本文關鍵詞：工程結構拓撲優(yōu)化的理論研究及應用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

提 要

本文首先介紹了國內(nèi)外拓撲優(yōu)化技術的研究發(fā)展現(xiàn)狀，討論了拓撲優(yōu)化的

原理、方法以及各種拓撲優(yōu)化算法。其次，著重研究了 SIMP 材料插值方法，

建立了基于 SIMP 理論的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化模型，選取準則優(yōu)化法對其密

度迭代格式進行了推導；并且利用 MATLAB軟件編程實現(xiàn)，有效地進行了平

面結構的分析和拓撲優(yōu)化設計。然后，分析了拓撲優(yōu)化中的數(shù)值計算不穩(wěn)定性

現(xiàn)象，研究了能夠有效消除拓撲優(yōu)化中的數(shù)值計算不穩(wěn)定性現(xiàn)象的各種解決方

法，并對其進行了比較。最后，利用連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化求解理論和算法，使

用結構有限元分析軟件 Hyperworks 對具體工程結構部件進行了拓撲優(yōu)化設計

研究，成功地應用到了實際工程問題中，算例結果表明了該優(yōu)化方法的有效性

和正確性。

關鍵詞： 有限元 拓撲優(yōu)化 材料插值模型 數(shù)值計算不穩(wěn)定性 優(yōu)化

求解算法

Key words: FEA Topology optimization Material Interpolation

Model Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-

目 錄

第一章 緒 論 ................................................... 1

1.1 前言........................................................1

1.2 國內(nèi)外拓撲優(yōu)化研究概況......................................3

1.3 本文研究內(nèi)容及意義..........................................9

第二章 現(xiàn)代結構拓撲優(yōu)化理論 ................................... 11

2.1 拓撲的概念.................................................11

2.1.1 拓撲學的由來 ...........................................11

2.1.2 拓撲學及拓撲性質 .......................................13

2.2 結構拓撲優(yōu)化原理和方法.....................................16

2.2.1 拓撲優(yōu)化的基本原理 .....................................17

2.2.2 結構拓撲優(yōu)化設計方法 ...................................17

2.2.3 拓撲優(yōu)化設計方法比較 ...................................21

2.3 拓撲優(yōu)化設計的優(yōu)化算法概述.................................22

2.3.1 優(yōu)化算法分類 ...........................................22

2.3.2 拓撲優(yōu)化常用算法 .......................................24

第三章 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化的模型建立與求解算法 ................. 27

3.1 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計的模型描述...........................29

3.2 數(shù)學模型的有限元離散 .......................................34

3.2.1 單元應變和應力 .........................................34吉林大學碩士研究生學位論文

-ii-

3.2.2 單元平衡方程 ...........................................35

3.2.3 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型的有限元離散形式 ...........38

3.3 基于 SIMP 理論的優(yōu)化準則法..................................39

第四章 結構拓撲優(yōu)化程序實現(xiàn) ................................... 45

4.1 基于 SIMP 理論的優(yōu)化準則法迭代分析流程......................45

4.2 優(yōu)化過程的 MATLAB 編程實現(xiàn)..................................47

4.3 計算實例...................................................48

4.3.1 單一工況簡支梁算例 .....................................48

4.3.2 單一工況懸臂梁算例 .....................................49

4.3.3 多工況簡支梁算例 .......................................50

第五章 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定問題的研究................ 51

5.1 多孔材料問題...............................................52

5.2 棋盤格式問題...............................................52

5.2.1 棋盤格現(xiàn)象 .............................................52

5.2.2 棋盤格式產(chǎn)生的原因 .....................................53

5.2.3 棋盤格解決方法 .........................................53

5.3 網(wǎng)格依賴性問題.............................................56

5.3.1 網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象 .........................................56

5.3.2 網(wǎng)格依賴性問題產(chǎn)生的原因 ...............................57

5.3.3 網(wǎng)格依賴性解決方法 .....................................57

5.4 局部極值問題...............................................59

5.5 克服數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象幾種主要方法的比較.......................60目 錄

-iii-

第六章 拓撲優(yōu)化技術的應用 ..................................... 61

6.1 拓撲優(yōu)化分析軟件介紹 .......................................61

6.2 拓撲優(yōu)化技術的應用舉例.....................................65

6.3 拓撲優(yōu)化技術應用算例.......................................67

6.3.1 算例一 某型轎車車門內(nèi)板的拓撲優(yōu)化 .....................67

6.3.2 算例二 某型轎車控制臂的拓撲優(yōu)化 .......................71

第七章 全文總結與展望 ......................................... 75

7.1 全文總結...................................................75

7.2 研究展望...................................................76

參考文獻....................................................... 77

摘 要.......................................................... I

Abstract........................................................ I

致 謝.......................................................... I-1-

第一章 緒 論

1.1 前言

近年來，隨著計算機技術和數(shù)值方法的快速發(fā)展，工程中許多大型復雜結

構問題都可以采用離散化的數(shù)值計算方法并借助計算機得到解決。有限元法已

經(jīng)成為結構分析的一個重要的數(shù)值計算方法，這一理論的基本思想誕生于20

世紀中葉，經(jīng)過60多年的不斷發(fā)展和完善，理論已經(jīng)日趨完善，而且已經(jīng)開發(fā)

出一批通用和專用有限元分析軟件。使用這些軟件已經(jīng)成功解決了航空航天、

核工業(yè)、鐵路運輸業(yè)、石油化工、機械制造、能源、汽車、電子、土木工程、

造船、生物醫(yī)學、輕工、地礦、水利等大型科學和工程計算難題。有限元法已

經(jīng)為各領域中產(chǎn)品設計、科學研究做出了很大貢獻，并且取得了巨大的經(jīng)濟和

社會效益。

眾所周知，機械結構和零部件的優(yōu)化設計是為了設計出重量輕，剛強度好，

可靠性強的理想結構。集計算力學、數(shù)學規(guī)劃、計算機科學以及其它工程學科

于一體的結構優(yōu)化設計是現(xiàn)代結構設計領域的重要研究方向。它為人們長期所

追求最優(yōu)的工程結構設計尤其是新型結構設計提供了先進的工具，成為近代設

計方法的重要內(nèi)容之一。

結構設計一般分為：結構強度設計、結構剛度設計、結構穩(wěn)定性設計、結

構可靠性設計和結構優(yōu)化設計。前四種設計是基于結構的使用安全性考慮，其

結構設計思路是根據(jù)已有的基本理論和工程設計人員的設計經(jīng)驗設計出產(chǎn)品

的初始結構，然后進行強度分析，如果不符合要求，再重新設計，重新分析，

直到滿足用戶的要求。而結構優(yōu)化設計是讓設計的結構利用材料更經(jīng)濟、受力

分布更合理。

結構優(yōu)化通常分為截面（尺寸）優(yōu)化、形狀優(yōu)化、拓撲優(yōu)化和結構類型優(yōu)吉林大學碩士研究生學位論文

-2-

化[1]。優(yōu)化技術包括傳統(tǒng)的參數(shù)設計優(yōu)化（Design Optimization）、基于產(chǎn)

品幾何形狀的拓撲優(yōu)化（Topological Optimization）、多目標優(yōu)化設計

（DesignXplorer）等。目前尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化技術已經(jīng)比較成熟，但是在

結構布局已定的情況下，工程師對設計的修改程度有限，優(yōu)化設計所能產(chǎn)生的

效果有限。結構拓撲優(yōu)化又稱為結構布局優(yōu)化，它是一種根據(jù)約束、載荷及優(yōu)

化目標而尋求結構材料最佳分配的優(yōu)化方法。這個新興的結構力學的分支不僅

能夠解決結構優(yōu)化中較難的一些問題，而且又有相當大的實際應用價值。運用

拓撲優(yōu)化，在一定的設計域內(nèi)通過反復地消除和重新分布結構材料，能夠確定

結構材料的最佳排列方式。而這個設計域，是一個只需給出最外邊界的粗糙的

模型，不需要初始給定有序結構。從宏觀角度看，拓撲優(yōu)化涉及到的不僅是結

構的截面、幾何形狀，還包括它的拓撲模型構成，即其構件的空間連接方式。

結構拓撲優(yōu)化可以大大改善結構的性能或在保持原剛度不變的情況下減

輕結構的重量，從節(jié)能環(huán)保角度帶來直接的經(jīng)濟效益。由于該方法能在工程結

構設計的初始階段為設計者提供一個概念設計，使結構在布局上采用最優(yōu)方

案，所以與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比能取得更大的經(jīng)濟效益，也更易被工程技

術人員所接受。結構拓撲優(yōu)化設計把傳統(tǒng)結構設計理念向前推動了一大步，是

結構設計的一個新的里程碑，是目前工程設計人員必須學習和研究的一個方

向。近年來，結構拓撲優(yōu)化設計技術越來越受到人們的重視，已成為國內(nèi)外研

究的一個熱點。研究拓撲結構優(yōu)化設計方法，既有理論價值，又有現(xiàn)實意義。

骨是脊椎動物身體的重要組成部分。不論是從形態(tài)學的觀點還是從力學的

觀點來看，骨都是非常復雜的。但是這種復雜性是由其功能適應性所決定的。

所謂骨的功能適應性，是指對所擔負工作的適應能力。決定骨功能適應性的因

素有：軸線形狀，截面形狀，材料沿各方向的分布規(guī)律和內(nèi)部構造情況等。骨

是最理想的等強度優(yōu)化結構。它不僅在某些不變的外力環(huán)境下能顯示出其承力

的優(yōu)越性，而且在外力環(huán)境發(fā)生變化時，能通過內(nèi)部調整，以有力的新結構形第一章 緒 論 -3-

式來適應新的外力環(huán)境。

拓撲優(yōu)化的應用領域能否進一步擴展，應用于類似骨這種具有功能適應性

的生物結構呢？事實上，人類對于骨的研究是沿著另一條軌道進行的。學者們

的工作很好地描述了骨的內(nèi)部最優(yōu)結構形態(tài)，如 Weinans 等[2]。然而，我們

可以設想，為什么骨長成不同的外形呢？這是對力學環(huán)境的適應，或者說是重

要的、大方向性的適應。如骨干，橫截面近似橢圓形，適應各方向受彎，而長

軸則是彎矩最大的方向。再以椎體為例，我們知道，就外形而言，老年期椎體

比年輕期的有更明顯的向內(nèi)凹的腰鼓形；就內(nèi)部組織結構而言，老年期小梁骨

更細，分布更疏松。椎體是主要承力骨，力學因素是決定其結構形態(tài)的主要因

素。椎體在從年輕期到老年期的生長過程中，由于總體力學環(huán)境逐漸地發(fā)生明

顯的變化，從而使其外部幾何形狀和內(nèi)部組織結構二者都發(fā)生變化，仍以最優(yōu)

的結構形態(tài)去適應新的力學環(huán)境。

需要指出的是，骨的這種“最優(yōu)的結構形態(tài)”，應該是即包括最優(yōu)的內(nèi)部

組織結構，又包括最優(yōu)的外部幾何形狀。研究者們通過定量的骨再造理論與有

限元分析相結合，已經(jīng)能夠十分成功地模擬出在研究部位的確定的真實的骨結

構外形下的最優(yōu)的內(nèi)部組織結構。引入拓撲優(yōu)化思想，通過定量的骨再造理論

與有限元分析相結合，模擬預測出骨結構最優(yōu)的外部幾何形狀,在這方面宮赫

等[3]已做了一定的研究。

本文主要是對結構拓撲優(yōu)化的基本理論,各種優(yōu)化方法,優(yōu)化算法,數(shù)值問

題等進行研究總結,并加以工程實際應用,以期更深入地運用到生物結構的分

析中來。

1.2 國內(nèi)外拓撲優(yōu)化研究概況

目前結構的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化理論已經(jīng)發(fā)展的相當成熟，并且在生產(chǎn)實

踐中得到廣泛應用。隨著結構優(yōu)化理論的進一步發(fā)展，結構拓撲優(yōu)化作為一種吉林大學碩士研究生學位論文

-4-

更高層次的結構優(yōu)化設計方法被認為是結構優(yōu)化領域中更為復雜、困難和更具

挑戰(zhàn)性的課題[4]。

拓撲優(yōu)化按研究的結構對象可分為離散體結構拓撲優(yōu)化（如桁架、剛架、

加強筋板、膜等骨架結構及它們的組合）和連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化（如二維板殼、 三維實體）兩大類。

實際上離散結構拓撲優(yōu)化的歷史可以追溯到 1904 年由 Michell 提出的

Michell 桁架理論[5]，由于數(shù)學上的復雜性，Michell 桁架理論只能解決一

些承受簡單載荷和簡單支撐情況的問題，并依賴于選擇適當?shù)膽儓�。后來雖

有許多研究者對這一理論進行了完善和發(fā)展，但是這些研究都屬于經(jīng)典布局理

論優(yōu)化范疇。為了克服經(jīng)典布局理論在實踐應用中的困難，陸續(xù)提出了一些優(yōu)

化方法，其中最有代表性的是 Dorm、Gomor 和 Greenberg（1964）等提出的

基結構法（Ground structure approach）[6]，該方法只考慮單工況和應力約

束，不考慮位移約束和協(xié)調條件，以內(nèi)力作為設計變量，從而導出了一個線性

規(guī)劃問題，桿截面由滿應力法求得，將截面面積為0的桿件從基結構中刪除以

求得結構的最優(yōu)化拓撲。后來 Dobbs 和 Felton[7]對這一方法進行了推廣，

將設計變量指定為桿截面，考慮多工況和應力位移約束，求解這個非線性問題。 20世紀60年代初 Schmit 將結構優(yōu)化問題表述為數(shù)學規(guī)劃問題，并采用數(shù)學規(guī) 劃算法求解，成為結構優(yōu)化領域的一個重要里程碑[8]。段寶巖和葉尚輝[9]

也以內(nèi)力為設計變量，考慮兩工況和內(nèi)力位移約束，通過變量代換建立線型規(guī)

劃問題，以求得桁架結構的最優(yōu)化拓撲。最近 Grierson 和 Pak、許素強和夏

人偉[10]、Ohsaki 將遺傳算法引進桁架。陳建軍，曹一波等[11]把可靠性理

論應用到桁架拓撲優(yōu)化設計中，并且取得了比較好的效果。

包括桁架結構優(yōu)化在內(nèi)的離散結構拓撲優(yōu)化已比較成熟，國內(nèi)外已有很多

深入的研究和文獻[12-17]。連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化理論是結構優(yōu)化領域研究的

難點和熱點問題，近年來也得到了較快發(fā)展[18-23]。第一章 緒 論

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  本文關鍵詞：工程結構拓撲優(yōu)化的理論研究及應用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：192328