本文關(guān)鍵詞：幾類隨機(jī)偏微分方程與Kolmogorov方程的相關(guān)問(wèn)題研究

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【摘要】：隨著隨機(jī)偏微分方程理論的不斷發(fā)展,Kolmogorov方程的應(yīng)用研究也得到了許多的關(guān)注,例如在流體動(dòng)力學(xué),化學(xué),種群生物學(xué),數(shù)學(xué)金融學(xué)以及分布參數(shù)控制系統(tǒng)理論等等領(lǐng)域的研究中它都有著重要的地位.本文主要研究了對(duì)應(yīng)于幾類帶有乘性噪聲的無(wú)窮維隨機(jī)偏微分方程的Kolmogorov方程及其相關(guān)的問(wèn)題.本篇博士論文共分為六章. 第一章介紹隨機(jī)偏微分方程和Kolmogorov方程的一些相關(guān)背景知識(shí)和發(fā)展現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)要敘述本文的主要研究?jī)?nèi)容. 第二章給出一些本文所用到的知識(shí),包括概率論和隨機(jī)過(guò)程中的基本概念,Markov半群的一些基本知識(shí),無(wú)窮維隨機(jī)分析中的一些重要結(jié)果以及其他的一些相關(guān)知識(shí). 第三章研究了Kolmogorov方程經(jīng)典解的存在性.首先考慮具有Dirichlet邊界條件的帶有乘性噪聲的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程,在方程存在唯一的適度解(mild解)的條件下,進(jìn)而引出對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移半群和Kolmogorov方程.然后利用奇異型的Gronwall不等式得到了方程適度解的正則性估計(jì),結(jié)合Galerkin逼近和有限維情形下的結(jié)果得到了Kolmogorov方程經(jīng)典解的存在性.緊接著討論了轉(zhuǎn)移半群的性質(zhì)以及不變測(cè)度的存在性(和唯一性).推廣和改進(jìn)了部分已有的結(jié)果. 第四章研究了Fokker-Planck方程(即Kolmogorov方程的對(duì)偶方程)解的存在唯一性.首先考慮可分Hilbert空間上一般的隨機(jī)偏微分方程,在方程的適度解存在唯一的條件下,給出了其解所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移半群和Kolmogorov算子.通過(guò)分析它們的性質(zhì),證明了轉(zhuǎn)移半群在適當(dāng)帶權(quán)空間中的無(wú)窮小生成元和與Kolmogorov算子之間的聯(lián)系.進(jìn)而得到了相對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck方程解的存在唯一性.其研究方法與已有文獻(xiàn)明顯不同,所得結(jié)果推廣了現(xiàn)有的一些研究成果. 第五章考慮[0,l]區(qū)間上由柱狀Wiener過(guò)程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Burgers方程.通過(guò)利用分解公式對(duì)適度解中的隨機(jī)卷積項(xiàng)在Hilbert空間和內(nèi)插空間的正則性分析,研究了方程適度解對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移半群的不變測(cè)度的矩估計(jì),從而得到它在Hilbert空間和內(nèi)插空間中的有界性.最后證明了Kolmogorov算子的耗散性.這些結(jié)果是新的. 第六章給出論文的簡(jiǎn)要總結(jié)以及今后進(jìn)一步的研究方向的說(shuō)明.
【關(guān)鍵詞】：隨機(jī)偏微分方程 Kolmogorov方程 Fokker-Planck方程 隨機(jī)Burgers方程 Kolmogorov算子 轉(zhuǎn)移半群 不變測(cè)度
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O211.63
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目錄8-10
• 1 緒論10-18
• 1.1 歷史背景10-11
• 1.2 研究現(xiàn)狀和本文研究?jī)?nèi)容11-18
• 2 預(yù)備知識(shí)18-26
• 2.1 概率論和隨機(jī)過(guò)程的預(yù)備知識(shí)18-19
• 2.2 Markov半群的預(yù)備知識(shí)19-21
• 2.3 無(wú)窮維隨機(jī)分析的一些重要結(jié)果21-22
• 2.4 其他的相關(guān)知識(shí)22-26
• 3 Kolmogorov方程26-51
• 3.1 引言26-27
• 3.2 預(yù)備知識(shí)27-31
• 3.3 解的估計(jì)31-38
• 3.4 kolmogorov方程解的存在性38-42
• 3.5 不變測(cè)度42-45
• 3.6 分部積分公式45-49
• 3.7 補(bǔ)充說(shuō)明49-51
• 4 Fokker-Planck方程51-77
• 4.1 引言51-53
• 4.2 預(yù)備知識(shí)53-56
• 4.3 轉(zhuǎn)移半群56-60
• 4.4 生成元的核60-73
• 4.5 Fokker-Planck方程解的存在唯一性73-75
• 4.6 補(bǔ)充說(shuō)明75-77
• 5 隨機(jī)Burgers方程的不變測(cè)度的矩估計(jì)77-97
• 5.1 引言77-78
• 5.2 預(yù)備知識(shí)78-81
• 5.3 不變測(cè)度的矩估計(jì)81-89
• 5.4 轉(zhuǎn)移半群與Kolmogorov算子89-96
• 5.5 補(bǔ)充說(shuō)明96-97
• 6 總結(jié)與展望97-100
• 致謝100-102
• 參考文獻(xiàn)102-112
• 攻讀學(xué)位期間發(fā)表和完成的論文目錄112

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本文編號(hào)：775806