本文關(guān)鍵詞：Armendariz環(huán)及其擴(kuò)張

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【摘要】：Armendariz環(huán)的概念是由Rege和Chhawchharia于1997年提出來(lái)的.設(shè)R為環(huán),任取f,g ∈ R[x],其中若FG=0蘊(yùn)含aiBJ=0,(?)0≤i≤n,0 ≤J≤m,則環(huán)R稱為Armendariz環(huán).之所以采用Armendariz環(huán)這個(gè)術(shù)語(yǔ),是因?yàn)锳rmendariz于1974年證明了：約化環(huán)是Armendariz環(huán)Rege和Chhawchharia給出了很多Armendariz環(huán)和非Armendariz環(huán)的例子,同時(shí)給出了與Armendariz環(huán)相關(guān)的一些環(huán)的定義,開(kāi)啟了Armendariz環(huán)的研究的先河.1998年Anderson和Camillo進(jìn)一步研究了Armendariz環(huán)的性質(zhì),給出了Armendariz環(huán)的許多深刻的結(jié)果.隨著Armendariz環(huán)的深入研究,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者開(kāi)始研究Armendariz環(huán)的推廣并引入了許多與Armendariz環(huán)相關(guān)的概念.Lee和Wong于2003年引入弱Armendariz環(huán),劉仲奎等在2006年定義了另一種弱Armendariz環(huán),Huh在2007年引入了π-Armendariz環(huán),Antoine在2008年定義了詣零Armendariz環(huán).這些環(huán)都是Armendariz環(huán)的推廣.對(duì)于Armendariz環(huán),Anderson和Camillo在1998年證明了R是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x]是Armendariz環(huán),并證明了R[x]/(xn)(n≥2)是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化環(huán).對(duì)于Lee和Wong定義的弱Armendariz環(huán)可以得到同樣的結(jié)論.基于對(duì)上述環(huán)的討論,我們引入了一種新的相關(guān)Armendariz環(huán),我們定義了相對(duì)Armendariz環(huán).設(shè)B是R的子環(huán),我們定義：若對(duì)任意使得f(x)g(x)=0,總有aibj ∈ B,0≤ i≤m,0≤ j≤n,則稱R為關(guān)于子環(huán)的相對(duì)Armendariz環(huán),簡(jiǎn)稱為B-Armendariz環(huán).顯然Armendariz環(huán)和中心Armendariz環(huán)都是關(guān)于子環(huán)的相對(duì)Armendariz環(huán).同時(shí)我們引入了最小子環(huán)ρ,我們以ρ為工具研究環(huán)的Armendariz'性質(zhì).使得B-Armendariz環(huán)的一些性質(zhì)用p來(lái)陳述得到更簡(jiǎn)潔的做法.對(duì)于B-Armendariz環(huán)我們主要證明了：定理2.1.2.R是B-Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x]是B [x]-Armendariz環(huán).上面這個(gè)定理分別推廣了Anderson和Camillo以及Agayev等人的己知結(jié)果.對(duì)于最小子環(huán)ρ,我們證明了下面結(jié)論：定理2.2.1.ρ是R的理想.定理2.2.3.設(shè)I是R的理想使得R/I和I都是Armendariz環(huán).如果R或I是半素環(huán),則R是Armendariz環(huán).定理2.2.6.p(R[x])= p(R)[x].定理2.2.7.對(duì)于正整數(shù)n1,視R為R[x]/(xn)子環(huán),則R[x]/(xn)相對(duì)于R是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化環(huán).設(shè)R是環(huán),M是左R-右R-雙模.令T(R,M)表示如下形式的上三角矩陣按照通常方法定義的矩陣加法和乘法所構(gòu)成的環(huán)：T(R,M)稱為R通過(guò)M的平凡擴(kuò)張.關(guān)于平凡擴(kuò)張我們得到下面結(jié)論：定理2.2.8.p(T(R, M))＝T(ρ(R),N),其中N是生成的M的R-R子雙模,Cf表示f(x)的系數(shù)構(gòu)成的集合.定理2.2.9.設(shè)R,S都是有1環(huán),M是左R右S雙模則Anderson和Camillo在1998年指出對(duì)于半素的左右Noetherian環(huán)R,則R是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Q(R)是約化環(huán).從而Kim和Lee進(jìn)一步得到推論若R是vonNeumann正則環(huán)[19]且假設(shè)存在R的古典右商環(huán)Q(R),則下面等價(jià)：R是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Q(R)是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Q(R)是約化環(huán).本文在半素環(huán)的條件下研究了R和R的商環(huán)的Armendariz性之間的關(guān)系.本文主要得到了下面結(jié)論：定理3.2.1.設(shè)R是半素環(huán),則R是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Qs是Armendariz環(huán).定理3.2.2.設(shè)R是有1半素右Goldie環(huán),Qr表示R的Martindala右商環(huán),Qm,表示R的極大右商環(huán).則下列等價(jià)(1)R是Armendariz環(huán);(2)Qr是Armendariz環(huán);(3)Qmr是Arnlendariz環(huán).我們還研究了素Armendariz環(huán)與零化子,我們得到下面結(jié)論：定理3.3.1.對(duì)于素環(huán)R,下列條件等價(jià).(1)R是(1,1)-Armendariz環(huán);(2)對(duì)于任意正整數(shù)n,R是(1,n)-Armendariz環(huán):(3)對(duì)于任意正整數(shù)n,R是(n,1)-Armendariz環(huán):(4)R的元素的左零化子之集是一個(gè)線性序集;(5)R的元素的右零化子之集是一個(gè)線性序集;(6){r(a)|a∈R)∪{l(a)|a∈R)是線性序集.并且我們利用零化子給出了環(huán)R是(2,2)-Armendariz環(huán)和(2,3)-Armendariz環(huán)的兩個(gè)條件.本文還研究了交換環(huán)上的Armendariz.性質(zhì).得到以下結(jié)論：定理4.1.1.若G(I)={xi0y(n-i0),xi1y(n-i1),…,xisy(n-is)),i0i1…is,則R/I是Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)it=i0+t,1≤t≤s.這里G(I)={u1,…,up)表示I的唯一的由系數(shù)為1的單項(xiàng)式構(gòu)成的極小生成集.我們還給出0維Armendariz局部環(huán)的一些性質(zhì).定理4.2.1.設(shè)R是交換的Artin局部環(huán),如果R是Armendariz環(huán),則對(duì)于任意理想C均有dimlC(0:Cm)≥diml(0:Cm)/(0:C).Armendariz環(huán)的商環(huán)未必是Armendariz環(huán),因此商環(huán)的Armendariz性質(zhì)便成為大家關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題.我們考慮了整環(huán)和GCD環(huán)關(guān)于主理想的商環(huán),其中GCD環(huán)定義如下：設(shè)R是整環(huán),如果R中的任意兩個(gè)元素都有最大公因式,則稱R為GCD環(huán).本文證明了下面結(jié)論：定理4.3.2.若R是GCD環(huán),F是R上的本原多項(xiàng)式,則R[x]/(f)是Armendariz環(huán).環(huán)R稱為半交換環(huán),如果ab=0蘊(yùn)含aRb= 0, (?) a, b ∈ R交換環(huán)和Armendariz環(huán)介于約化環(huán)和Abel環(huán)中間,但是二者沒(méi)有必然聯(lián)系.本文在第五章則給出了一個(gè)既是Armendariz環(huán)又是半交換環(huán)的例子.記為環(huán)R上3階矩陣環(huán)M3(R)的一個(gè)子環(huán)我們證明了如下定理：定理5.2.1.設(shè)R是約化環(huán),a,β,γ是環(huán)R的相容自同態(tài),那么S3(R)是半交換環(huán).定理5.2.2.如果R是約化環(huán),α,β是R的相容自同態(tài),那么S3(R)是Armendariz環(huán).
【關(guān)鍵詞】：Armendariz環(huán) 相對(duì)Armendriz環(huán) 單項(xiàng)式理想 半交換環(huán) 對(duì)稱商環(huán)
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O153.3
【目錄】：

• 摘要4-8
• Abstract8-13
• 符號(hào)約定13-14
• 第1章 緒論14-26
• 1.1 背景14-17
• 1.2 綜述17-21
• 1.3 本文的主要結(jié)果21-26
• 第2章 相對(duì)Armendariz性質(zhì)26-40
• 2.1 關(guān)于子環(huán)的相對(duì)Armendariz環(huán)26-31
• 2.2 相對(duì)Armendariz想31-40
• 第3章 半素的Armendariz環(huán)40-54
• 3.1 半素環(huán)的擴(kuò)張理論40-42
• 3.2 半素Armendariz環(huán)的對(duì)稱商環(huán)42-44
• 3.3 素Armendariz環(huán)與零化子44-54
• 第4章 交換的Armendariz環(huán)54-66
• 4.1 單項(xiàng)式理想的商環(huán)的Armendariz性質(zhì)54-59
• 4.2 Armendariz局部環(huán)59-63
• 4.3 整環(huán)關(guān)于主理想的商環(huán)的Armendariz性質(zhì)63-66
• 第5章 一類特殊的Armendariz環(huán)66-74
• 5.1 引言66-67
• 5.2 主要結(jié)論67-74
• 參考文獻(xiàn)74-80
• 作者簡(jiǎn)介及在學(xué)期間所取得的科研成果80-82
• 致謝82

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本文編號(hào)：873315