本文關鍵詞：幾類隨機偏微分方程與Kolmogorov方程的相關問題研究

  更多相關文章： 隨機偏微分方程 Kolmogorov方程 Fokker-Planck方程 隨機Burgers方程 Kolmogorov算子 轉移半群 不變測度

【摘要】：隨著隨機偏微分方程理論的不斷發(fā)展,Kolmogorov方程的應用研究也得到了許多的關注,例如在流體動力學,化學,種群生物學,數(shù)學金融學以及分布參數(shù)控制系統(tǒng)理論等等領域的研究中它都有著重要的地位.本文主要研究了對應于幾類帶有乘性噪聲的無窮維隨機偏微分方程的Kolmogorov方程及其相關的問題.本篇博士論文共分為六章. 第一章介紹隨機偏微分方程和Kolmogorov方程的一些相關背景知識和發(fā)展現(xiàn)狀,并簡要敘述本文的主要研究內(nèi)容. 第二章給出一些本文所用到的知識,包括概率論和隨機過程中的基本概念,Markov半群的一些基本知識,無窮維隨機分析中的一些重要結果以及其他的一些相關知識. 第三章研究了Kolmogorov方程經(jīng)典解的存在性.首先考慮具有Dirichlet邊界條件的帶有乘性噪聲的隨機反應擴散方程,在方程存在唯一的適度解(mild解)的條件下,進而引出對應的轉移半群和Kolmogorov方程.然后利用奇異型的Gronwall不等式得到了方程適度解的正則性估計,結合Galerkin逼近和有限維情形下的結果得到了Kolmogorov方程經(jīng)典解的存在性.緊接著討論了轉移半群的性質以及不變測度的存在性(和唯一性).推廣和改進了部分已有的結果. 第四章研究了Fokker-Planck方程(即Kolmogorov方程的對偶方程)解的存在唯一性.首先考慮可分Hilbert空間上一般的隨機偏微分方程,在方程的適度解存在唯一的條件下,給出了其解所對應的轉移半群和Kolmogorov算子.通過分析它們的性質,證明了轉移半群在適當帶權空間中的無窮小生成元和與Kolmogorov算子之間的聯(lián)系.進而得到了相對應的Fokker-Planck方程解的存在唯一性.其研究方法與已有文獻明顯不同,所得結果推廣了現(xiàn)有的一些研究成果. 第五章考慮[0,l]區(qū)間上由柱狀Wiener過程驅動的隨機Burgers方程.通過利用分解公式對適度解中的隨機卷積項在Hilbert空間和內(nèi)插空間的正則性分析,研究了方程適度解對應的轉移半群的不變測度的矩估計,從而得到它在Hilbert空間和內(nèi)插空間中的有界性.最后證明了Kolmogorov算子的耗散性.這些結果是新的. 第六章給出論文的簡要總結以及今后進一步的研究方向的說明.
【關鍵詞】：隨機偏微分方程 Kolmogorov方程 Fokker-Planck方程 隨機Burgers方程 Kolmogorov算子 轉移半群 不變測度
【學位授予單位】：華中科技大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O211.63
【目錄】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目錄8-10
• 1 緒論10-18
• 1.1 歷史背景10-11
• 1.2 研究現(xiàn)狀和本文研究內(nèi)容11-18
• 2 預備知識18-26
• 2.1 概率論和隨機過程的預備知識18-19
• 2.2 Markov半群的預備知識19-21
• 2.3 無窮維隨機分析的一些重要結果21-22
• 2.4 其他的相關知識22-26
• 3 Kolmogorov方程26-51
• 3.1 引言26-27
• 3.2 預備知識27-31
• 3.3 解的估計31-38
• 3.4 kolmogorov方程解的存在性38-42
• 3.5 不變測度42-45
• 3.6 分部積分公式45-49
• 3.7 補充說明49-51
• 4 Fokker-Planck方程51-77
• 4.1 引言51-53
• 4.2 預備知識53-56
• 4.3 轉移半群56-60
• 4.4 生成元的核60-73
• 4.5 Fokker-Planck方程解的存在唯一性73-75
• 4.6 補充說明75-77
• 5 隨機Burgers方程的不變測度的矩估計77-97
• 5.1 引言77-78
• 5.2 預備知識78-81
• 5.3 不變測度的矩估計81-89
• 5.4 轉移半群與Kolmogorov算子89-96
• 5.5 補充說明96-97
• 6 總結與展望97-100
• 致謝100-102
• 參考文獻102-112
• 攻讀學位期間發(fā)表和完成的論文目錄112

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本文編號：775806