本文關(guān)鍵詞：半群的全局指數(shù)κ-耗散性及全空間上非均勻的反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子問題

  更多相關(guān)文章： 全局指數(shù)κ-耗散 全局吸引子 反應(yīng)擴(kuò)散方程 無界區(qū)域

【摘要】：在這篇博士學(xué)位論文中,我們主要考慮無窮維耗散動力系統(tǒng)的解的長時間行為.本文主要分為兩個部分,第一部分(第三章)我們利用非緊性測度κ,首次給出了完備的度量空間中連續(xù)半群{S(t)}t≥0的全局指數(shù)κ-耗散性的概念,并且證明了若連續(xù)半群{S(t))t≥0具有有界吸收集,而且是全局指數(shù)κ-耗散的,則一定存在一個正不變的緊子集A*,使得A*指數(shù)吸引任意有界集,見定理3.2.進(jìn)一步,若半群{S(t)}t≥0滿足一定的連續(xù)性假設(shè),并且全局吸引子是有限維的,則A*的Hausdorff維數(shù)也是有限維的,見定理3.6.然后為了應(yīng)用上的方便,我們給出了幾個重要的全局指數(shù)κ-耗散的判定方法,見定理3.8,定理3.9,定理3.12,定理3.13和定理3.14.在這一章的最后,我們應(yīng)用這些判定方法,證明了一類反應(yīng)擴(kuò)散方程和一類帶弱阻尼的波方程是全局指數(shù)κ-耗散的,見定理3.17和定理3.20.在本文的第二部分中,考慮了幾類全空間Rn上非均勻的反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子問題.在第四章中,主要討論一類帶廣義導(dǎo)數(shù)項的非均勻反應(yīng)擴(kuò)散方程,并且非線性項不滿足結(jié)構(gòu)性條件,我們運(yùn)用ω-極限緊的方法以及截斷函數(shù)的技巧,證明了其全局吸引子在空間L2(Rn)中的存在性,見定理4.7.在第五章中,我們討論兩類非均勻的實(shí)Ginzburg-Landau方程,其中第一類方程的特點(diǎn)是主部算子非正定,第二類方程的特點(diǎn)是主部算子在零點(diǎn)附近強(qiáng)不定,非線性項是強(qiáng)制的.由于第一類方程的主部算子非正定,因而不能由Gronwall不等式得到L2(Rn)中的有界吸收集.為了克服這個困難,我們利用能量泛函的單調(diào)性,并結(jié)合變分原理的思想,得到了Lp(Rn)中的有界吸收集,然后用截斷函數(shù)的技巧,并再次結(jié)合能量泛函的單調(diào)性證明了方程的解在外區(qū)域上一致小,從而得到解的半群的ω-極限緊性,最終證明了空間Lp(Rn)中全局吸引子的存在性,見定理5.5.在第二類方程中,由Gronwall不等式可以得到方程的解在某個正則性較高的帶權(quán)空間中存在有界吸收集,再由緊嵌入定理可得L2(Rn)中的全局吸引子的存在性,見定理5.12.進(jìn)一步,運(yùn)用Z2-指標(biāo)理論證明該全局吸引子的分形維數(shù)是無窮維的,見推論5.14.
【關(guān)鍵詞】：全局指數(shù)κ-耗散 全局吸引子 反應(yīng)擴(kuò)散方程 無界區(qū)域
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O19;O152.7
【目錄】：

• 摘要4-6
• 英文摘要6-10
• 第一章 綜述10-22
• 1.1 連續(xù)半群及其全局吸引子11-15
• 1.2 慣性流形以及指數(shù)吸引子15-18
• 1.3 本文的工作18-22
• 第二章 預(yù)備知識22-28
• 2.1 常用不等式22-23
• 2.2 非緊性測度23-24
• 2.3 分形維數(shù)與Hausdorff維數(shù)24-25
• 2.4 Z_2-指標(biāo)理論25-28
• 第三章 半群的全局指數(shù)κ-耗散性28-44
• 3.1 全局指數(shù)κ-耗散的半群28-34
• 3.2 全局指數(shù)κ-耗散性的判別方法34-38
• 3.3 偏微分方程中的應(yīng)用38-44
• 3.3.1 反應(yīng)擴(kuò)散方程38-41
• 3.3.2 帶弱阻尼項的波方程41-44
• 第四章 一類帶廣義導(dǎo)數(shù)項的非均勻反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子44-56
• 4.1 反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子問題的研究進(jìn)展44-46
• 4.2 L~2(R~n)空間中的有界吸收集46-47
• 4.3 半群S(t)的ω-極限緊性47-56
• 4.3.1 內(nèi)區(qū)域的估計48-53
• 4.3.2 外區(qū)域的估計53-56
• 第五章 非均勻的實(shí)Ginzburg-Landau方程56-78
• 5.1 一類線性項為非均勻的情形56-65
• 5.1.1 D~(1,2)(R~n)∩L~p(R~n)和L~(2p-2)(R~n)中的有界吸收集57-61
• 5.1.2 ω-極限緊性及全局吸引子61-65
• 5.2 一類非線性項非均勻的情形65-78
• 5.2.1 解的存在唯一性66-71
• 5.2.2 全局吸引子存在性71-75
• 5.2.3 無窮維的全局吸引子75-78
• 展望78-80
• 參考文獻(xiàn)80-88
• 攻讀博士學(xué)位期間完成的學(xué)術(shù)成果88-90
• 致謝90-91

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 ;ON THE EXISTENCE OF GLOBAL ATTRACTOR FOR A CLASS OF INFINITE DIMENSIONAL DISSIPATIVE NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS[J];Chinese Annals of Mathematics;2005年03期

2 戴正德,郭柏靈;GLOBAL ATTRACTOR OF NONLINEAR STRAIN WAVES IN ELASTIC WAVEGUIDES[J];Acta Mathematica Scientia;2000年03期

，

本文編號：731035