本文關(guān)鍵詞：非線性期望下的極限理論及其在金融中的應(yīng)用

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【摘要】：對非線性期望空間中極限理論的研究,一方面源于近些年人們對數(shù)量經(jīng)濟、金融風(fēng)險度量和量子力學(xué)等領(lǐng)域中不確定性和模糊問題的思考,另一方面也是經(jīng)典線性概率論與數(shù)理統(tǒng)計中基礎(chǔ)理論研究發(fā)展的一個趨勢。自從20世紀(jì)現(xiàn)代意義的金融衍生品誕生以來,風(fēng)險便再也沒有離開過金融市場。無論是盛極一時的長期資本管理公司(Long Term Capital Management)的曇花一現(xiàn),還是擁有著百年歷史的雷曼兄弟(Lehman Brothers)的轟然倒塌,都與充滿著不確定性的金融風(fēng)險息息相關(guān)。早在1921年,Knight (1921)就對金融市場中傳統(tǒng)意義上的風(fēng)險進行了區(qū)分,一類來源于可以計量的不確定性,即市場參與者對刻畫金融產(chǎn)品的概率分布有廣泛的共識,這種不確定性稱之為Knight意義下的風(fēng)險(Knightian Risk);另一類來源于不可計量的不確定性,即風(fēng)險管理者們不能把握金融產(chǎn)品確切的概率分布,或者市場參與者們對金融產(chǎn)品持有一族不同概率測度P,這種不確定性稱為Knight不確定性(Knightian Uncertainty)或者模糊(Ambiguity)。對于模糊的研究,一直是經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的一個重要問題,比如Ellsberg (1961)中著名的Ellsberg悖論,諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者的工作Hansen, Sargent和Tallarini (1999), Hansen和Sargent (2001)中借助模糊對宏觀經(jīng)濟的討論,以及在資本市場價格行為領(lǐng)域里Epstein和Wang (1994), Chen和Epstein (2002)對資產(chǎn)定價理論的研究。研究中人們發(fā)現(xiàn),經(jīng)典概率論中對于概率和期望的線性假設(shè)已經(jīng)難以刻畫風(fēng)險行為的次線性本質(zhì)。針對這些問題,Peng(1997)在倒向隨機微分方程(BSDE)的基礎(chǔ)上提出了一項全新的非線性期望-g-期望,對金融中很多不確定性問題做出了合理的解釋。另一方面Artzner, Delbaen, Eber和Heath(1999)從金融數(shù)學(xué)的角度引入了一致風(fēng)險度量(Coherent Risk Measure)的概念,即賦予在未定權(quán)益X上的一個次線性泛函ρ(X),其本質(zhì)就是次線性數(shù)學(xué)期望。實際上,研究風(fēng)險的次線性行為就是研究次線性期望,而在不確定性環(huán)境下,次線性期望也給人們評估金融風(fēng)險提供了一個穩(wěn)健的方法。然而在以往借助g-期望或一致風(fēng)險度量對金融問題的研究中,通常都是對有限個金融產(chǎn)品的組合在給定的一段時間上進行討論,比如Barrieu和Karoui (2004), Chen和Kulperger (2006), Biagini, Fouque, Frittelli和Meyer-Brandis (2015)。隨著大數(shù)據(jù)時代金融數(shù)據(jù)爆炸式的激增,和對未來金融風(fēng)險預(yù)測需求的加劇,如何在不確定的環(huán)境下利用這些穩(wěn)健的工具對金融市場中未定權(quán)益的極限行為進行評估,便成為一個有趣的問題。另一方面,除了能夠恰如其分的對金融和經(jīng)濟問題進行解釋之外,非線性期望和容度也有非常重要的理論價值。實際上早在1953年,Choquet(1953)就首次引入了容度(Capacity)和Choquet積分的概念,這是經(jīng)典線性概率論的一個重要發(fā)展；受到隨機集的啟發(fā),Dempster(1967)用不同的方式定義了上下概率和相應(yīng)的期望；在g-期望的基礎(chǔ)上,Peng(2010)進一步引入了一個更加一般的次線性期望框架——G-期望。特別的,這些非線性期望空間中的極限理論,作為經(jīng)典概率論基礎(chǔ)理論的重要發(fā)展和延續(xù),一直是學(xué)者們關(guān)心和研究的一個熱點,相關(guān)的工作請參見Walley和Fine (1982),Dow和W-erlang (1994), Marinacci (1999), Epstein和Schneider (2003), Maccheroni 和 Marinacci (2005), Cooman和Miranda(2008), Chen和Wu(2011), Chen, Wu和Li (2013), Teran (2013), Zhang (2014), Chen和Chen(2014)。這些學(xué)者們在不同的空間中利用不同的假設(shè)條件得到了許多有意義的結(jié)果,然而如何對他們的假設(shè)條件進行弱化,給出一般次線性期望空間下的極限定理也是一個很有意義的問題。針對上述問題,本篇博士論文主要進行了下列研究工作,得到的結(jié)果是比較有趣和有創(chuàng)新性的：1、從一個金融問題出發(fā),借助g-期望的性質(zhì)研究了股票價格在Knight不確定性環(huán)境下的極限行為,并將方法推廣到一族不連續(xù)概率測度的最大期望生成的次線性期望空間中。2、對g-期望空間中布朗運動的極限理論進行了深入的研究,首次發(fā)現(xiàn)了一般次線性期望空間和g-期望空間的極限關(guān)系,給出了聯(lián)結(jié)兩個次線性空間的大數(shù)定律,這是一個很有創(chuàng)新性的結(jié)果,由此我們得到了一般次線性期望空間中隨機變量不同形式的大數(shù)定律及其相互等價條件,隨后將研究結(jié)果應(yīng)用到某些實際的金融風(fēng)險度量問題中,同時對股票價格的極限行為也有了更深的理解。3、借助次線性期望下的極限理論對數(shù)論中若干著名的猜想進行了討論和再認(rèn)識,首次在容度意義下給出了部分支持性結(jié)論。雖然隨機框架下的證明并不意味著數(shù)論猜想的解決,但鑒于概率論中某些極限定理的最初思想正是來源于數(shù)論,我們認(rèn)為,這種討論和再認(rèn)識作為概率論對數(shù)論的一種回歸也是一個非常有趣的問題。4、進一步研究了G-期望空間中的大數(shù)定律,最后我們將經(jīng)典隨機分析中的某些方程平穩(wěn)性和收斂問題推廣到了G-隨機分析的框架下。下面我們就來介紹下每章的工作,這些結(jié)果由我在博士期間完成的7篇論文整合而成,其中2篇已經(jīng)在SCI期刊上正式發(fā)表。第一章我們從一個金融問題出發(fā),在Chen和Epstein(2002)的框架下,研究了金融市場中基礎(chǔ)證券—股票的價格在Knight不確定性環(huán)境下的極限行為,首次得到了g-期望空間(Ω,F,εκ,Pκ)中股票價格的大數(shù)定律。隨后我們將該方法推廣到由最大期望EP=supP∈PEP生成的次線性期望空間(Ω,F,P,EP)中,給出了一列指數(shù)獨立隨機變量的大數(shù)定律,與g-期望空間不同的是,概率測度族P中的概率不再絕對連續(xù)�！�1.1 Knight不確定性環(huán)境下股票價格的大數(shù)定律本章中,以下列幾何布朗運動表示金融市場中的股票價格：其中h,σ≥0為常數(shù),S0為正值隨機變量。定義1.與Chen和Epstein(2002)一樣,我們引入下列概率測度族來描述金融市場中的Knight不確定性環(huán)境,即常數(shù)k用來表示市場中模糊性的程度,被記為κ-忽略(Ignorance)。定義概率測度族Pκ的最大概率和最小概率為和(PK,PK)實際上為倒向隨機微分方程在生成元函數(shù)g(t,y,z)=k|z|時誘導(dǎo)的一對g-風(fēng)險容度,不具有線性的可列可加性。同時由于g-期望和g-容度的時間一致性,我們對上述定義中的符號不做時間上的區(qū)分。定理1.令{Si)i=1∞為股票價格過程(0.0.1)在時刻t=1,2,...的值,記Sn=logSn-log So,且κ:=h-1/2σ2+kσ和κ:=h-1/2σ2-kσ,則對任意的ε0有和在市場中,波動率一般是正的,但我們依然給出對σ≤0的數(shù)學(xué)結(jié)果。推論1.當(dāng)σ0時,令{Si}i=1∞為隨機微分方程(0.0.1)的解在t=1,2,...的值,記Sn=log Sn-log S0,則對任意的ε0有和推論2.當(dāng)σ=0時,記Sn=log Sn-log S0,則對任意的ε0有下列結(jié)果給出了Knight不確定性環(huán)境下股票價格在無窮時刻的一個穩(wěn)健的區(qū)間估計。定理2.對任意的ε0,1.當(dāng)σ≥0時,有2.當(dāng)σ0時,有·1.2股票價格的大數(shù)定律在一般次線性期望空間中的推廣我們將定理1的方法推廣到更一般的次線性期望空間中,首先在9-期望空間中考慮下列更為一般的方程形式定理3.考慮上述FBSDE系統(tǒng),若其中9函數(shù)與y無關(guān),且對z具有次可加性和正齊次性。記εg和(Pg,Pg)為相應(yīng)的g-期望與g-容度。令Sn=∑i=1nXi= ∑i=1n(φi(Xi)-φi-1(X-1)),若存在可測函數(shù)φi使得對任意的i∈N+有εg[Xi]=εg[X1]和-εg[-Xi]=-εg[-X1],且εg[Xi2]∞,則對任意的ε0有和在g一期望框架下,Pκ中的概率測度是絕對連續(xù)的。對更為一般的非空概率測度集合P,考慮由最大期望EP[X]:=supP∈PEp[X]生成的次線性期望空間(Ω,F,P,EP)。定義2.(指數(shù)獨立)在次線性期望空間(Ω,F,P,EP)中,若對指數(shù)函數(shù)φ(x)=ex,有稱隨機變量Y在EP[·]下指數(shù)獨立于X。相應(yīng)的,若對任意的i=1,2,…,Xi+1指數(shù)獨立于∑j=1i,Xj,則稱一列隨機變量{Xi}i=1∞滿足指數(shù)獨立。指數(shù)獨立實際上是經(jīng)典概率論中負(fù)相關(guān)概念在次線性期望空間下的延伸,可見第一章注記1.10的討論。在指數(shù)獨立條件下我們有下列大數(shù)定律：定理4.假若{Xi}i=1∞為次線性期望空間(Ω,F,P,EP)中一列指數(shù)獨立的隨機變量,若對某些Ω0,有supi∈N+EP[|Xi|1+α]∞,EP[Xi]=μ和EP[-Xi]=μ。記 Sn=∑i=1nXi,并且VP(A):=supP∈PP(A),vP(A):=invP∈PP(A)為相應(yīng)的上下容度。則對任意的ε0有和第二章 本章的工作分為兩大部分,受第一章啟發(fā),我們對g-期望空間下布朗運動的極限理論進行了深入的研究,得到了布朗運動兩種形式的大數(shù)定律,及其大偏差原理和中心極限定理。另一方面,與以往極限理論研究中只針對一個空間不同,我們首次發(fā)現(xiàn)了一般次線性期望空間(Q,F,E)和g-期望空間(Ω,F,εg)的極限關(guān)系,給出了聯(lián)結(jié)兩個空間的大數(shù)定律,這意味著(Ω,F：E)中∑i=1nXi/n的極限行為都可以由(Q,F,εg)下布朗運動的均值魯來進行研究。借助后者的性質(zhì),我們給出(Q,F,E)中卷積獨立隨機變量多種形式的大數(shù)定律及其相互等價條件。與第一章不同的是,本章的次線性期望E不需要是一族概率生成的最大期望,且隨機變量的獨立假設(shè)更為一般,因此證明方法也完全不同。隨后我們將研究結(jié)果應(yīng)用到某些實際的金融風(fēng)險度量情形中,同時對股票價格的極限行為也有了更深的理解�！�2.1 g-期望空間下布朗運動的極限理論定義3.考慮(Ω.F,P)中兩個倒向隨機微分方程：和其中μ≤μ。上述兩個倒向隨機微分方程誘導(dǎo)的g-期望和g-容度分別記為(εg,Pg)和(εg,Pg)。由于g-期望和g-容度的時間一致性,和第一章一樣我們對符號不做時間上的區(qū)分。引理1.εg|ζ|=-εg[-ζ],ζ∈L2(Ω,F,P).由引理1,記(Ω,F,εg)為倒向隨機微分方程(0.0.2)和(0.0.3)誘導(dǎo)的g-期望空間,其中(Pg,Pg)為空間中的上下g-容度。下邊我們介紹(Ω,F,εg)中布朗運動的兩條大數(shù)定律,及其大偏差原理和中心極限定理。定理5.在g-期望空間(Ω,F,εg)中,我們有下列期望形式的大數(shù)定律,即對任意的函數(shù)φ∈Cb(R),定理6.記Pg為倒向隨機微分方程(0.0.3)誘導(dǎo)的g-容度,即Pg(A)=εg[IA]=-εg[-IA]。則對于任意的ε0,有定理7.在g-期望空間(Ω,F,εg)中,下列兩條大數(shù)定律相互等價：1.對于任意的￡0,有2.對任意的函數(shù)φ∈Cb(R),有定理8.記Pg和Pg分別為g-期望空間(Q,F,εg)中的上下g-容度,即Pg(A)=εg[IA]和Pg(A)=εg[IA]=-ε[-IA],則布朗運動有下列的大偏差原理：1.對任意的2.對任意的3.對任意的4.對任意的定理9.在g-期望空間(Ω,F,εg)中,布朗運動有下列的中心極限定理,即對任意的X∈R：和其中Φ(X)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)�！�2.2一般次線性期望空間與g-期望空間的極限關(guān)系定義4.考慮可測空間(Ω,F),記H為其上隨機變量的集合。如果可測空間(Ω,F,H)上的泛函E：H→(-∞,+∞)滿足下列四條性質(zhì),稱E為一個次線性期望,即1.單調(diào)性：E[X]≥E[Y]若X≥Y；2.保常性：E[c]=c若c為常數(shù);3.次可加性：E[X+Y]≤E[X]+E[Y];4.正齊次性：E[λX]=λE[X]若常數(shù)λ≥0.稱(Q,F,E)為次線性期望空間。對給定的次線性期望E,定義其相應(yīng)的對偶期望為ε[X]=-E[-X],相應(yīng)的一對伴隨容度分別為V(A)=E[IA],v(A)=ε[IA],A∈F,這里的次線性期望E比第一章中的EP更為一般,不必是一族概率生成的最大期望的形式。定義5.(卷積獨立)在次線性期望空間(Q,F,E)中,若對給定的函數(shù)φ有則稱隨機變量Y∈H關(guān)于φ在次線性期望E下卷積獨立于X∈H。相應(yīng)的,若對任意的i=1,2,…,Xi+1關(guān)于φ卷積獨立于∑j=1iXj,則稱一列隨機變量{X}I=1∞(?)H在次線性期望E下滿足關(guān)于φ的卷積獨立。次線性期望下卷積獨立的思想,源于經(jīng)典概率論中比獨立還要弱的卷積關(guān)系,也進一步放寬了Peng(2010)中隨機變量在G-期望下的獨立性假設(shè),詳細(xì)的分析請參見第二章的注記2.4,注記2.5和注記2.6。定理10.(兩個空間的極限關(guān)系)考慮次線性期望空間(Ω,F,E),若空間中的一列隨機變量{Xi}i=1∞對任意的φ∈Cb2(R)在次線性期望E下滿足關(guān)于φ的卷積獨立,且有相同的一階矩,即E[Xi]=μ,ε[XI]=μ并且有supi∈N+E[|Xi|2]∞。記Sn:=∑i=1nXi,εg為倒向隨機微分方程(0.0.2)誘導(dǎo)的g-期望,則對任意的φ∈Cb(R),有定理10意味著一般次線性期望空間(Ω,F,E)中∑i=1nXi/n的極限行為都可以通過g-期望空間((Ω,F,εg)下布朗運動均值魯來進行研究,則結(jié)合g-期望的有關(guān)性質(zhì),我們可以得到下列一般次線性期望空間下隨機變量的大數(shù)定律。定理11.{Xi}i=1∞為滿足定理10假設(shè)條件的一列隨機變量,記Sn=∑i=1nXi,則對任意的φ∈Cb(R),有定理12.{Xi}i=1∞為次線性期望空間(Ω,F,E)中的一列隨機變量,對任意非負(fù)單調(diào)的φ∈Cb2(R)在次線性期望E下滿足關(guān)于φ的卷積獨立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]= μ,supi∈N+E[|Xi|2]∞。v為給定次線性期望空間(Ω,F,E)中的伴隨容度,即v(A)=ε[IA],則對任意的ε0,由于獨立性條件和期望的定義不同,定理12與第一章的定理4雖然結(jié)果形式相似,但并不相互包含,其證明方法也截然不同。下列定理給出了次線性期望空間中三條大數(shù)定律等價的一個充分條件。定理13.給定次線性期望空間(Ω,F,E),{Xi)i=1∞1(?)H為空間中一列隨機變量,對任意的φ∈Cb+(R)滿足E下的卷積獨立,且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ,supi∈N+E[|Xi|2]∞。記Sn:=∑i=1nXi,v(A)=ε[IA],A∈F。下列的三條大數(shù)定律相互等價：Ⅰ.對任意的函數(shù)φ∈Cb(R),Ⅱ.對任意的￡0,Ⅲ.對任意的函數(shù)φ∈Cb(R),我們還給出了本章結(jié)果對某些一致風(fēng)險度量的應(yīng)用,也得到了對股票價格極限行為的一些更深的理解,請參見§2.2.5節(jié)和§2.5節(jié)。第三章本章的工作也分為兩大部分,第一部分在G-期望框架下,借助G-BSDE引入了一類新的不具有次可加性的非線性期望,并給出了此期望下的一個大數(shù)定律。第二部分,運用次線性期望極限理論的思想,對數(shù)論中若干著名猜想進行了討論和再認(rèn)識,在容度意義下給出了部分支持性結(jié)論�！�3.1 G-期望空間中的大數(shù)定律本章的研究是在Peng(2010)提出的G-期望框架下進行的。下列收斂性結(jié)果實際上是定理15的引理,其本身也可以看成是隨機變量在次線性期望空間下的一個p階大數(shù)定律。定理14.{Xi}i=1∞為次線性期望空間(Ω,H,E)中的一列R-值隨機變量,且{Xi}i=1∞(？) LGp(Ω),p∈N,若Xi+1d=Xi,Xi+1獨立于{X1,…,Xi),i=1,2,…,且有E[X1]=-E[-X1]。記Sn:=∑i=1nXi,則當(dāng)n→ o∞,定義6.考慮下列G-布朗運動驅(qū)動的倒向隨機微分方程(G-BSDE),令EtG[ξ]:=YtT,ξ,特別的,當(dāng)t=0時,我們有由G-BSDE誘導(dǎo)的非線性數(shù)學(xué)期望EG[ζ]。下邊我們給出這個非線性期望下的一個大數(shù)定律。定理15.{Xi}i=1∞為(Ω,H,E)中的一列R-值隨機變量,且{Xi}i=1∞(?)LG2(ΩT)。假設(shè)對任意的i=1,2,…,Xi+1d=Xi且Xi+1獨立于X1,…,Xi,且有E[X1]=-E[-X1]。令Sn:=∑i=1nXi,則對任意的φ∈Cb,Lip(R),有●3.2借助次線性期望極限理論對數(shù)論猜想的再認(rèn)識定義7.Mobius函數(shù)是定義在正整數(shù)上的如下函數(shù),即數(shù)論中Mertens函數(shù)定義為M(N)=∑n=1N μ(n),Mertens函數(shù)在黎曼猜想的研究中有非常的重要的意義,例如在數(shù)論中有下列非常著名的黎曼猜想的等價命題：命題1.令ζ(s)表示Riemann-Zeta函數(shù),則下列的兩條猜想等價：1.對所有的ε0,存在一個常數(shù)Cε使得|M(N)+≤CεN1/2+ε。2.(黎曼猜想)若ζ(s)=0對某些實部滿足0Re(s)1的s成立,則Re(s)=1/2。由于Mobius函數(shù)在數(shù)論中具有特殊的隨機性,參見注記3.7、注記3.8和§3.2.3節(jié)的討論,我們將μ(n),n=1,2,3...看作一個次線性期望空間(Ω,F,P,E)下一列IID的隨機變量,(V,v)分別為概率測度族P的上下容度,則我們在次線性期望空間下對Mertens函數(shù)有如下估計：定理16.記M(N)=∑n=1Nμ(n),則有M(N)=O((?))q.s.v.定理17.若{bN}為一列非負(fù)的遞增數(shù)列,且N1/2/bN→0,則對任給的ε0,有l(wèi)imN→∞v(|M(N)|≤εbN)=1.推論3.對任意的ε0,存在常數(shù)Cε0,使得Mertens函數(shù)有形如命題1中的下列估計,LimN→∞v(|M(N)|≤CεN1/2+ε)=1.注記1.考慮到對任意的ε0,存在一個常數(shù)Cε使得(?)CεNε,結(jié)合命題1,上述三條結(jié)論表明黎曼猜想在容度v的意義下成立,即在隨機意義下為黎曼猜想成立提供了支持性結(jié)論。值得一提的是次線性期望的討論框架,比以往概率數(shù)論中對μ(n)的假設(shè)更加合理,請參見注記3.6,注記3.7和注記3.8。注記2.Good和Churchhouse(1968)提出了下列關(guān)于Mertens函數(shù)的猜想,一直沒有得到證明或否定,即結(jié)合定理16,我們認(rèn)為這個猜想的正確性在很大程度上值得懷疑。注記3.Odlyzko和te Riele(1985)中提出了另一個關(guān)于Mertens函數(shù)的猜想,即我們給出了這個估計在容度意義下成立的結(jié)論,即定理18。定理18.記M(N)=∑n=1Nμ(n),則有第四章本章將一些經(jīng)典的結(jié)果推廣到了G-期望的框架下,研究了G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程(G-SDE)的均方概周期解及其平穩(wěn)性質(zhì),討論了G-SDE在容度下的漸近穩(wěn)定性和G-BSDE的解關(guān)于系數(shù)的穩(wěn)定性。·4.1 G-SDE的均方概周期解及其漸近穩(wěn)定性定理19.考慮下列G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程,若系數(shù)滿足§4.1.2節(jié)中假設(shè)(H1)和(H2),且有則G-SDE(0.0.5)存在唯一的均方概周期溫和解。例子1.考慮下列具備Dirichlet條件的一維G-SDE,令其中D(A)={x∈C1[0,1]|x'(r)在[0.,1]上絕對連續(xù),x"∈L2[0,1],x(0)=x(1)=0).容易驗證G-SDE(0.0.6)滿足§4.1.2節(jié)中假設(shè)(H1)和(H2),則由定理19可知其存在唯一的均方概周期溫和解。定理20.若方程(0.0.5)滿足定理19的條件,且有則其唯一的均方概周期溫和解Xt*在均方意義下漸近穩(wěn)定�！�4.2 G-SDE在容度下的漸近穩(wěn)定性定理21.考慮下列G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程若存在正定函數(shù)V(x,t) ∈C2,1(Sh×[0,∞))使得對任意的(X,t)∈Sh×[0,∞)有則G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v隨機穩(wěn)定。定理22.若存在正定漸減函數(shù)V(x,t) ∈C2,1(Sh×[0,∞))使得為負(fù)定的,則方程(0.0.7)的平凡解在容度V意義下隨機漸近穩(wěn)定。定理23.若存在正定漸減徑向無界的函數(shù)V(x,t)∈C2,1(R×[0,∞))使得為負(fù)定的,則方程(0.0.7)的平凡解在容度V意義下隨機充分漸近穩(wěn)定。注記4.在上述三個定理的證明中考慮下列函數(shù)可以將結(jié)果推廣到下列h≠0的G-SDE,例子2.考慮G-SDE(0.0.7),假設(shè)系數(shù)在x=0的一個小鄰域中對t一致滿足如下條件其中f(t)和9(t)為有界實值函數(shù)。進一步假設(shè)存在一對正值的常數(shù)H和K使得和且對G-期望E,令0≤σ≤σ=1,則我們可以定義下列函數(shù)由此容易驗證函數(shù)V(x,t)滿足定理22的條件,則G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v隨機穩(wěn)定,且在容度V意義下隨機漸近穩(wěn)定�！�4.3G-BSDE的解關(guān)于參數(shù)的穩(wěn)定性在本節(jié),我們考慮下列一族依賴參數(shù)δ(d≥0)的G-BSDE,定理24.假設(shè)G-BSDE(0.0.8)的系數(shù)滿足§4.2.3節(jié)中假設(shè)(A1),(A2)和(A3),則方程的解Kα有如下的穩(wěn)定性,即當(dāng)δ→0,定理25.假設(shè)G-BSDE(0.0.8)的系數(shù)滿足§4.2.3節(jié)中假設(shè)(A1),(A2)和(A4),則方程的解(Ytδ,Ztδ,Ktδ)∈gG∝(0,T)有如下的穩(wěn)定性,即當(dāng)δ→0,
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O211.4;F830

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4 邢福弟;極限理論的建立及其意義[J];海南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);1996年01期

5 郭書春;;劉徽的極限理論[J];自然辯證法通訊;1982年03期

6 楊建雅;淺談極限理論教學(xué)[J];運城高等�？茖W(xué)校學(xué)報;2000年03期

7 李經(jīng)文;極限理論的發(fā)展及其歷史評價[J];邵陽師范高等�？茖W(xué)校學(xué)報;2001年05期

8 孟燕玲;;極限理論中各種收斂性之間的關(guān)系[J];河南科技學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版);2006年04期

9 田力;;極限理論與測度理論的互補性[J];科技信息(學(xué)術(shù)研究);2007年27期

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1 趙臨龍;杜貴春;王昭海;;高等數(shù)學(xué)極限理論教學(xué)改革的研究與實踐[A];數(shù)學(xué)·力學(xué)·物理學(xué)·高新技術(shù)研究進展——2002（9）卷——中國數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究會第9屆學(xué)術(shù)研討會論文集[C];2002年

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3 賀鵬;一個高階離散mKdV方程的連續(xù)極限理論[D];上海交通大學(xué);2011年

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本文編號：1259614