本文選題：勾股定理 + 公式　

勾股定理的介紹：

中文名：勾股定理

外文名：Pythagoras theorem 

別稱：商高、畢達(dá)哥拉斯、百牛定理 

表達(dá)式：a²+b²=c² 

提出者：畢達(dá)哥拉斯  趙爽  商高 

提出時(shí)間：公元前551年 

應(yīng)用學(xué)科：幾何學(xué) 

適用領(lǐng)域范圍：數(shù)學(xué)，幾何學(xué) 

中國(guó)記載：《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》 

外國(guó)記載著作：《幾何原本》 

限制條件：直角三角形

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長(zhǎng)平方和等于斜邊（即“弦”）邊長(zhǎng)的平方。也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c² 。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)組成a²+b²=c²的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。

勾股定理是一個(gè)初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個(gè)最著名的例子。當(dāng)整數(shù)a,b,c滿足a²+b²=c²這個(gè)條件時(shí)，（a,b,c）叫做勾股數(shù)組。也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c²。”常見(jiàn)勾股數(shù)有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測(cè)量土地時(shí)，也應(yīng)用過(guò)勾股定理。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

勾股定理的公式：

在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是 ，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：

勾股定理是余弦定理中的一個(gè)特例。

勾股定理的證明方法：

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，

“總統(tǒng)證法”示意圖

加菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式。

如果將大正方形邊長(zhǎng)為c的小正方形沿對(duì)角線切開(kāi)，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:

勾股定理的應(yīng)用方法：

小明學(xué)了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2．爸爸笑瞇瞇地聽(tīng)完后說(shuō)：很好，你又掌握了一樣知識(shí)，現(xiàn)在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(下圖備用)

答案: 解：①當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，

證明：作AD⊥BC垂足是D，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，

根據(jù)勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2

整理得：a2+b2=c2+2ax

∵2ax＞0

∴a2+b2＞c2

②當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)

證明：過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線交AC于D點(diǎn)，設(shè)CD的長(zhǎng)為y

在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2

在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，

∴b2-y2=c2-（a+y）2

整理得：a2+b2=c2-2ay

∵2ay＞0，∴a2+b2＜c2．

所以：①在銳角三角形中，a2+b2＞c2．

②在鈍角三角形中，a2+b2＜c2．  

解析: 根據(jù)題意要分銳角三角形、鈍角三角形分別證明，作出它們的高，根據(jù)高是兩個(gè)直角三角形的一個(gè)公用直角邊，利用勾股定理作出證明．

勾股定理的補(bǔ)充資料：

勾股定理的簡(jiǎn)史：

中國(guó)

公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三、股四、弦五”�！吨荀滤憬�(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀(jì)，三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。

在中國(guó)清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對(duì)于勾股定理證法。

外國(guó)

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館內(nèi)收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，也應(yīng)用過(guò)勾股定理。

公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

公元前4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的一個(gè)證法。

1940年《畢達(dá)哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

勾股定理的意義：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；

2、勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理； 

3、勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，它引出了費(fèi)馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值。這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。