本文選題：勾股定理 + 證明　

導(dǎo)讀：
　　勾股定理（又叫「畢氏定理」）說(shuō)：「在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等於兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和�！箵�(jù)考證，人類(lèi)對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說(shuō)也超過(guò)4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上一共有超過(guò)300個(gè)對(duì)這定理的證明！
　　我覺(jué)得，證明多，固然是表示這個(gè)定理十分重要，因而有很多人對(duì)它作出研究；但證明多，同時(shí)令人眼花繚亂，亦未能夠一針見(jiàn)血地反映出定理本身和證明中的數(shù)學(xué)意義。故此，我在這篇文章中，為大家選出了7個(gè)我認(rèn)為重要的證明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認(rèn)識(shí)它們的歷史背境。
　　證明一
　　
　　
　　圖一
　　在圖一中，DABC為一直角三角形，其中蠥為直角。我們?cè)谶匒B、BC和AC之上分別畫(huà)上三個(gè)正方形ABFG、BCED和ACKH。過(guò)A點(diǎn)畫(huà)一直線AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不難證明，DFBC全等於DABD（S.A.S.）。所以正方形ABFG的面積= 2 DFBC的面積= 2 DABD的面積= 長(zhǎng)方形BMLD的面積。類(lèi)似地，正方形ACKH的面積= 長(zhǎng)方形MCEL的面積。即正方形BCED的面積= 正方形ABFG的面積+正方形ACKH的面積，亦即是 AB2+ AC2= BC2。由此證實(shí)了勾股定理。
　　這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來(lái)進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和」的幾何意義，這就是以ML將正方形分成BMLD和MCEL的兩個(gè)部分！
　　這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
　　歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，，并完成了著作《幾何原本》�！稁缀卧尽肥且徊縿潟r(shí)代的著作，它收集了過(guò)去人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)後世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書(shū)中的第一卷命題47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。
　　證明二
　　
　　
　　圖二
　　圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為c，其余兩邊的長(zhǎng)度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
　　(a+ b)2 = 4(1/2 ab) + c2
　　展開(kāi)得 a2+ 2ab+ b2 = 2ab+ c2
　　化簡(jiǎn)得 a2+ b2 = c2
　　由此得知勾股定理成立。
　　證明二可以算是一個(gè)非常直接了當(dāng)?shù)淖C明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類(lèi)似的手法去證明勾股定理，方法如下：
　　
　　
　　圖三
　　由面積計(jì)算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b-a)2
　　展開(kāi)得 = 2ab+ b2-2ab+ a2
　　化簡(jiǎn)得 c2 = a2+ b2（定理得證）
　　圖三的另一個(gè)重要意義是，這證明最先是由一個(gè)中國(guó)人提出的！據(jù)記載，這是出自三國(guó)時(shí)代（即約公元3世紀(jì)的時(shí)候）吳國(guó)的趙爽。趙爽為《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí)，在書(shū)中加入了一幅他稱(chēng)為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。
　　證明三
　　
　　
　　圖四
　　圖四一共畫(huà)出了兩個(gè)綠色的全等的直角三角形和一個(gè)淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個(gè)圖就變成一個(gè)梯形。利用梯形面積公式，我們得到

本文編號(hào)：1794667