反問題在許多領域有著非常廣泛的重要應用,例如醫(yī)學成像、現(xiàn)代工業(yè)、氣象預報等等.也因此,數(shù)值求解反問題引起了廣泛關注.在本論文中,我們考慮以下幾類反問題:帶箱型狀態(tài)約束的橢圓型最優(yōu)控制問題;帶積分型狀態(tài)梯度約束和箱型控制約束的橢圓型最優(yōu)控制問題;圖像恢復中的病態(tài)的線性反問題.受到一階算法成功用于求解大規(guī)模有限維優(yōu)化問題的啟發(fā),我們試圖研究如何利用一些有效的一階算法并結合這些問題的結構來更有效地求解它們,取得的主要成果如下:1.帶箱型狀態(tài)約束的橢圓型最優(yōu)控制問題.對于逐點狀態(tài)約束,相應的拉格朗日乘子是Borel測度函數(shù),這使得最優(yōu)性條件中的互補性條件無法表示成逐點的形式.Lavrentiev正則化被用來解決這一困難,然后我們用分片線性有限元全離散方法來離散正則化的問題.我們關于正則化和離散化帶來的誤差給出了誤差分析,由此可以看到全離散的誤差階并不比變分離散的誤差階差.為了數(shù)值求解離散問題,我們提出了一種異構交替方向乘子法（hADMM）以及一種兩階段策略,它們分別用來得到中等精度和高精度的解.2.帶積分型狀態(tài)梯度約束的橢圓型最優(yōu)控制問題.我們首先證明了該問題的最優(yōu)性條件并提出了一種有限元對偶... 

【文章來源】：大連理工大學遼寧省 211工程院校 985工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：126 頁

【學位級別】：博士

【部分圖文】：

圖２．１例２．１中Ａ?＝￥時的理想狀態(tài)％．??２＂￣

?幾類反問題的有效數(shù)值解法???取一個相對大的值即可，所以Ｓ只需要取一個很小的值就可以保證Ｃ（＾＜￡．從這個意義??上說，ｓＨＳＴＡ的收斂性受第一項支配，并且其收斂行為與ＦＩＳＴＡ相似．??作為一個例子，我們在圖４．１中畫出測試圖像‘ｈｓｔ’（有關這一圖像的更多細節(jié)可參見??第４．４部分中的例４．１）中矩陣Ｐ和Ｐ的奇異值？很容易看到這兩個矩陣的奇異值都很快地??下降到０？例如，Ｚ３的第六大奇異值與最大奇異值之比僅為６．４７ｅ－２，Ｐ的第十大奇異值??與最大奇異值之比降低到４．２７ｅ?－?２．這些結構也可以在其他測試示例中觀察到．??０?！?＇?＇?＇￣，．?—Ｉ?５，?，?，?，?，￣－?―，??？?ｌ〇ｇ（＾ｉ）［?。乂?１?°??－１０?■?－５?－?－??＜Ｄ?１５?■?〇＞?１０?■?？??１?２０－?５?－１５?－?．??＾?２５?－?－?３?．２０?－?＿??Ｅ?Ｗ??Ｗ?３０－?？?－．Ｓ?－?．??－３５?－?－３０?－?■??‘?？?＼ｉｍ?—＾?－３５?－??＋??ｏ??４５??＇?１???—■－?１?１??－４０??１?１?１?１?１???〇?５０?１?００?１５０?２００?２５０?３００?０?５０?１００?１?５０?２００?２５０?３００??ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）?ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）??（ａ）尸的奇異值?（ｂ）戶的奇異值??圖４．１例４．１：測試圖像‘ｈｓｔ’中矩陣Ｚ５和戶的奇

?幾類反問題的有效數(shù)值解法???真實圖像?模糊噪聲圖像??ｊｊ＾Ｊ｜ｉ！?Ｑ｜；??ＦＩＳＴＡ得到的圖像?ｓＦＩＳＴＡ得到的圖像??圖４．４例４．１中從函數(shù)ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ提取的‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’的圖像．??Ｆｉｇ．?４．４?Ｆｉｇｕｒｅｓ?ｆｏｒ?‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’?ｅｘｔｒａｃｔｅｄ?ｆｒｏｍ?ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ?ｆｏｒ?Ｅｘａｍｐｌｅ?４．１??０．６５??ｓ?１?１?！?１?１??■■■！?－ｉ?■■?＿ｉ?－ｉ?０．３??１?１?１?１?！?１??ｉ?ｉ?ｉ????—－ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝５）?一?■?ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝５）??〇６?－＼?——ｓＦＩＳＴＡ?ｓ＝１?■?——ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝１）??＼?—ＦＩＳＴＡ?＾〇２５?ｌ?—ＦＩＳＴＡ??Ｅ?０．４５?■?－ｇ?０－１５?■?＼?－??Ｉ．．?Ｖ?？?Ｉ?＼??ｉ－?－－－－－－－－－－－－?ｒＡ＾??０３?■?——????０．２５??：?１?１?１?１?１?１?１?１??０??１?１?１?１?１?１?１?１?１???０?５?１０?１５?２０?２５?３０?３５?４０?４５?５０?０?５?１０?１５?２０?２５?３０?３５?４０?４５?５０??ｉｔｅｒａｔｉｏｎ?ｎｕｍｂｅｒ?ｉｔｅｒａｔｉｏｎ?ｎｕｍｂｅｒ??相對誤差７７?相對殘差ｙ??圖４．５例４．１中從函數(shù)ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ提取的‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’的７７和７關于迭代次數(shù)的變化趨勢．??Ｆｉｇ．?４．５?ｔ］

【參考文獻】：
期刊論文
[1]An FE-Inexact Heterogeneous ADMM for Elliptic Optimal Control Problems with L1-Control Cost[J]. SONG Xiaoliang,YU Bo,WANG Yiyang,ZHANG Xuping.  Journal of Systems Science & Complexity. 2018(06)



本文編號：3547257