本文關(guān)鍵詞：極值分布的高階展開，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：人類之生存.總是與確定性及不確定性相伴.確定性,使得人類安居樂業(yè);不確定性即隨機(jī)性.使得人類對未來充滿希冀、挑戰(zhàn)和風(fēng)險.但世間存在一類隨機(jī)現(xiàn)象,我們稱之為極端隨機(jī)現(xiàn)象,如.2001年的“9.11”恐怖襲擊、2004年的印度洋海嘯、2005年的Kartrina颶風(fēng)、2008年的汶川大地震、2010年的海地大地震、2011年的日本大地震及福島核泄漏、2014年馬來西亞的民航災(zāi)難,當(dāng)然還有影響人類的全球金融危機(jī)和經(jīng)濟(jì)泡沫等.這些事件雖以很小的概率發(fā)生.但對自然界和人類社會極具破壞力.此類風(fēng)險.不僅嚴(yán)重影響人類的生活與生存環(huán)境,同時也威脅為其承擔(dān)風(fēng)險面臨巨額賠付的保險公司之生存.研究此等災(zāi)難性的極端隨機(jī)現(xiàn)象,為各國政府、金融機(jī)構(gòu)和概率統(tǒng)計學(xué)家等共同面對的課題.對極端隨機(jī)現(xiàn)象的研究發(fā)端于Fisher Tippett (1928)對極端順序統(tǒng)計量極值分布類型的研究,之后de Haan等在極值理論基礎(chǔ)方面進(jìn)行了系統(tǒng)研究.見Lead-better et al. (1983)、Embrechts et al.(1997)、Galambos (1987)、Resnick (2007)、de Haan Ferreira (2006)等專著.基于這些理論研究,極值理論廣泛應(yīng)用于金融計量、保險、通訊、工程和環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域,其中漸近估計扮演了重要的角色.如Embrechts et al. (2009a,2009b). Zhou (2010)給出了基于在險值(Value-at-Risk, VaR)的風(fēng)險濃度的一階漸近表示W(wǎng)ang Tang (2006)得到了具有相依隨機(jī)收益率的離散時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的漸近估計Zhu Li(2012)給出了條件尾期望(Conditional Tail Expectation, CTE)的一階漸近表示;等等.但近來學(xué)者們發(fā)現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中單單使用極值分布的極限所得到一階漸近結(jié)果是比較粗糙的,很多時候需要更精確的近似表示.需要知道一階漸近的收斂速度.因此極值理論中有關(guān)高階漸近展開的研究業(yè)已吸引了很多學(xué)者的目光,如Hua Joe (2011)在隨機(jī)變量尾分布為二階正規(guī)變換函數(shù)的條件下.給出了CTE的二階漸近表示Degen et al(2010)和Mao et al(2012)在假設(shè)隨機(jī)變量尾分布漸近光滑條件下得到了基于VaR和CTE的風(fēng)險濃度的二階漸近展開;進(jìn)一步地,在尾分布不再漸近光滑的條件下Mao Hu(2013)得到了類似的二階漸近結(jié)果Lin (2012a)在具有重尾索賠額的更新風(fēng)險模型下建立了破產(chǎn)概率的二階漸近表示;等等.文獻(xiàn)表明.相比于一階漸近結(jié)果,得到二階漸近結(jié)果對于極端事件的預(yù)測、極端事件的風(fēng)險管理和控制起著更好的指導(dǎo)作用.由于高階漸近展開一方面可以提供更精確的近似表達(dá)式.另一方面可以刻畫一階漸近展開的收斂速度.在一定程度上可為確定樣本容量提供依據(jù).因此本篇學(xué)位論文旨在研究極值分布的高階漸近展開.由于多數(shù)實(shí)際數(shù)據(jù)具有有偏、厚尾的特性.能夠很好的被有偏分布、厚尾分布所擬合.對于有偏分布、厚尾分布及其相關(guān)分布以及考慮二維極值分布,研究其極值分布的高階漸近展開.得到更為精確的近似表達(dá)式有其理論及實(shí)際應(yīng)用價值.所以本篇學(xué)位論文主要研究內(nèi)容包括三部分：給定有偏分布的極值極限分布.極值矩以及其高階漸近展開;指數(shù)尾分布卷積的二階展開Husler-Reiss模型及其推廣的極值極限分布及其二階漸近展開,以及相應(yīng)的統(tǒng)計推斷.具體工作如下：第一部分：眾所周知.高頻數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)出非對稱性.有偏分布族因其可以很好的捕捉到這一特性而在金融保險、空間計量、天文學(xué)、水文學(xué)等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用Azzalini (1985)首先給出了維偏正態(tài)分布(SN(λ))的定義,將正態(tài)分布推廣為非對稱的形式.其偏度由形狀參數(shù)λ進(jìn)行調(diào)節(jié).當(dāng)形狀參數(shù)λ為0時,偏正態(tài)分布即為正態(tài)分布Chang Genton(2007)證明了SN(λ)屬于Gumbel分布吸引場,即SN(λ)的極大值分布收斂到Gumbel分布Capitanio(2010)給出了SN(λ)尾部概率的不等式以及漸近表達(dá)式.該結(jié)果表明,與正態(tài)分布類似,SN(λ)也屬于輕尾分布.但許多實(shí)際數(shù)據(jù)除了呈現(xiàn)出有偏的特性.還往往是非負(fù)的,且具有厚尾的特性.由于SN(λ)是輕尾分布.這樣在對有偏厚尾數(shù)據(jù)建立模型時,假定數(shù)據(jù)來自于服從SN(λ)的總體將產(chǎn)生偏誤,此時就需要具有厚尾的有偏分布.因此定義在非負(fù)實(shí)數(shù)集上的對數(shù)偏正態(tài)分布(LSN(λ)因其厚尾有偏的特性.近來倍受學(xué)者們的關(guān)注.得到了廣泛的應(yīng)用.如：擬合家庭收λ數(shù)據(jù)、擬合汽車保險索賠支出、擬合無線通訊數(shù)據(jù)、小兒呼吸道癥狀定群研究、擬合降雨量數(shù)據(jù)等等.第一部分主要考慮SN(λ)和LSN(λ)這兩種有偏分布,研究它們的極大值分布收斂到其極限分布的收斂速度.以及它們極大值分布、極大值矩的高階漸近展開.此部分內(nèi)容由第二章和第三章構(gòu)成.當(dāng)形狀參數(shù)λ為0時.正態(tài)分布(SN(0))、對數(shù)正態(tài)分布(LSN(0))的極值分布極限行為已有許多研究.Hall(1979)和Liao Peng(2012)分別證明了正態(tài)分布和對數(shù)偏正態(tài)分布都屬于Gumbel吸引場,并且得到它們規(guī)范化極大值分布收斂到Gumbel分布的一致收斂速度分別與1/logn和1/(log n)1/2同階.使用不同的規(guī)范常數(shù)Leadbetteret a1.(1983)得到正態(tài)分布極大值分布收斂到Gumbel分布的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度與(log log n)2/(log n)同階Liao Peng(2012)對數(shù)正態(tài)分布極大值分布的收斂速度研究也表明、選擇不同的規(guī)范常數(shù)、將會導(dǎo)出不同的極值分布收斂速度.另外,對于正態(tài)分布Nair(1981)還建立了正態(tài)分布的極大值分布和極大值矩的高階漸近展開表達(dá)式.因此對于SN(λ).此部分將注意力主要集中在λ≠0的情況.第二章首先對SN(λ)進(jìn)行討論.當(dāng)λ≠0時,第二章考慮了其極大值分布在不同規(guī)范常數(shù)下收斂到Gumbel分布的點(diǎn)點(diǎn)速度,建立其極大值分布和極大值矩的高階漸近展開.為了能更好的建立SN(λ)的極值分布和極值矩的高階展開,節(jié)2.2中首先給出SN(λ)的尾部性質(zhì),并得到兩組不同的規(guī)范常數(shù).通過不同的計算方法.節(jié)2.2給出了與Captianio(2010)不同的Mills不等式和Mills率對比正態(tài)分布的Mills不等式和Mills率,當(dāng)形狀參數(shù)λ大于0時,SN(λ)的尾部行為與正態(tài)分布的尾部行為十分類似,只有倍數(shù)上的差別;而當(dāng)λ小于0時,尾部行為就與正態(tài)分布的略有差別.但與Captianio (2010)所得結(jié)果一樣,也可推得SN(λ)是輕尾的.進(jìn)而,得到SN(λ)的分布尾表示.使用分布尾表示以及Leadbetter et al.(1983)所給方法,節(jié)2.2給出兩組不同的規(guī)范常數(shù),并再次證明了SN(λ)極大值分布的極限為Gumbel分布.使用這兩組規(guī)范常數(shù).節(jié)2.3得到了兩種不同的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度.其中使用分布尾表示所導(dǎo)出的規(guī)范常數(shù).給出了一維SN(A)極大值分布的高階展開.其導(dǎo)出的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度與1/log n同階.使用另一組規(guī)范常數(shù),一維SN(λ)極大值分布的收斂速度則與(log logn)2/log n同階.相比之下,由分布尾表示所導(dǎo)出的規(guī)范常數(shù)更優(yōu).使用其所得到的極大值分布收斂速度更好.使用這一組更優(yōu)的規(guī)范常數(shù),在極大值分布高階展開結(jié)果的基礎(chǔ)上,節(jié)2.4建立了一元SN(λ)的極大值矩的高階漸近展開,得到其對應(yīng)的收斂速度亦為1/logn的同階.由于LSN(λ)的極值極限理論還未被研究.第三章主要考慮 LSN(λ)的極大值極限分布,以及其極大值分布、極大值矩的高階漸近展開.根據(jù)SN(λ)與LSN(λ)之間的變換關(guān)系.基于節(jié)2.2中所給出的SN(λ)尾部性質(zhì),節(jié)3.2導(dǎo)出了LSN(λ)的Mills不等式Mills率,更為精確的分布尾部分解及表示;進(jìn)而證明了LSN(λ)不僅是厚尾分布,還是強(qiáng)次指數(shù)分布.類似于在第二章中對SN(λ)的討論.使用由LSN(λ)的分布尾表示所導(dǎo)出的更優(yōu)規(guī)范常數(shù).節(jié)3.3和節(jié)3.4分別建立了LSN(λ)極值分布和極值矩的高階漸近展開表達(dá)式,并得到其極大值分布與極大值矩分別收斂到其極限的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度均與1/(log n)1/2同階.與SN(λ)相比LSN(λ)的極值分布和極值矩的收斂速度都要慢.第二部分：當(dāng)a≥0時.分布族Lα和Sα作為長尾分布族和次指數(shù)分布族的推廣,在分支過程、更新理論、金融保險等領(lǐng)域具有比較廣泛的應(yīng)用.對于α0,Lα被稱為指數(shù)尾(exponential tail)分布：而對于α≥0,Sα被稱為卷積等價(convolution equivalent)分布.特別的.L0和Sα即為長尾分布族和次指數(shù)分布族Embrechts Goldie (1980)指出Lα對卷積運(yùn)算具有封閉性Cline(1986)利用正規(guī)變換函數(shù)(RV)構(gòu)造了兩類指數(shù)尾分布.一類為F(t)=e-αt+χ(t), χ(t)∈ RVρ,0ρ1,α0另一類為G(t)=b(t)e-αt.b(t)∈RVβ,β∈R,α0.Cline(1986)分別得到了這兩類分布卷積的尾分布的一階漸近表示.第二部分則進(jìn)一步考慮了這兩類分布卷積的尾分布的二階漸近表達(dá)式.此部分內(nèi)容由第四章構(gòu)成.在第四章中,分析指出Cline (1986)所構(gòu)造的分布F是指數(shù)尾分布但不是卷積等價分布;而分布G不但是指數(shù)尾分布,當(dāng)β≤一1時G還是卷積等價分布.進(jìn)一步地,如果所構(gòu)造的指數(shù)尾分布F和G中的函數(shù)χ(t),β(t)都為二階正規(guī)變換函數(shù)(2RV),在對應(yīng)的條件下節(jié)4.3得到了這兩類分布卷積的尾分布的二階漸近表達(dá)式.所需要的二階正規(guī)變換函數(shù)的基本結(jié)果由節(jié)4.2給出.第三部分：前兩部分的研究本質(zhì)上為考慮一維隨機(jī)變量相關(guān)的展開,而第三部分則主要關(guān)注二維獨(dú)立高斯三角陣列{(Xni,Yni).1≥i≥n,n≥1}的極值分布的研究,其中(Xni.Yni)的相關(guān)系數(shù)記為ρni.對于獨(dú)立同分布二維高斯隨機(jī)向量序列,即ρni=ρ∈(0,1),Sibuya(1960)證明了其二維極大值分量之間是漸近獨(dú)立的.這在實(shí)際應(yīng)用中可能導(dǎo)致對極端事件概率的嚴(yán)重低估.為了改進(jìn)這一不足Husler Reiss (1989)針對獨(dú)立二維高斯隨機(jī)向量三角陣提出了Husler-Reiss條件.即相關(guān)系數(shù)ρni=ρn滿足limn→∞bn2(1-ρn)=2λ2其中λ∈[0.∞],bn。為規(guī)范常數(shù)且滿足等式(?)n-1bnexp(bn2/2)=1在Husler-Reiss條件下.Husler Reiss (1989)證明了二維獨(dú)立高斯三角陣列的極值極限分布為最大穩(wěn)定Husler-Reiss分布.此結(jié)果表明當(dāng)λ有限時.二維極大值是漸近相依的.近來.當(dāng)λ∈(0.∞)時Hashorva et al.(2014)提出了二階以及三階Husler-Reiss條件,得到了Husler-Reiss模型極大值分布的高階漸近展開式.對于Husler-Reiss模型,第三部分一方面考慮了其極大值分布收斂到對應(yīng)極限分布的一致收斂速度.以及其極大值和極小值聯(lián)合分布的一階、二階極限行為.另一方面,第三部分將Husler-Reiss模型推廣到獨(dú)立非同分布情形.并考慮此推廣的Husler-Reiss模型極大值分布的極限分布及其二階漸近展開表達(dá)式.此部分內(nèi)容由第五、六、七章構(gòu)成.第五章從λ∈(0.∞).λ=0.)λ=∞這三種情況分別討論Husler-Reiss模型規(guī)范化極大值分布的一致收斂速度.當(dāng)λ∈(0,∞)時.使用Hashorva et al.(2014)提出的二階Husler-Reiss條件limn→∞bn2(λn-λ)=α∈R,其中λn=(1/2bn2(1-ρn))1/2,λ∈(0,∞)在此條件下,第五章得到Husler-Reiss模型極大值分布的一致收斂速度是1/log n的同階.當(dāng)二階Husler-Reiss條件不成立時,若|(An一λ)-1]和bn2同階.則一致收斂速度仍然為1/log n的同階；若limn→∞bn2|λn-λ|=∞則一致收斂速度同階于|(λ。-λ)-1|；若bn2(λn-λ)既不收斂,|(λn-λ)-1|和bnw也不同階時.則一致收斂速度不存在.反之.當(dāng)致收斂速度為1/logn時,bn2(λn-λ)的任意子列bn'2,(λn,-λ).倘若不滿足二階Husler-Reiss條件,則必滿足bn',與(λn'-λ)-1同階.類似一維隨機(jī)變量序列極值分布收斂速度的討論,使用不同的規(guī)范常數(shù)Husler-Reiss模型收斂到其極限分布的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度不會比max{(log log n)2/(16 log n),|λn-λ|}更快.對于λ=0和λ=∞兩種極端情況,第五章給出了相應(yīng)的二階條件.并證明這兩種情況下的一致收斂速度與1/logn同階.為了使相關(guān)系數(shù)ρni不但依賴于樣本容量n,還依賴于i.Liao et al.(2014c)推廣了Husler-Reiss條件,假設(shè)相關(guān)系數(shù)ρni是i/n的函數(shù),即ρni=1-m(i/n)/log n其中m(x)為非負(fù)函數(shù)Liao et al. (2014c)考慮了獨(dú)立二維高斯向量三角陣在Copula形式下的極大值極限分布.受此啟發(fā),第六章使用條件ρni=1-m(i/n)/log n將Husler-Reiss模型進(jìn)行推廣.當(dāng)m(x)為正的常值函數(shù)時,所推廣的模型即為Husler-Reiss模型.對于這樣推廣的二維獨(dú)立不同分布高斯隨機(jī)向量三角陣,第六章分別在三種情況下給出了其極大值分布的極限分布.這三種情況分別為：m(x)為[0,1]上的連續(xù)正函數(shù)limn→∞ max1≤i≤n m(i/n)=0, limn→∞ min1≤i≤n m(i/n)=∞進(jìn)一步地,當(dāng),n(x)為[0,1]上單調(diào)、連續(xù)的正函數(shù)時,第六章建立了所推廣模型極大值分布的二階漸近表達(dá)式,并得到極大值分布收斂到其極限分布的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度與(log log n)1/2/log n同階.對于余下兩種情況,在相應(yīng)的二階條件下,第六章也建立了所推廣模型極大值分布的二階漸近表達(dá)式.此時導(dǎo)出的點(diǎn)點(diǎn)收斂速度是1/logn的同階.另一方面.假設(shè)m(x)為多項式函數(shù),即m(x)=α+βxγ,其中α0,β≠0,γ0第六章給出了其中參數(shù)的極大似然估計量,并得到了參數(shù)估計量的漸近正態(tài)性.最后,第六章在m(x)為多項式函數(shù)的假設(shè)下進(jìn)行了隨機(jī)模擬和實(shí)際數(shù)據(jù)擬合.此部分最后一章,即第七章,重點(diǎn)考慮了Husler-Reiss模型規(guī)范化極大值和極小值聯(lián)合分布的漸近行為.此時規(guī)范常數(shù)b。與第五章中略有不同,滿足等式1一Φ(bn)=n-1.其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).第七章仍然從λ∈(0,∞),A=0,λ=∞三種情況來考慮.當(dāng)λ∈(0,∞).分別在一階和二階Husler-Reiss條件下,得到了二維獨(dú)立高斯隨機(jī)三角陣規(guī)范化極大值和極小值的聯(lián)合分布的極限分布.及其二階漸近展開.結(jié)果表明此時極大值和極小值是漸近獨(dú)立的.當(dāng)λ=0和λ=∞時.在相應(yīng)的二：階條件下,得到規(guī)范化極大值和極小值聯(lián)合分布的二階漸近展開表達(dá)式.所得結(jié)果顯示出當(dāng)ρn∈(-1.1]時,極大值和極小值也是漸近獨(dú)立的.而當(dāng)ρn=-1時.極大值和極小值是漸近相依的.另外.第七章所建立的二階漸近展開式表明了在對應(yīng)條件下Husler-Reiss模型規(guī)范化極大值和極小值聯(lián)合分布收斂到其極限分布的收斂速度與1/logn同階.本學(xué)位論文的主要創(chuàng)新點(diǎn)如下1.建立了偏正態(tài)分布SN(λ)及對數(shù)偏正態(tài)分布LSN(λ)的極大值分布和極大值矩的高階漸近展開.2.利用2RV的性質(zhì),刻畫了兩類屬于Weibull類型分布的指數(shù)尾分布的卷積尾分布的二階漸近展開表達(dá)式.3.得到Husler-Reiss模型極大值分布的一致收斂速度、極大值和極小值的聯(lián)合分布高階展開;將Husler-Reiss模型推廣到獨(dú)立不同分布情形.給出其極大值分布的一階和二階漸近展開表達(dá)式：在假設(shè)相關(guān)系數(shù)函數(shù)為帶參數(shù)的函數(shù)時.得到相應(yīng)參數(shù)的極大似然估計量及其漸近正態(tài)性,可用于Husler-Reiss模型假設(shè)的統(tǒng)計推斷.
【關(guān)鍵詞】：二階漸近展開 極大值與極小值 有偏分布 指數(shù)尾分布 H(u|")sler-Reiss模型
【學(xué)位授予單位】：西南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：C81
【目錄】：

• 摘要7-13
• Abstract13-16
• Chapter 1 Introduction16-24
• 1.1 Literature review18-21
• 1.2 Arrangements and main contributions21-24
• Part Ⅰ Asymptotics on Extremes of Skew Distributions24-76
• Chapter 2 Rates of Convergence for Distributions and Moments of Extremes from Skew-normal Samples25-53
• 2.1 Introduction25-27
• 2.2 Priliminary results27-34
• 2.3 Convergence rates of extremes34-43
• 2.4 Expansions for the moments of maxima43-53
• Chapter 3 Expansions on Distributions and Moments of Extremes from Logarithmic Skew-normal Distributions53-76
• 3.1 Introduction53-54
• 3.2 Preliminary results54-58
• 3.3 Expansions for the distributions of maxima58-61
• 3.4 Expansions for the moments of maxima61-76
• Part Ⅱ Tail Asymptotics on Convolution76-110
• Chapter 4 Tail Asymptotics on Convolution of Distributions with Exponential Tails77-110
• 4.1 Introduction77-78
• 4.2 Preliminaries78-80
• 4.3 Main results80-88
• 4.4 Proofs88-110
• Part Ⅲ Asymptotics on Extremes of Bivariate Gaussian Trian-gular Arrays110-177
• Chapter 5 Uniform Convergence Rates on Maxima of a Hüsle-Reiss Model111-138
• 5.1 Introduction111-112
• 5.2 M ain results112-116
• 5.3 Auxiliary lemmas116-124
• 5.4 Proofs124-138
• Chapter 6 Asymptotics and Statistical Inferences on An Extended Hüsler-Reiss Model138-161
• 6.1 Introduction138-139
• 6.2 Methodology139-142
• 6.3 Simulation and data analysis142-144
• 6.4 Proofs144-161
• Chapter 7 Joint Asymptotics on Maxima and Minima of Hüsler-Reiss Model161-175
• 7.1 Introduction161-162
• 7.2 Main results162-164
• 7.3 Auxiliary lemmas164-169
• 7.4 Proofs169-175
• Chapter 8 Conclusions and future research175-177
• Bibliography177-190
• Publications190-192
• Acknowledgements192

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 ;General Regular Variation of n-th Order and the 2nd Order Edgeworth Expansion of the Extreme Value Distribution (Ⅰ)[J];Acta Mathematica Sinica(English Series);2005年05期

2 HASHORVA Enkelejd;LING ChengXiu;PENG ZuoXiang;;Tail asymptotic expansions for L-statistics[J];Science China(Mathematics);2014年10期

  本文關(guān)鍵詞：極值分布的高階展開，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：463202