一樣重要.Peng還介紹了一給定次線性空間下的G布朗運動,與經(jīng)典的布朗運動類似,它是一服從G正態(tài)分布且具有平穩(wěn)獨立增量的連續(xù)的過程,這時次線性期望被稱為G期望.在G期望的框架下,Peng在2006年建立了一種新的伊藤隨機積分和隨機微分方程理論.與經(jīng)典理論類似,在G期望下也有伊藤公式.對于此公式,Peng在2010年,Gao在2009年以及Li和Peng在2009年分別給出了它的推廣的一般公式.Peng還介紹了一種由G布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程(簡記為G-SDE).比如對于下面的隨機微分方程(見Peng(2010))Peng證明了其解在空間MG2(0,T)中是存在唯一的.其中T和x都是給定實數(shù),且T 0. (Bt)t0是1維G布朗運動,(Bt)t≥0是對應(yīng)于此布朗運動的二次變差過程,是給定的函數(shù),記ψ=b,h,σ,則滿足下面的條件：(A1)對于任意的x∈R,ψ(·,x)屬于隨機過程空間MG2(0,T).(A2)ψ是關(guān)于x一致Lipschitz連續(xù)的,即存在常數(shù)K使得與經(jīng)典類似,對于G布朗運動驅(qū)動下的隨機微分方程的解的存在和唯一性問題,在其他條件也有相應(yīng)的結(jié)果,我們可以參考Lin (2006), Jing (2006)以及Bai和Lin(2010)等一些文章.特別是2009年Gao在假設(shè)(A2)以及系數(shù)與t和ω?zé)o關(guān)的條件下證明了隨機微分方程(2)的解是連續(xù)的,并給出了一些很好的性質(zhì).其他的一些有關(guān)G期望的理論我們也可以看Hu和Peng (2009), Li和Peng (2009)及Bai(2009)等一些文章. 在這篇博士論文中,我們將主要關(guān)注以下問題： 1.在假設(shè)(A1)(A2)及系數(shù)與ω?zé)o關(guān)的條件下,G-SDE (2)的弱解是否存在且唯一? 2.在與1相同的的條件下,G-SDE (2)的弱解與某類偏微分方程之間有什么關(guān)系嗎? 3.在G期望下是否還可以給出與經(jīng)典類似的某一非線性Dynkin公式? 4.如果非線性的Dynkin公式存在,那么它在計算中有什么應(yīng)用? 這篇論文包含三章的內(nèi)容.第一章回顧了有關(guān)G期望、G布朗運動和G期望下的隨機積分、伊藤公式、隨機微分方程、非線性Feymann-Kac公式等基本知識以及一些相關(guān)的引理.第二章主要研究上面的提到的前兩個問題,而第三章則研究后兩個問題. 現(xiàn)在我們給出第二章和第三章的主要結(jié)果. 第二章：我們知道在經(jīng)典的隨機微分方程理論中(可參考(?)ksendal (1998),(?)ksendal (2003), Mao (1997), Ikeda和Watanabe (1989), Evans (2006)和Sobczyk (2001)等),當布朗運動給定時我們可以定義強解的概念.而且Tanaka公式告訴我們強解有時候是不存在的,但是我們可以有另一種解,稱為弱解.弱解就是在布朗運動沒有事先給定時的一種解.那么類似地,在第二章就來研究一下在G期望的框架下的隨機微分方程的弱解問題.我們定義了強解和弱解的概念.為了證明弱解的存在唯一性,我們引入相似的概念以表示不同G期望空間下的隨機向量和隨機過程之間的關(guān)系.我們證明了在假設(shè)(H1)和(H2)下隨機微分方程(2)的弱解是一致相似的.另外對于給定布朗運動的方差不確定性區(qū)間時,弱解是有限維弱同分布的.在2006年和2010年的文章中,Peng引入了G期望下的正倒向隨機微分方程,并利用粘性解理論給出了非線性的Feymann-Kac公式用以描述正倒向隨機微分方程的解與一類非線性偏微分方程之間的關(guān)系.我們借用Peng的證明方法給出了弱解的分布與一類非線性偏微分方程之間的關(guān)系.主要結(jié)論敘述如下： 定理2.4.1在假設(shè)(H1)(H2)下,隨機微分方程(2.1)的滿足初值X0=x∈R的弱解Xt是弱唯一的. 推論2.4.2在假設(shè)(H1)(H2)下,如果x∈R,和σ≥σ≥0給定,則方程(2.1)的滿足的弱解是弱唯一的,即如果Xt1和Xt2是滿足我們的條件的兩個弱解,那么(Xt1)和(Xt2)是有限維弱同分布的. 定理2.5.1假設(shè)(H1)(H2)成立,并假設(shè)方程(2.1)的所有的系數(shù)都是與時間t無關(guān)且可被常數(shù)K界住的.令過程(Xt0,x)t∈[0,T]是方程(2.1)的弱解,(Bt)t≥0和E分別是相應(yīng)的G布朗運動和G期望.對任意的(?)我們令那么u是下面的偏微分方程的一個粘性解：其中σ2和σ2分別是B1的下方差和上方差, 定理2.5.4假設(shè)(H1)(H2)成立.令是方程(2.1)的一個弱解,我們假設(shè)u,σ2,σ2和G與定理2.5.1同樣定義.那么u是下面方程的一個粘性解： 第三章：在隨機微分方程理論中,擴散過程是一十分重要的過程,其在隨機控制和金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用(可參考Yong和Zhou(1999)).那么在G期望下,擴散過程又有著什么樣的性質(zhì)呢?這是個很有趣的問題.我們可以發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀皇邱R爾科夫的.在這一章中,我們研究了擴散過程的最小算子AG,其定義與經(jīng)典類似.我們給出了四種條件下的算子的表示定理.我們還研究了由G伊藤過程Xt產(chǎn)生的過程f(Xt)的性質(zhì),并給出了與算子AG相關(guān)的G鞅.另外,對于經(jīng)典理論而言,Dynkin公式可以由伊藤公式很自然地得到,但是在G期望下,由于其非線性性Dynkin公式一般不成立.不過我們卻是可以給出一非線性的Dynkin公式.并用其推論給出了在非負整數(shù)n,非負實數(shù)t和實數(shù)x給定情況下(?)的一個估計區(qū)間.主要結(jié)論敘述如下： 定理3.2.1 f∈DG,且對任意給定的實數(shù)x,我們有 定理3.2.2如果我們?nèi)サ粝禂?shù)a,b和c的有界性條件,并假設(shè)f∈C2(R)滿足(?)xx2f有界Lipschitz連續(xù)性條件,代替f∈Cb2(R),那么定理3.2.1仍然成立. 定理3.2.3我們假設(shè)(Xt)t≥0是G-Ito擴散過程并且其滿足的G-SDE(3.1)滿足系數(shù)是有界一致Lipschitz連續(xù)性條件.那么對于所有的滿足(?)xx2f多項式增長的函數(shù)f∈C2(R),即存在一個常數(shù)C和正整數(shù)n使得對任意的實數(shù)x有Xt的生成元的表示定理3.2.1仍然成立. 定理3.2.4假設(shè)Xt是G-Ito擴散過程,并設(shè)f∈C2(R)滿足(?)xx2f是局部Lipschitz連續(xù)的,即對任意的m≥1存在常數(shù)Lm使得對所有的滿足|x|≤m和|y|≤m的實數(shù)x和y,有而且設(shè)對(?)和(?)過程φ(X)ψ(X)是一致均方連續(xù)的,即那么(?)在LG1(Ωt)中有如定理3.2.1的表示定理. 定理3.3.2設(shè)實函數(shù)f∈C2(R)和(?)擴散過程(Xt)t≥0滿足下面的兩個條件之一(ⅰ)(?)xx2f是一致增長的,過程Xt滿足的方程的系數(shù)都是有界的.則如下定義的過程是上均值為f(x)的G鞅.而且,我們有下面的分解形式其中Mt是LG1(Ωt)中上均值為0的G鞅,Mt是上下均值為0的G鞅. 定理3.4.4假設(shè)函數(shù)f和過程Xt如定理3.3.2中一樣定義,則我們有下面的結(jié)果: (1)f(Xt)是G鞅(resp. G-上鞅,G-下鞅)當且僅當 (2)f(Xt)是沒有均值不確定性的G鞅當且僅當下面的條件之一成立： 推論3.4.5假設(shè)函數(shù)f和過程(Xt)t≥0滿足定理3.3.2中的條件,則按定理3.3.2定義的過程Mt是沒有均值不確定性的G鞅與下面的兩個條件都等價： (1)對任意的t≥0,在LG1(Ωt)中Mt=0. (2)σ=1或?qū)θ我獾膖≥0,在LG1(Ωt)中 定理3.5.1(非線性Dynkin公式)假設(shè)函數(shù)f∈C2(R)和G-Ito擴散過程(Xt)t≥0(初值為X0=x∈R)滿足下面的條件之一：(ⅰ)(?)xx2f是多項式增長的,過程Xt滿足的G-SDE的系數(shù)都是有界的.則對任意的t≥0,我們有其中是上均值為0的非正的G鞅. 推論3.5.3過程Xt和函數(shù)f如定理3.5.1一樣定義,那么我們有,對任意的t≥0,其中,當σ=1時,兩邊同時取等號,當定理3.5.1中定義的過程Mt沒有均值不確定性時,右邊取等號. 定理3.5.4對任意給定的整數(shù)n≥1和任意的非負數(shù)t,我們有下面的估計不等式
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2010
【中圖分類】：F224;F830
【文章目錄】：
摘要
Abstract
第一章 G期望和G隨機積分理論的介紹
    §1.1 次線性期望
    §1.2 G期望和G布朗運動
    §1.3 關(guān)于G布朗運動的Ito型隨機積分
    §1.4 G-Ito's formula
    §1.5 G鞅
    §1.6 非線性Feymann-Kac公式
第二章 G布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的弱解
    §2.1 基本概念和引理
    §2.2 強解和弱解的定義
    §2.3 相似的概念及其性質(zhì)
    §2.4 弱解的存在唯一性
    §2.5 弱解的性質(zhì)
第三章 Diffusions in the Framework of G-Expectation
    §3.1 基本概念
    §3.2 G-Ito擴散過程的生成元的表示定理
        §3.2.1 有界情形
        §3.2.2 一般情況下的推廣
    §3.3 一種特殊的G鞅
    §3.4 過程f(X_t)的性質(zhì)
    §3.5 非線性Dynkin公式
參考文獻
作者簡介
致謝
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【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 ;On Representation Theorem of G-Expectations and Paths of G-Brownian Motion[J];Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series);2009年03期

本文編號：2828634