發(fā)布時間：2017-05-03 15:11

  本文關(guān)鍵詞：三次曲面及超曲面的飽和數(shù)問題，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：數(shù)學中一個重要的研究領(lǐng)域為研究代數(shù)簇上的整數(shù)點或有理數(shù)點分布.對于Fano代數(shù)簇,Manin猜想預(yù)測了代數(shù)簇上有理點的分布情況.給定一個定義在Q上的Fano代數(shù)簇x(?)Pn和X上的一個有理點x∈X,我們可以將此有理此有理點x的高度為對于給定的一個Zariski拓撲下的開子集U(?)X,定義Manin猜想為對于給定的滿足的Fano代數(shù)簇X,存在一個適當?shù)拈_子集U(?)X,使得對于充分大的參數(shù)B,有其中cx0為一個正常數(shù),βx為一個正常數(shù)且當X為曲面時取1,ρx表示X的Picard群的階.同時,對于有大的群作用的代數(shù)簇,Bourgain, Gamburd 和 Sarnak [4]發(fā)展了仿射篩法來研究代數(shù)簇上坐標包含素因子個數(shù)少的整數(shù)點分布問題.隨后,Nevo和Sarnak[55]以及劉和Sarnak[52]分別考慮了齊次空間內(nèi)與仿射空間中二次曲線上坐標包含素因子個數(shù)少的整數(shù)點分布問題.給定一個定義在Q上的Fano代數(shù)簇X(?)Pn,我們把代數(shù)簇上坐標含有素因子個數(shù)少的有理點x稱作殆素數(shù)點.然后我們將文獻[4]中的飽和數(shù)的概念推廣,用來研究代數(shù)簇X上的殆素數(shù)點分布問題.定義飽和數(shù)r(X)為使得滿足x∈X并且坐標乘積至多含有r個素因子的點x構(gòu)成X中一個Zariski拓撲下的稠密子集的最小正整數(shù)r.在本學位論文中,我們證明了對于某些三次曲面和超曲面,其飽和數(shù)是有限的.在第二章中,我們考慮了Cayley三次曲面X1的飽和數(shù).Cayley三次曲面為P3中的奇異曲面,由方程所給定.將Hardy-Littlewood圓法及泛異面直線理論結(jié)合起來,我們證明了Cay-ley三次曲面的飽和數(shù)r(X1)滿足6應(yīng)用類似的方法,我們還考慮了其它奇異三次曲面的飽和數(shù)問題.令X2cP3為由方程所定義的奇異三次曲面.我們將證明飽和數(shù)r(X2)滿足在第三章中,我們考慮Fermat三次曲面X3-Fermat三次曲面為在P3中的曲面,由方程定義Fermat三次曲面是一個光滑的三次曲面.利用Euler的參數(shù)解形式以及加權(quán)篩法,我們證明了r(X3)≤20.接下來我們考慮能否對于一族光滑的三次曲面證明其飽和數(shù)有一個一致的上界.Sofos和本文作者考慮了包含兩條不相交有理直線的光滑三次曲面的飽和數(shù)問題.在第四章中,我們給出關(guān)于該族曲面飽和數(shù)的結(jié)果.設(shè)X4為一個包含兩條不相交有理直線的光滑三次曲面,則飽和數(shù)r(X4)滿足應(yīng)用的主要工具為曲面X4所具有的二次曲線叢結(jié)構(gòu)和加權(quán)篩法.更進一步地,我們考慮了某個特定的包含兩條不相交有理直線的三次曲面X5,由方程所定義.對于該曲面,我們能夠利用Green,Tao和Ziegler的一個結(jié)果代替加權(quán)篩法來得到一個更小的飽和數(shù).事實上,我們證明了飽和數(shù)r(X5)滿足r(X5)≤10.在第五章中,我們把三次曲面的飽和數(shù)問題推廣到三次超曲面上.作為例子,我們選取了Fermat三次三維體.Fermat三次三維體是由方程所定義的光滑三次超曲面.Sofos和本文作者通過對合適的參數(shù)解形式利用加權(quán)篩法來研究此三維體的飽和數(shù)r(X6).我們證明了飽和數(shù)r(X6)的上界滿足r(X6)≤42.
【關(guān)鍵詞】：三次曲面 泛異面直線 圓法 加權(quán)篩法 二次曲線叢結(jié)構(gòu)
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O187
【目錄】：

• 中文摘要8-11
• 英文摘要11-14
• 符號說明14-15
• 第一章 緒論15-25
• §1.1 Manin猜想15-18
• §1.2 飽和數(shù)18-20
• §1.3 主要結(jié)果20-25
• 第二章 Cayley三次曲面的飽和數(shù)25-37
• §2.1 引言25-27
• §2.2 Hardy-Littlewood圓法27-32
• §2.3 泛異面直線32-34
• §2.4 定理2.1.1的證明34-35
• §2.5 定理2.1.2的證明35-37
• 第三章 Fermat三次曲面的飽和數(shù)37-51
• §3.1 引言37-38
• §3.2 預(yù)備知識38-41
• §3.3 分布水平41-45
• §3.4 加權(quán)篩法45-48
• §3.5 定理3.1.1的證明48-51
• 第四章 含有兩條不相交有理直線的光滑三次曲面的飽和數(shù)51-65
• §4.1 引言51-52
• §4.2 預(yù)備知識52-53
• §4.3 二次曲線叢結(jié)構(gòu)53-57
• §4.4 Green-Tao-Ziegler定理的應(yīng)用57-59
• §4.5 加權(quán)篩法59-62
• §4.6 定理4.1.1和定理4.1.2的證明62-65
• 第五章 Fermat三次三維體的飽和數(shù)65-71
• §5.1 引言65-66
• §5.2 參數(shù)解66-67
• §5.3 加權(quán)篩法67-70
• §5.4 定理5.1.1的證明70-71
• 參考文獻71-77
• 致謝77-79
• 讀博期間發(fā)表和完成的論文79-80
• 附件80

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 陳景潤;ON THE REPRESENTATION OF A LARGER EVEN INTEGER AS THE SUM OF A PRIME AND THE PRODUCT OF AT MOST TWO PRIMES[J];Science in China,Ser.A;1973年02期

  本文關(guān)鍵詞：三次曲面及超曲面的飽和數(shù)問題，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

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本文編號：343247