本文關鍵詞：擬蒙特卡洛方法在高維度、非線性金融問題中的新進展

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【摘要】：金融中的許多問題無法顯式求解,故不得不借助蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法或者擬蒙特卡洛(quasi-Monte Carlo,QMC)方法。QMC方法作為一個重要的數(shù)值計算工具,能夠達到比MC方法更高的收斂階。然而,QMC的效率嚴重依賴于問題的維數(shù)和間斷結構。已有許多研究致力于處理接近線性的金融問題中的高維度和間斷結構。但是對于非線性程度較高的金融問題,適用的方法則很少,因而是QMC方法在金融領域面臨的重大挑戰(zhàn)。本論文將展示在非線性程度較高的金融問題中,如何克服高維度和間斷這兩個影響QMC效率的障礙。首先,本文提出一種一般的降維方法—基于聚類分析的降維方法(the clustering analysis based QR method,CQR)。該方法旨在降低目標函數(shù)的有效維數(shù),使得QMC點列在若干初始維度的均勻性可以被充分利用。該降維方法首次將機器學習的思想引入到QMC領域。該方法使用k均值聚類算法(k means clustering algorithm),選擇目標函數(shù)中具有代表性的線性結構,用它們構造目標函數(shù)的匹配函數(shù),然后針對匹配函數(shù)實施有效的降維策略。房地產(chǎn)抵押債券的定價問題一直是QMC應用的挑戰(zhàn)。本文用該模型來測試CQR方法對QMC精度的改進效果,數(shù)值結果表明該方法在處理金融問題的高維度方面有效且穩(wěn)定。受Wang和Tan[1]工作的啟發(fā),本文提出一種間斷面的自動調(diào)整方法(autorealignment method)來處理較為復雜的間斷型函數(shù)。間斷結構在期權定價及對沖問題中很常見,對QMC方法的精確性有重大影響。聚類算法可用于選取間斷面上具有代表性的法向量來刻畫間斷結構的特征�；谶@些自動識別的信息來調(diào)整間斷面,目標函數(shù)的間斷面可轉化為“QMC友好型”。數(shù)值結果證實了間斷面自動調(diào)整方法可以顯著提高QMC方法的效率。本文還設計了一種同時處理目標函數(shù)高維度和間斷結構的兩步驟方法,即光滑化QMC-CQR方法。第一步,采用合適的光滑化技術移除目標函數(shù)的間斷點,以提高其光滑性。第二步,使用CQR方法對新目標函數(shù)進行降維。大量奇異期權定價及希臘字母估計的數(shù)值結果證實了,相較單獨處理問題的高維度或間斷結構,把光滑化技術和降維方法結合起來可以更為顯著地改進QMC方法的效率。本文提出的CQR方法、間斷結構的自動調(diào)整方法和光滑化QMC-CQR方法對復雜模型如L′evy過程同樣適用且成效顯著。
【學位授予單位】：清華大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：F830.9;O242.2

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