本文關(guān)鍵詞：工程結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的理論研究及應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

提 要

本文首先介紹了國內(nèi)外拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的研究發(fā)展現(xiàn)狀，討論了拓?fù)鋬?yōu)化的

原理、方法以及各種拓?fù)鋬?yōu)化算法。其次，著重研究了 SIMP 材料插值方法，

建立了基于 SIMP 理論的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，選取準(zhǔn)則優(yōu)化法對其密

度迭代格式進(jìn)行了推導(dǎo)；并且利用 MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)，有效地進(jìn)行了平

面結(jié)構(gòu)的分析和拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。然后，分析了拓?fù)鋬?yōu)化中的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定性

現(xiàn)象，研究了能夠有效消除拓?fù)鋬?yōu)化中的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定性現(xiàn)象的各種解決方

法，并對其進(jìn)行了比較。最后，利用連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化求解理論和算法，使

用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件 Hyperworks 對具體工程結(jié)構(gòu)部件進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

研究，成功地應(yīng)用到了實(shí)際工程問題中，算例結(jié)果表明了該優(yōu)化方法的有效性

和正確性。

關(guān)鍵詞： 有限元 拓?fù)鋬?yōu)化 材料插值模型 數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定性 優(yōu)化

求解算法

Key words: FEA Topology optimization Material Interpolation

Model Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-

目 錄

第一章 緒 論 ................................................... 1

1.1 前言........................................................1

1.2 國內(nèi)外拓?fù)鋬?yōu)化研究概況......................................3

1.3 本文研究內(nèi)容及意義..........................................9

第二章 現(xiàn)代結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論 ................................... 11

2.1 拓?fù)涞母拍?................................................11

2.1.1 拓?fù)鋵W(xué)的由來 ...........................................11

2.1.2 拓?fù)鋵W(xué)及拓?fù)湫再|(zhì) .......................................13

2.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化原理和方法.....................................16

2.2.1 拓?fù)鋬?yōu)化的基本原理 .....................................17

2.2.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法 ...................................17

2.2.3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法比較 ...................................21

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法概述.................................22

2.3.1 優(yōu)化算法分類 ...........................................22

2.3.2 拓?fù)鋬?yōu)化常用算法 .......................................24

第三章 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的模型建立與求解算法 ................. 27

3.1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的模型描述...........................29

3.2 數(shù)學(xué)模型的有限元離散 .......................................34

3.2.1 單元應(yīng)變和應(yīng)力 .........................................34吉林大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文

-ii-

3.2.2 單元平衡方程 ...........................................35

3.2.3 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型的有限元離散形式 ...........38

3.3 基于 SIMP 理論的優(yōu)化準(zhǔn)則法..................................39

第四章 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序?qū)崿F(xiàn) ................................... 45

4.1 基于 SIMP 理論的優(yōu)化準(zhǔn)則法迭代分析流程......................45

4.2 優(yōu)化過程的 MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)..................................47

4.3 計(jì)算實(shí)例...................................................48

4.3.1 單一工況簡支梁算例 .....................................48

4.3.2 單一工況懸臂梁算例 .....................................49

4.3.3 多工況簡支梁算例 .......................................50

第五章 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定問題的研究................ 51

5.1 多孔材料問題...............................................52

5.2 棋盤格式問題...............................................52

5.2.1 棋盤格現(xiàn)象 .............................................52

5.2.2 棋盤格式產(chǎn)生的原因 .....................................53

5.2.3 棋盤格解決方法 .........................................53

5.3 網(wǎng)格依賴性問題.............................................56

5.3.1 網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象 .........................................56

5.3.2 網(wǎng)格依賴性問題產(chǎn)生的原因 ...............................57

5.3.3 網(wǎng)格依賴性解決方法 .....................................57

5.4 局部極值問題...............................................59

5.5 克服數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象幾種主要方法的比較.......................60目 錄

-iii-

第六章 拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的應(yīng)用 ..................................... 61

6.1 拓?fù)鋬?yōu)化分析軟件介紹 .......................................61

6.2 拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的應(yīng)用舉例.....................................65

6.3 拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)應(yīng)用算例.......................................67

6.3.1 算例一 某型轎車車門內(nèi)板的拓?fù)鋬?yōu)化 .....................67

6.3.2 算例二 某型轎車控制臂的拓?fù)鋬?yōu)化 .......................71

第七章 全文總結(jié)與展望 ......................................... 75

7.1 全文總結(jié)...................................................75

7.2 研究展望...................................................76

參考文獻(xiàn)....................................................... 77

摘 要.......................................................... I

Abstract........................................................ I

致 謝.......................................................... I-1-

第一章 緒 論

1.1 前言

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值方法的快速發(fā)展，工程中許多大型復(fù)雜結(jié)

構(gòu)問題都可以采用離散化的數(shù)值計(jì)算方法并借助計(jì)算機(jī)得到解決。有限元法已

經(jīng)成為結(jié)構(gòu)分析的一個(gè)重要的數(shù)值計(jì)算方法，這一理論的基本思想誕生于20

世紀(jì)中葉，經(jīng)過60多年的不斷發(fā)展和完善，理論已經(jīng)日趨完善，而且已經(jīng)開發(fā)

出一批通用和專用有限元分析軟件。使用這些軟件已經(jīng)成功解決了航空航天、

核工業(yè)、鐵路運(yùn)輸業(yè)、石油化工、機(jī)械制造、能源、汽車、電子、土木工程、

造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利等大型科學(xué)和工程計(jì)算難題。有限元法已

經(jīng)為各領(lǐng)域中產(chǎn)品設(shè)計(jì)、科學(xué)研究做出了很大貢獻(xiàn)，并且取得了巨大的經(jīng)濟(jì)和

社會(huì)效益。

眾所周知，機(jī)械結(jié)構(gòu)和零部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)是為了設(shè)計(jì)出重量輕，剛強(qiáng)度好，

可靠性強(qiáng)的理想結(jié)構(gòu)。集計(jì)算力學(xué)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及其它工程學(xué)科

于一體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的重要研究方向。它為人們長期所

追求最優(yōu)的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)尤其是新型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了先進(jìn)的工具，成為近代設(shè)

計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一般分為：結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)、結(jié)

構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。前四種設(shè)計(jì)是基于結(jié)構(gòu)的使用安全性考慮，其

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思路是根據(jù)已有的基本理論和工程設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)出產(chǎn)品

的初始結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行強(qiáng)度分析，如果不符合要求，再重新設(shè)計(jì)，重新分析，

直到滿足用戶的要求。而結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是讓設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)利用材料更經(jīng)濟(jì)、受力

分布更合理。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化通常分為截面（尺寸）優(yōu)化、形狀優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化和結(jié)構(gòu)類型優(yōu)吉林大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文

-2-

化[1]。優(yōu)化技術(shù)包括傳統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)化（Design Optimization）、基于產(chǎn)

品幾何形狀的拓?fù)鋬?yōu)化（Topological Optimization）、多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

（DesignXplorer）等。目前尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化技術(shù)已經(jīng)比較成熟，但是在

結(jié)構(gòu)布局已定的情況下，工程師對設(shè)計(jì)的修改程度有限，優(yōu)化設(shè)計(jì)所能產(chǎn)生的

效果有限。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化又稱為結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化，它是一種根據(jù)約束、載荷及優(yōu)

化目標(biāo)而尋求結(jié)構(gòu)材料最佳分配的優(yōu)化方法。這個(gè)新興的結(jié)構(gòu)力學(xué)的分支不僅

能夠解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化中較難的一些問題，而且又有相當(dāng)大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。運(yùn)用

拓?fù)鋬?yōu)化，在一定的設(shè)計(jì)域內(nèi)通過反復(fù)地消除和重新分布結(jié)構(gòu)材料，能夠確定

結(jié)構(gòu)材料的最佳排列方式。而這個(gè)設(shè)計(jì)域，是一個(gè)只需給出最外邊界的粗糙的

模型，不需要初始給定有序結(jié)構(gòu)。從宏觀角度看，拓?fù)鋬?yōu)化涉及到的不僅是結(jié)

構(gòu)的截面、幾何形狀，還包括它的拓?fù)淠Ｐ蜆?gòu)成，即其構(gòu)件的空間連接方式。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化可以大大改善結(jié)構(gòu)的性能或在保持原剛度不變的情況下減

輕結(jié)構(gòu)的重量，從節(jié)能環(huán)保角度帶來直接的經(jīng)濟(jì)效益。由于該方法能在工程結(jié)

構(gòu)設(shè)計(jì)的初始階段為設(shè)計(jì)者提供一個(gè)概念設(shè)計(jì)，使結(jié)構(gòu)在布局上采用最優(yōu)方

案，所以與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比能取得更大的經(jīng)濟(jì)效益，也更易被工程技

術(shù)人員所接受。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)把傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理念向前推動(dòng)了一大步，是

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一個(gè)新的里程碑，是目前工程設(shè)計(jì)人員必須學(xué)習(xí)和研究的一個(gè)方

向。近年來，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)越來越受到人們的重視，已成為國內(nèi)外研

究的一個(gè)熱點(diǎn)。研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，既有理論價(jià)值，又有現(xiàn)實(shí)意義。

骨是脊椎動(dòng)物身體的重要組成部分。不論是從形態(tài)學(xué)的觀點(diǎn)還是從力學(xué)的

觀點(diǎn)來看，骨都是非常復(fù)雜的。但是這種復(fù)雜性是由其功能適應(yīng)性所決定的。

所謂骨的功能適應(yīng)性，是指對所擔(dān)負(fù)工作的適應(yīng)能力。決定骨功能適應(yīng)性的因

素有：軸線形狀，截面形狀，材料沿各方向的分布規(guī)律和內(nèi)部構(gòu)造情況等。骨

是最理想的等強(qiáng)度優(yōu)化結(jié)構(gòu)。它不僅在某些不變的外力環(huán)境下能顯示出其承力

的優(yōu)越性，而且在外力環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，能通過內(nèi)部調(diào)整，以有力的新結(jié)構(gòu)形第一章 緒 論 -3-

式來適應(yīng)新的外力環(huán)境。

拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用領(lǐng)域能否進(jìn)一步擴(kuò)展，應(yīng)用于類似骨這種具有功能適應(yīng)性

的生物結(jié)構(gòu)呢？事實(shí)上，人類對于骨的研究是沿著另一條軌道進(jìn)行的。學(xué)者們

的工作很好地描述了骨的內(nèi)部最優(yōu)結(jié)構(gòu)形態(tài)，如 Weinans 等[2]。然而，我們

可以設(shè)想，為什么骨長成不同的外形呢？這是對力學(xué)環(huán)境的適應(yīng)，或者說是重

要的、大方向性的適應(yīng)。如骨干，橫截面近似橢圓形，適應(yīng)各方向受彎，而長

軸則是彎矩最大的方向。再以椎體為例，我們知道，就外形而言，老年期椎體

比年輕期的有更明顯的向內(nèi)凹的腰鼓形；就內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)而言，老年期小梁骨

更細(xì)，分布更疏松。椎體是主要承力骨，力學(xué)因素是決定其結(jié)構(gòu)形態(tài)的主要因

素。椎體在從年輕期到老年期的生長過程中，由于總體力學(xué)環(huán)境逐漸地發(fā)生明

顯的變化，從而使其外部幾何形狀和內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)二者都發(fā)生變化，仍以最優(yōu)

的結(jié)構(gòu)形態(tài)去適應(yīng)新的力學(xué)環(huán)境。

需要指出的是，骨的這種“最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形態(tài)”，應(yīng)該是即包括最優(yōu)的內(nèi)部

組織結(jié)構(gòu)，又包括最優(yōu)的外部幾何形狀。研究者們通過定量的骨再造理論與有

限元分析相結(jié)合，已經(jīng)能夠十分成功地模擬出在研究部位的確定的真實(shí)的骨結(jié)

構(gòu)外形下的最優(yōu)的內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)。引入拓?fù)鋬?yōu)化思想，通過定量的骨再造理論

與有限元分析相結(jié)合，模擬預(yù)測出骨結(jié)構(gòu)最優(yōu)的外部幾何形狀,在這方面宮赫

等[3]已做了一定的研究。

本文主要是對結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的基本理論,各種優(yōu)化方法,優(yōu)化算法,數(shù)值問

題等進(jìn)行研究總結(jié),并加以工程實(shí)際應(yīng)用,以期更深入地運(yùn)用到生物結(jié)構(gòu)的分

析中來。

1.2 國內(nèi)外拓?fù)鋬?yōu)化研究概況

目前結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，并且在生產(chǎn)實(shí)

踐中得到廣泛應(yīng)用。隨著結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論的進(jìn)一步發(fā)展，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化作為一種吉林大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文

-4-

更高層次的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域中更為復(fù)雜、困難和更具

挑戰(zhàn)性的課題[4]。

拓?fù)鋬?yōu)化按研究的結(jié)構(gòu)對象可分為離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化（如桁架、剛架、

加強(qiáng)筋板、膜等骨架結(jié)構(gòu)及它們的組合）和連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化（如二維板殼、 三維實(shí)體）兩大類。

實(shí)際上離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的歷史可以追溯到 1904 年由 Michell 提出的

Michell 桁架理論[5]，由于數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，Michell 桁架理論只能解決一

些承受簡單載荷和簡單支撐情況的問題，并依賴于選擇適當(dāng)?shù)膽?yīng)變場。后來雖

有許多研究者對這一理論進(jìn)行了完善和發(fā)展，但是這些研究都屬于經(jīng)典布局理

論優(yōu)化范疇。為了克服經(jīng)典布局理論在實(shí)踐應(yīng)用中的困難，陸續(xù)提出了一些優(yōu)

化方法，其中最有代表性的是 Dorm、Gomor 和 Greenberg（1964）等提出的

基結(jié)構(gòu)法（Ground structure approach）[6]，該方法只考慮單工況和應(yīng)力約

束，不考慮位移約束和協(xié)調(diào)條件，以內(nèi)力作為設(shè)計(jì)變量，從而導(dǎo)出了一個(gè)線性

規(guī)劃問題，桿截面由滿應(yīng)力法求得，將截面面積為0的桿件從基結(jié)構(gòu)中刪除以

求得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化拓?fù)�。后�?Dobbs 和 Felton[7]對這一方法進(jìn)行了推廣，

將設(shè)計(jì)變量指定為桿截面，考慮多工況和應(yīng)力位移約束，求解這個(gè)非線性問題。 20世紀(jì)60年代初 Schmit 將結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題表述為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，并采用數(shù)學(xué)規(guī) 劃算法求解，成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)重要里程碑[8]。段寶巖和葉尚輝[9]

也以內(nèi)力為設(shè)計(jì)變量，考慮兩工況和內(nèi)力位移約束，通過變量代換建立線型規(guī)

劃問題，以求得桁架結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化拓?fù)�。最�?Grierson 和 Pak、許素強(qiáng)和夏

人偉[10]、Ohsaki 將遺傳算法引進(jìn)桁架。陳建軍，曹一波等[11]把可靠性理

論應(yīng)用到桁架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，并且取得了比較好的效果。

包括桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化在內(nèi)的離散結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化已比較成熟，國內(nèi)外已有很多

深入的研究和文獻(xiàn)[12-17]。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域研究的

難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，近年來也得到了較快發(fā)展[18-23]。第一章 緒 論

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  本文關(guān)鍵詞：工程結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的理論研究及應(yīng)用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：192328