本文關鍵詞：分數(shù)布朗運動及其相關過程在倒向隨機微分方程和金融衍生品定價中的應用，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：近年來,分數(shù)布朗運動作為布朗運動的擴展形式已經(jīng)引起越來越多人們的關注,它既不是半鞅,又不是馬爾科夫過程,因此我們不能用經(jīng)典的隨機分析來討論它.分數(shù)布朗運動具有自相似性和長期依賴性等重要性質,它能更確切地刻畫一些事物的內在特性,因此,分數(shù)布朗運動在金融、經(jīng)濟、物理、化學、生態(tài)、航天等領域有著重要的應用.本文主要研究分數(shù)布朗運動及其相關過程在倒向隨機微分方程和金融衍生品定價中的應用,首先研究多維分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的解,通過構造一個壓縮映射,用擬條件期望和不動點原理,證明解的存在唯一性.接著研究分數(shù)布朗運動的相關過程即混合分數(shù)布朗運動、帶跳分數(shù)布朗運動和帶跳混合分數(shù)布朗運動在金融衍生品定價中的應用.下面將介紹論文的主要研究內容和創(chuàng)新之處.第一章,介紹了研究背景以及第二章至第六章中研究的主要問題.第二章,介紹了一維情形下分數(shù)布朗運動與本文相關的一些重要結果,為本文的研究打下堅實的基礎.例如：分數(shù)Ito公式,擬條件期望,擬鞅,Girsonov定理等,接著研究了分數(shù)布朗運動在可分離債券定價中的應用.本章的創(chuàng)新之處：考慮了股票的稀釋因子,用公司價值的波動率來對可分離債券進行定價,改善了傳統(tǒng)用股票價格波動率得到的結果.第三章,首先回顧多維分數(shù)布朗運動的Ito公式,接著給出多維分數(shù)布朗運動的擬條件期望定義,并討論了它的一些性質.在一些基本假設下,利用擬條件期望和不動點原理,得到了多維分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程解的存在唯一性,最后研究了多維分數(shù)布朗運動驅動的線性倒向隨機微分方程解的存在唯一性.本章的創(chuàng)新之處：考慮的倒向隨機微分方程由一個分數(shù)布朗運動驅動的擴展為由多維分數(shù)布朗運動驅動的,且終端條件的自變量由一維擴展為多維.本章來源于：Miao J., Yang X., Solutions to BSDEs driven by multidimensional fractional Brow-nian motions,已被Mathematical Problems in Engineering接收.第四章,研究了混合分數(shù)布朗運動下期權的定價.假設標的資產(chǎn)的價格服從由混合分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,期望收益率和波動率都是時間t的確定性連續(xù)函數(shù),利用擬條件期望和概率公式得到歐式期權更一般的定價模型,從而擴展了傳統(tǒng)模型.接著我們在混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下研究交換期權的定價,分別假設標的資產(chǎn)價格滿足帶有常數(shù)參數(shù)和時變參數(shù)的由混合分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,得到相應的交換期權定價模型.為了更好地理解此模型,我們以歐式期權的定價模型為例,討論期權價格對各個參數(shù)變化的敏感性,通過數(shù)值實驗比較了我們模型和傳統(tǒng)模型的理論值,并進一步實驗了期權價格與赫斯特指數(shù)和系數(shù)ε之間的關系.本章的創(chuàng)新之處：(1)將標的資產(chǎn)價格的期望收益率和波動率由常數(shù)擴展為時間的確定性連續(xù)函數(shù),得到了更一般的歐式期權的定價模型.(2)研究交換期權的定價時,將分數(shù)布朗運動驅動的金融市場擴展為由混合分數(shù)布朗運動驅動的.(3)本章理論研究和數(shù)值實驗相結合.本章來源于：Miao J., Pricing models for options in a mixed fractional Brownian motion environ-ment,已完成.第五章,研究了帶跳分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用.首先證明了帶跳分數(shù)布朗運動的Ito公式,接著給出帶跳分數(shù)布朗運動的擬條件期望定義,并推導了帶跳分數(shù)布朗運動的Girsanov定理.最后,將帶跳分數(shù)布朗運動應用到歐式期權定價,假設標的資產(chǎn)價格滿足由帶跳分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,用擬鞅方法,得到了帶跳分數(shù)布朗運動下期權的定價模型.本章的創(chuàng)新之處：(1)證明了帶跳分數(shù)布朗運動的Ito公式,擴展了分數(shù)Ito公式.(2)推導了帶跳分數(shù)布朗運動的Girsanov定理,擴展了分數(shù)Girsanov定理.(3)將期權的定價環(huán)境擴展為由帶跳分數(shù)布朗運動驅動的金融市場.本章來源于：Miao J., Yang X., Stochastic calculus for fractional Brownian motion with Poisson jumps and application,已投稿.第六章,研究了帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券的定價.首先給出帶跳混合分數(shù)布朗運動的Ito公式,接著假設標的資產(chǎn)滿足由帶跳混合分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,用風險中性定價原理和擬條件期望,得到了可轉換債券的更一般的定價模型.然后討論了可轉換債券的價格關于各個參數(shù)變化的敏感性以及參數(shù)的估計方法,通過數(shù)值實驗將帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券定價模型與傳統(tǒng)定價模型所得到的理論值進行比較,得到由我們模型計算的可轉換債券的價格大于傳統(tǒng)模型所計算的價格,并作圖分析了可轉換債券價格與跳參數(shù)和赫斯特指數(shù)之間的變化關系.本章的創(chuàng)新之處：(1)通過定價環(huán)境的改變,得到了可轉換債券更一般的定價模型.(2)理論研究和數(shù)值實驗相結合,對定價模型進行更好地分析.本章來源于Miao J., Yang X., Pricing model for convertible bonds in a mixed fractional Browni-an motion with jumps environment,已被East Asian Journal on Applied Mathematics接收.第七章,對本文的研究進行總結,并提出了將來可能的研究方向.下面是本文的主要研究結論.第二章分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用本章首先回顧了分數(shù)布朗運動的隨機積分,在這個基礎上,假設公司價值滿足由分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,得到了一個更符合實際的可分離債券的定價公式,在此模型當中,考慮股票的稀釋因子,用公司價值波動率代替?zhèn)鹘y(tǒng)的股票價格波動率.這一章的主要結論如下：定理2.3.1.假設公司價值滿足隨機微分方程則在風險中性市場中,可分離債券在任意時刻t(t[0,T1])的價格Pt可以表示為其中N(·)是標準正態(tài)分布函數(shù).公司價值波動率與股票價格波動率之間的關系如下：將上式代入定理2.3.1中,得到下面重要定理定理2.3.2.在風險中性市場中,可分離債券在任意時刻t(t∈[0,T1])的價格Pt可以表示為下面非線性微分方程第三章 多維分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的解本章研究了多維分數(shù)布朗運動驅動的更一般的倒向隨機微分方程的解,通過構造一個壓縮映射,用擬條件期望和不動點原理,證明了解的存在唯一性.這一章的主要結論如下：定義3.2.1.(擬條件期望)隨機變量F∈L2(Ω,F,P)關于帶有赫斯特指數(shù)為Hj的分數(shù)布朗運動的擬條件期望被定義為其中設G∈L2(Ω,F,P),因為BtHj,j=1,…,m是相互獨立的分數(shù)布朗運動,由定義3.2.1,我們得到定理3.2.2.設和G=9(ηT),其中ηT=(η1(T),…,ηn(T)).假設對任意的s∈[0,T],σij(s),i=1,···,n,j=1,…,m是可測的,且對令At=(Aij(t))是-個n×n-矩陣,其中如果F≥G幾乎處處成立,則且考慮下面的倒向隨機微分方程：其中這里BsH1,…,BsHm是相互獨立的分別帶有赫斯特指數(shù)為H1,…,Hm的分數(shù)布朗運動.假設(H1)xi(0),i=1,…,n是給定的常數(shù).(H2)對i=1,…,n,bi：[0,T]-→R是確定性連續(xù)函數(shù).(H3)對i,j=1,…,n,k=1,…,m,σik：[0,T]→R是確定性連續(xù)函數(shù),且[d/dtσik,σjkk,t]]0,其中(H4)對i=1,…,n,j=1,…,m,其中σij(t)=∫0t(t,r)σ(r)dr.(h5)g(x)是關于x的連續(xù)可微函數(shù)且滿足多項式增長.(H6)f(t,z,y,z)是一個關于t一階連續(xù)可微關于x,y,z二階連續(xù)可微的函數(shù),因此,存在一個常數(shù)L0,使得對所有的t∈[0,T],x∈R,y,y'∈R,z,z'∈Rm,我們有定理3.3.1.如果方程(3.25)有一個解u(t,x),這個解關于t一階連續(xù)可微,關于x二階連續(xù)可微,則引理3.3.1.設a(s,x),θj(s,x),j=1,…,m是關于t連續(xù)和關于x連續(xù)可微的函數(shù),且滿足多項式增長條件.假設(H3)成立,如果則定理3.3.2.假設(H3)成立,并設方程(3.22)有下面形式的解(yt=u(t, xt),z1,t=v1(s,xs),,z1,t=vm(s,xs)),則定理3.3.3.假設(H5)-(H6)成立,設yt=φ(t,xt)和z1,t=φ1(t,xt),…,zm,t=φ。(t,xt)∈C,則方程(3.28)的解(Yt,Z1,t,…,Zm,t)滿足Y,Z1,.,…Zm,.∈VT.定理3.3.4.假設(H1)-(H6)成立,則倒向隨機微分方程(3.22)在VT中有唯一解.定理3.4.1.設αt,βt,γi,t,i=1,…,m是給定的連續(xù)適應過程,且ζ∈FT.假設其中bi,r=γi,r+∫0rDτHiβsds.則(3.40)的解存在唯一.而且,我們有第四章 混合分數(shù)布朗運動下期權的定價假設標的資產(chǎn)價格過程滿足由混合分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,利用擬鞅和隨機概率的方法,得到了更一般的歐式期權和交換期權的定價模型.并通過數(shù)值實驗,比較了混合分數(shù)布朗運動下期權定價模型與傳統(tǒng)模型的理論值.這一章的主要結論如下：定理4.1.2.(混合分數(shù)Ito公式)設1/2H1,令其中Xo為常數(shù),9滿足滿足設F∈C1,2([0,T]×R)存在有界的二階偏導數(shù),則對任意t∈[0,T],有其中DsXs表示關于布朗運動的Mallivan導數(shù),DsHXs表示關于分數(shù)布朗運動的φ一導數(shù).特別地,當9和f為確定性函數(shù)時,則其中定理4.2.1.對任意t∈[0,T]和σt是時間t的確定性連續(xù)函數(shù),有定理4.2.2.設函數(shù)f滿足E[f(BT,BTH)]∞,則對任意t∈[0,T]和σt是時間t的確定性連續(xù)函數(shù),則定理4.2.3.設函數(shù)f滿足E[f(BT,BTH)]∞,令則對任意t∈[0,T],有定理4.2.4.任意有FT可測的未定權益F∈L2(Ω,FT,Q)在任意時刻t∈[0,T]的價格為定理4.3.1.假設股票價格滿足隨機微分方程則在風險中性概率測度下,歐式上漲期權在任意時刻t∈[0,T]的價格C(t,St)為其中N(·)為標準正態(tài)分布函數(shù).推論4.3.1.在定理中,當rt=r,σt=σ都為常數(shù)時,則歐式上漲期權在任意時刻t∈[0,T]的價格為其中定理4.4.1.假設資產(chǎn)價格滿足方程則在風險中性概率測度下,交換期權在任意時刻t∈[0,T]的價格P(t,母,St2)為其中N(·)為標準正態(tài)分布函數(shù).定理4.4.2.假設資產(chǎn)價格滿足方程則在風險中性概率測度下,交換期權在任意時刻t∈[0,T]的價格P(t,母,St2)為其中N(·)為標準正態(tài)分布函數(shù).第五章 帶跳分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用本章首先證明了帶跳分數(shù)布朗運動的Ito公式,接著推導了帶跳分數(shù)布朗運動的Gir-sanov定理.最后,假設標的資產(chǎn)價格滿足由帶跳分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,用擬鞅方法,得到了帶跳分數(shù)布朗運動下的期權定價模型.這一章的主要結論如下：定理5.2.1.(一維Ito公式)設其中X0是常數(shù),as,βs和γs(z)是可測過程,使得對所有的t∈[0,T],有設f：[0,T]×R→R是屬于C1,2([0,T]×R)且存在有界的二階偏導數(shù)的函數(shù),則定理5.2.2.(多維It6公式)給定一個J-維獨立的分數(shù)布朗運動BtH=(BtH1,…,BtHJ)T,t∈[0,T],和K維獨立的補償Poisson隨機測度N(dt,dz)=(N1(dt,dz1),…,Nk(dt,dzK))T,t∈ [0,T],z=(z1…,zK)∈RK令其中α：[0,T]→Rn,β：[0,T]→Rn×J,且γ：[0,T]×RK→Rn×K是可測過程,使得對任意t∈[0,T],i=1,…,n積分存在,即且滿足其中設f：[0,T]×Rn→R是屬于C1,2([0,T]×Rn)且存在有界二階偏導數(shù)的函數(shù).則其中γs(k)是n×K矩陣γ=[γik]的第k列,γs(ik)是γs(k))的第i行對應的隨機變量R定理5.3.4.(Girsanov定理)設T0,θ(s,z)≤ 1,s∈[0,T],z∈R是可測過程,ζ是一個連續(xù)函數(shù)且suppζ(?) [0,T],u是一個函數(shù)且suppu (?) [0,T],使得對任t∈[0,T],任意f∈S(R)且supp f(?)[0,T],有令且滿足E[Z(T)]=1.假設Z(T)滿足Novikov條件在FT上定義新概率測度Q為定義過程BQ(t)和隨機測度NQ(dt, dz)分別為和則BQH(·)是關于(Ft,Q)的分數(shù)布朗運動,NQ(·,·)是NQ(·,·)的關于(Ft,Q)的補償Poisson隨機測度.定理5.4.2.假設標的資產(chǎn)的價格St滿足：其中Nt=Nt-λt.設p=E[U],則則歐式上漲期權在任意時刻t(t∈[0,T])的價格V(t)可以表示為其中ε。表示Πi=1n(1+Ui)的分布期望算子,N(·)是標準正態(tài)分布函數(shù).第六章 帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券的定價本章假設標的資產(chǎn)滿足由帶跳混合分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程,用風險中性定價原理和擬條件期望,得到了可轉換債券更一般的定價模型.接著討論了可轉換債券的價格關于各個參數(shù)變化的敏感性.通過數(shù)值實驗將帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券的定價模型與傳統(tǒng)定價模型所得到的理論值進行比較.這一章的主要結論如下定理6.1.1.(Ito公式)設其中X0是常數(shù),αs,βs和γs(z)是確定性函數(shù),使得對所有的t∈[0,T],有設f：[0,T]×R→R是屬于c1,2([0,T]×R)且存在有界的二階偏導數(shù)的函數(shù),則定理6.2.3.股票的價格St滿足微分方程則帶有面值F和轉換價格Gv的可轉換債券的價格V(t,St)在任意時刻t∈[0,T]可以表示為其中定理6.3.1.設V=V(t,St)是可轉換債券在時刻t∈[0,T]的價格,由定理6.2.3,一般參數(shù)的影響可以表示為注6.1.由定理6.3.1,我們容易得到△≥0，Γ≥0,%紽≥0,%紺v≤0,vσ≥0和ρr≤0,因此,可轉換債券的價格是St,F和σ的增函數(shù),是Gv和r的減函數(shù).�！�0說明在投資組合中,投資于風險資產(chǎn)的比例隨著風險資產(chǎn)價格的增大而增大.定理6.3.2.假設V=V(t,St)是可轉換債券在時刻t∈[0,T]的價格,由定理6.2.3,赫斯特指數(shù)的影響可以表示為注6.2.由定理6.3.2,我們容易得到(?)V/(?)H≥0,因此可轉換債券的價格隨著赫斯特指數(shù)的增大而增大.定理6.3.3.設V=V(t,St)是可轉換債券在時刻t∈[0,T]的價格,由定理6.2.3,跳參數(shù)的影響可以表示為從圖6.1我們可以看出可轉換債券的價格是參數(shù)λ,μU和σU的增函數(shù).
【關鍵詞】：分數(shù)布朗運動 混合分數(shù)布朗運動 帶跳分數(shù)布朗運動 帶跳混合分數(shù)布朗運動 擬條件期望 Ito公式
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：F830;O211.63
【目錄】：

• 中文摘要8-22
• 英文摘要22-38
• 符號說明38-39
• 第一章 引言39-45
• 1.1 研究背景39-41
• 1.1.1 經(jīng)典倒向隨機微分方程的發(fā)展39-40
• 1.1.2 分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的發(fā)展40
• 1.1.3 分數(shù)布朗運動相關過程的應用進展40-41
• 1.2 研究內容41-45
• 1.2.1 分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用41
• 1.2.2 多維分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的解41-42
• 1.2.3 混合分數(shù)布朗運動下期權的定價42
• 1.2.4 帶跳分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用42-43
• 1.2.5 帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券的定價43-45
• 第二章 分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用45-56
• 2.1 分數(shù)布朗運動的定義和性質45-46
• 2.2 分數(shù)布朗運動的隨機積分46-52
• 2.2.1 分數(shù)Ito公式48-49
• 2.2.2 擬條件期望49-51
• 2.2.3 分數(shù)Girsanov定理51-52
• 2.3 可分離債券定價中的應用52-55
• 2.3.1 基本假設52
• 2.3.2 定價模型52-55
• 2.4 小結55-56
• 第三章 多維分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的解56-74
• 3.1 多維分數(shù)布朗運動57-62
• 3.2 擬條件期望62-64
• 3.3 解的存在唯一性64-71
• 3.4 線性倒向隨機微分方程解的存在唯一性71-73
• 3.5 小結73-74
• 第四章 混合分數(shù)布朗運動下期權的定價74-95
• 4.1 混合分數(shù)布朗運動75-77
• 4.2 一些重要定理77-82
• 4.3 歐式期權的定價82-86
• 4.4 交換期權的定價86-89
• 4.4.1 常數(shù)參數(shù)下交換期權的定價模型86-89
• 4.4.2 時變參數(shù)下交換期權的定價模型89
• 4.5 期權價格的敏感性分析89-92
• 4.6 數(shù)值實驗92-94
• 4.7 小結94-95
• 第五章 帶跳分數(shù)布朗運動的隨機積分及應用95-113
• 5.1 Poisson過程95-98
• 5.2 帶跳分數(shù)Ito公式98-103
• 5.3 帶跳分數(shù)Girsanov定理103-109
• 5.4 期權定價中的應用109-112
• 5.5 小結112-113
• 第六章 帶跳混合分數(shù)布朗運動下可轉換債券的定價113-126
• 6.1 帶跳混合分數(shù)布朗運動114-116
• 6.2 可轉換債券的定價116-121
• 6.2.1 市場假設116-118
• 6.2.2 定價模型118-121
• 6.3 定價模型的性質121-122
• 6.4 參數(shù)的估計方法122-123
• 6.5 數(shù)值實驗123-124
• 6.6 小結124-126
• 第七章 結論與展望126-129
• 7.1 結論126-127
• 7.2 展望127-129
• 7.2.1 帶跳分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的解127
• 7.2.2 分數(shù)布朗運動驅動的倒向隨機微分方程的數(shù)值計算127-128
• 7.2.3 混合布朗運動中布朗運動和分數(shù)布朗運動不獨立128
• 7.2.4 參數(shù)的有效估計128-129
• 參考文獻129-138
• 攻讀博士學位期間發(fā)表及完成的論文138-139
• 致謝139-140
• 附件140

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 孫玉東;師義民;;混合分數(shù)布朗運動下亞式期權定價[J];經(jīng)濟數(shù)學;2011年01期

  本文關鍵詞：分數(shù)布朗運動及其相關過程在倒向隨機微分方程和金融衍生品定價中的應用，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

本文編號：296706